3.5. Integral de Flujo

Summary

El script proporciona una descripción detallada de conceptos matemáticos avanzados, particularmente en relación con las superficies orientables y el cálculo de la integral de flujo a través de estas. Se discuten las propiedades de las superficies, como la existencia de un vector normal continuo, y se ofrece un ejemplo práctico de una banda móvil para ilustrar la no-orientabilidad. A continuación, se explora la parametrización de superficies y la importancia de los vectores normales unitarios exteriores, junto con su cálculo a través del producto vectorial fundamental y el determinante de la matriz jacobiana. Seguidamente, se calcula la integral de flujo para varios campos escalares y vectoriales a través de superficies compuestas por diferentes trozos, como parabólicas y superficies planas, utilizando técnicas de integración en coordenadas polares y rectangulares. Finalmente, se presentan ejemplos de cálculo de la integral de flujo para un cubo y un cilindro, destacando la importancia de la elección adecuada del vector normal y la parametrización de la superficie. El script es una guía metódica para estudiantes avanzados de matemáticas que buscan comprender y aplicar el cálculo de la integral de flujo en diferentes geometrías.

Takeaways

• 📚 La definición de superficie orientable se basa en la existencia de un vector normal que varía continuamente sobre la superficie.
• 📏 Se menciona un ejemplo de una superficie no orientable, la banda de Möbius, donde un vector normal no puede definirse de manera continua.
• 🧵 El vector normal unitario a una superficie se obtiene a través del producto vectorial fundamental dividido por su norma.
• 📈 Los vectores normales exteriores a una superficie se determinan por el orden de las derivadas parciales en el producto vectorial fundamental.
• 🔍 Para verificar si un vector es normal exterior, se evalúa en un punto y se observa su dirección en relación con la superficie.
• 🌀 La integral del flujo de un campo a través de una superficie se calcula como una integral de superficie, lo que ayuda a determinar el volumen de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
• 📐 Se discuten diferentes parametrizaciones para superficies a trozos, como parabóloydes y superficies obtenidas a partir de funciones definidas en regiones rectangulares.
• 🧮 Se destaca la importancia del cálculo del producto vectorial fundamental y su determinante para obtener el vector normal en diferentes parametrizaciones.
• 📝 Se presentan ejemplos de cálculo de la integral de flujo para superficies como paraboloides, cilindros y cubos, incluyendo el cálculo de áreas y la integración sobre regiones rectangulares.
• 🔢 Se abordan técnicas para manejar integrales de flujo en superficies con múltiples trozos, como cubiertas de cubos y cilindros, y se muestra cómo se suman los resultados para obtener la integral total.
• 📉 En el análisis de los ejemplos, se destaca que la integral de flujo a menudo se resuelve como cero en las caras de los sólidos, con excepciones donde se calcula un valor específico.

Q & A

¿Qué es una superficie orientable?

Una superficie orientable es una superficie suave que puede ser a trozos, en la que se puede definir un vector normal en todos sus puntos de tal manera que los vectores normales varían continuamente sobre la superficie.

¿Cómo se define el vector normal unitario a una superficie en un punto dado?

El vector normal unitario a una superficie en un punto dado se define como el producto vectorial entre las derivadas parciales de la parametrización de la superficie y se normaliza dividiéndolo entre su norma.

¿Cómo se determina si un vector normal es exterior o interior a una superficie?

Para determinar si un vector normal es exterior o interior, se evalúa el producto vectorial entre el vector normal y las derivadas parciales de la parametrización de la superficie. Si el resultado apunta hacia afuera, es un vector normal exterior.

¿Qué es la integral de flujo y cómo se calcula?

La integral de flujo es una medida del volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Se calcula como la integral de superficie del producto punto entre el campo vectorial y el vector normal unitario exterior a la superficie.

¿Cómo se parametriza una superficie para calcular su integral de flujo?

Para calcular la integral de flujo, se parametriza la superficie con una función vectorial definida sobre una región del espacio. Este parametrizado se utiliza para definir el dominio de integración y para calcular las derivadas parciales necesarias.

¿Cómo se determina el dominio de integración para una parametrización de superficie?

El dominio de integración se determina por el rango de los parámetros de la parametrización. Por ejemplo, si la parametrización incluye un parámetro que varía de 0 a 2, el dominio de integración corresponderá a ese rango.

¿Por qué se considera que la superficie es orientable en los cálculos?

