Completeness

Summary

En esta lección se introduce el concepto de completitud, junto con el de suficiencia, que juega un papel fundamental en la búsqueda de estimadores insesgados de varianza mínima uniforme. Se explica la completitud en relación con familias de funciones de masa de probabilidad y distribuciones de probabilidad, y cómo una estadística completa o acotadamente completa no permite la existencia de funciones no triviales que sean estimadores insesgados de cero. Además, se presentan ejemplos prácticos sobre distribuciones binomial, normal y otros casos, mostrando cómo ciertas familias de distribuciones pueden ser completas o no, dependiendo de las condiciones establecidas.

Takeaways

• 😀 La completitud es un concepto importante en la estadística y desempeña un papel crucial en la búsqueda de estimadores insesgados de mínima varianza uniforme (UMVUE).
• 😀 Se define la completitud en relación con una familia de funciones de masa de probabilidad (PMF) o funciones de densidad de probabilidad (PDF).
• 😀 La familia de distribuciones es completa si la expectativa de una función real de X es cero para todos los valores de theta, lo que implica que la probabilidad es igual a 1 para todos los theta.
• 😀 La completitud acotada se refiere a una condición similar, pero aplicable a funciones acotadas de X, con la misma implicación sobre la probabilidad.
• 😀 Un estadístico T es completo si la familia de distribuciones de T es completa. Si esto ocurre, no existe una función no trivial de T que sea un estimador insesgado de cero.
• 😀 El primer resultado importante es que si T es completo y T* es una función de T, entonces T* también es completo.
• 😀 El segundo resultado clave es que si T es completo, entonces T es acotadamente completo, pero la recíproca de este resultado no siempre es cierta.
• 😀 Se proporciona un contraejemplo donde una familia de distribuciones no es completa a pesar de que cumple con la condición de expectativa cero para todas las theta.
• 😀 Se discuten ejemplos prácticos de completitud, como el caso de la distribución binomial, donde se demuestra que la familia binomial es completa.
• 😀 Se mencionan varias distribuciones comunes, como la distribución normal, y se ilustran situaciones en las que una familia de distribuciones puede o no ser completa dependiendo de los parámetros involucrados.
• 😀 El concepto de completitud se relaciona estrechamente con la idea de que no puede existir una función no trivial de un estadístico T que sea un estimador insesgado de cero.
• 😀 La exclusión de incluso un miembro de una familia de distribuciones puede destruir su completitud, lo que se ejemplifica mediante la distribución rectangular y otros ejemplos.

Q & A

¿Qué es la completitud en estadística?

La completitud se refiere a una propiedad de una familia de distribuciones de probabilidad en la que si la esperanza matemática de una función real de la variable aleatoria es cero para todos los valores del parámetro, entonces la probabilidad de que esa función sea cero es uno para todos los valores del parámetro.

¿Cómo se define una estadística completa y suficientemente completa?

Una estadística es completa si la familia de distribuciones asociada es completa. Es suficientemente completa si la estadística contiene toda la información sobre el parámetro del modelo que se necesita para estimar de manera no sesgada.

¿Cuál es la diferencia entre completitud y completitud acotada?

La completitud acotada es una versión más estricta de la completitud, donde para cualquier función acotada de la variable aleatoria, la esperanza de esa función es cero para todos los valores del parámetro implica que la probabilidad de que esa función sea cero también es uno.

¿Qué significa que una estadística sea completa?

Una estadística se considera completa si no existe ninguna función no trivial de la estadística que sea un estimador no sesgado de cero.

¿Qué implica el resultado de que si T es completa y T* es una función de T, entonces T* también es completa?

Si T es completa y T* es una función de T, entonces la propiedad de completitud se conserva en T*, ya que cualquier función de T también debe cumplir con las condiciones de completitud.

¿Qué sucede cuando se excluye un valor del conjunto de distribuciones, por ejemplo en la familia binomial?

Si se excluye un solo valor del conjunto de distribuciones, esto puede destruir la completitud de la familia de distribuciones. Por ejemplo, en una familia binomial donde el parámetro tiene solo dos valores posibles, la familia puede no ser completa.

¿Qué propiedad tiene la distribución normal en relación a la completitud?

La familia de distribuciones normales con media θ y varianza 1 es completa, ya que cualquier función de la variable aleatoria que tenga esperanza cero también es cero con probabilidad 1. Sin embargo, la familia normal con media 0 y varianza θ² no es completa.

¿Cómo se relaciona la distribución binomial con la completitud?

En el caso de una distribución binomial con parámetros n y θ, si la esperanza de una función de la variable aleatoria es cero para todos los valores de θ, entonces la función debe ser cero con probabilidad 1, lo que demuestra que la familia binomial es completa.

¿Qué sucede con la completitud cuando se utiliza una muestra aleatoria de una distribución normal con varianza desconocida?

Si se toma una muestra aleatoria de una distribución normal con varianza desconocida, la suma de los cuadrados de los valores de la muestra es una estadística completa para estimar la varianza, ya que la esperanza de cualquier función de esta estadística que sea cero implica que esa función debe ser cero con probabilidad 1.

¿Qué ejemplo se presenta para ilustrar la incompletitud en una familia de distribuciones?

Se presenta un ejemplo donde se excluye un valor específico de la familia de distribuciones, como en la distribución rectangular. Al excluir un valor de n, la familia de distribuciones resultante ya no es completa, demostrando que la exclusión de incluso un solo valor puede destruir la completitud.