Se considera que la superficie es orientable porque la orientación es crucial para definir el sentido en que varía el vector normal y, por ende, para calcular correctamente la integral de flujo.

¿Cómo se calcula el producto vectorial fundamental para una parametrización de superficie?

El producto vectorial fundamental se calcula tomando las derivadas parciales de la parametrización con respecto a cada uno de los parámetros y formando un determinante con estos vectores y los vectores canónicos.

¿Cómo se evalúa si un vector normal es exterior en un punto específico de la superficie?

Se evalúa en un punto específico de la superficie y se observa la dirección del vector normal en ese punto. Si el vector apunta hacia afuera del volumen que contiene la superficie, entonces es un vector normal exterior.

¿Cuál es la importancia de la integral de flujo en física y matemáticas?

La integral de flujo es importante en física y matemáticas porque describe la cantidad de un campo (como el flujo de un líquido o el campo eléctrico) que cruza una superficie en un punto dado, lo que es fundamental en la formulación y resolución de problemas en física y en la comprensión de conceptos en matemáticas.

¿Cómo se calcula la integral de flujo sobre una superficie compuesta por varias regiones?

Se calcula la integral de flujo sobre cada una de las regiones de la superficie por separado y luego se suman los resultados. Cada región puede requerir un tratamiento diferente en términos de parametrización y orientación.

Outlines

00:00

😀 Definición de superficie orientable y ejemplo

Se define una superficie orientable como una superficie suave en la que se puede definir un vector normal en cada punto de la superficie, de manera que los vectores normales varían continuamente sobre ella. Se utiliza el ejemplo de la banda móvil para ilustrar una superficie no orientable, donde el vector normal no puede definirse de manera continua al ser llevado alrededor de la banda.

05:03

📐 Parametrización de superficies y cálculo del producto vectorial fundamental

Se discute la parametrización de superficies y cómo se puede obtener una parametrización para una superficie dada. Se calcula el producto vectorial fundamental para una superficie parametrizada, que es esencial para el cálculo del vector normal unitario. Se enfatiza la importancia de la parametrización en el dominio rectangular para facilitar los cálculos.

10:05

🧮 Cálculo de la integral de flujo a través de superficies

Se explica que la integral de flujo determina el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Se calcula la integral de flujo para un campo vectorial dado sobre una superficie a trozos, utilizando la parametrización de la superficie y el producto punto entre el campo y el vector normal unitario. Se presentan ejemplos específicos de cálculo, incluyendo el caso de una superficie dada por la unión de un paráboloide y una tapa plana.

15:07

🔄 Determinación de vectores normales exteriores e integral de flujo sobre un cubo

Se describe cómo se determina si un vector normal es exterior o interior a una superficie, y se calcula la integral de flujo sobre las seis caras de un cubo. Se utilizan diferentes parametrizaciones para cada una de las caras del cubo y se evalúa el vector normal unitario en puntos clave para determinar su orientación. Se presentan los resultados de las integrales de flujo para cada una de las superficies del cubo.

20:08

📏 Cálculo de la integral de flujo sobre un cilindro y sus tapitas

Se aborda el cálculo de la integral de flujo para un cilindro y sus tapitas superior e inferior. Se proporcionan las parametrizaciones para el cilindro y se calculan las derivadas parciales necesarias para obtener el producto vectorial fundamental. Se evalúa si el vector normal es exterior y se calculan las integrales de flujo sobre las diferentes partes del cilindro, mostrando que algunas integrales dan cero y otras no.

25:10

🔢 Cálculo de la integral de flujo para diferentes superficies y campos vectoriales

Se presentan varios ejemplos de cálculo de la integral de flujo para superficies parametrizadas y campos vectoriales específicos. Se describe el proceso de cálculo, incluyendo la determinación de dominios rectangulares, la evaluación de vectores normales, y el cálculo del producto punto entre el campo vectorial y el vector normal. Se muestra que la integral de flujo puede ser cero o un valor constante multiplicado por el área de la región de parametrización.

30:13

🔍 Análisis de la integral de flujo sobre diferentes secciones de un cilindro

Se examina la integral de flujo sobre las secciones superior e inferior del cilindro, así como sobre la superficie lateral. Se utiliza una parametrización para la tapa superior del cilindro y se calcula la integral de flujo, que resulta en un valor proporcional al área de la región de parametrización. Se repiten los cálculos para la tapa inferior y la superficie lateral, obteniendo resultados similares.

Keywords

💡Superficie suave

Una superficie suave es aquella que no tiene bordes agudos ni puntos cuya curvatura cambia abruptamente. Es un concepto importante en geometría diferencial y se relaciona con la facilidad de aplicar un vector normal a cada punto de la superficie. En el video, se utiliza para describir las propiedades de las superficies que se están analizando.

💡Superficie orientable

Una superficie orientable es aquella en la que se puede establecer un sentido o orientación consistente en todos sus puntos. Esto significa que se puede definir un vector normal de manera continua y sin ambigüedades a lo largo de la superficie. En el contexto del video, la orientación es crucial para entender la dirección de los vectores normales y su papel en el cálculo del flujo.

💡Vector normal

Un vector normal a una superficie en un punto dado es un vector perpendicular a la superficie en ese punto. Es fundamental en el cálculo del flujo de un campo a través de la superficie, ya que indica la dirección en la que el fluido impacta o sale de la superficie. En el video, se discute cómo definir y utilizar vectores normales para calcular el flujo.

💡Producto vectorial

El producto vectorial, también conocido como producto cruz en tres dimensiones, es una operación que resulta en un vector perpendicular a los dos vectores factores. Se utiliza para encontrar el vector normal unitario a una superficie dada su producto fundamental. En el video, se calcula el producto vectorial para determinar vectores normales a las superficies consideradas.

💡Campo escalar/vectorial

Un campo escalar es una función que asigna un valor numérico a cada punto de un espacio, mientras que un campo vectorial asigna un vector a cada punto. En el video, se habla de campos vectoriales que representan fuerzas o flujos y campos escalares que podrían representar, por ejemplo, la temperatura o la presión en un punto.

💡Integral de flujo

La integral de flujo se refiere a la cantidad de un campo (como un campo vectorial que representa un flujo de fluido) que atraviesa una superficie en un determinado intervalo de tiempo. Es una medida del volumen de fluido que cruza la superficie por unidad de tiempo. En el video, se calcula la integral de flujo para diferentes superficies y campos.

💡Parametrización de superficies

La parametrización es el proceso de representar una superficie mediante una función vectorial que mapea un dominio plano en el espacio tridimensional. Es una técnica utilizada para simplificar el cálculo de propiedades de la superficie, como el cálculo del flujo. En el video, se utilizan diferentes parametrizaciones para facilitar el cálculo del flujo a través de superficies complicadas.

💡Producto punto

El producto punto, o producto escalar, entre dos vectores es una operación que resulta en un escalar. Se utiliza para medir la proyección de un vector sobre otro o para calcular la composición de un campo vectorial sobre una superficie parametrizada. En el contexto del video, se utiliza el producto punto para calcular la integral de flujo sobre superficies parametrizadas.

💡Derivada parcial

Una derivada parcial es la pendiente de una función en una dirección específica en el espacio tridimensional, tomando todas las demás variables como constantes. Son fundamentales para calcular el producto vectorial fundamental y, en consecuencia, el vector normal a una superficie en un punto dado. En el video, se calculan derivadas parciales para encontrar vectores normales y para el cálculo del flujo.

💡Superficie a trozos

Una superficie a trozos, o compuesta, es una superficie formada por la unión de varias regiones o 'trocitos'. Estas regiones pueden ser de diferentes formas y pueden ser unidas de diversas maneras. En el video, se abordan cálculos de flujo a través de superficies compuestas, lo que requiere entender cómo se comporta el flujo en cada una de las regiones individuales.

💡Determinante

El determinante de una matriz es una cantidad escalar que puede ser calculada a partir de los elementos de la matriz. En geometría y análisis vectorial, el determinante de una matriz jacobiana, que contiene derivadas parciales, es esencial para el cálculo del producto vectorial fundamental y, por ende, del vector normal a una superficie. En el video, se calculan determinantes para encontrar estos vectores normales.

Highlights

Definición de superficie suave y orientable: Una superficie es considerada suave si un vector normal puede definirse en todos sus puntos de manera continua.

Ejemplo de superficie no orientable: La banda de móvil, donde el vector normal no puede variar continuamente al ser movido alrededor de la superficie.

Introducción a la parametrización de superficies: Se discute cómo parametrizar una superficie suave a trozos mediante una función vectorial.

Importancia del vector normal unitario: Se destaca la relevancia de encontrar un vector normal unitario a la superficie en un punto dado.

Método para determinar si un vector normal es exterior o interior: Se describe el uso del producto vectorial fundamental para definir la orientación del vector normal.

Cálculo del flujo de un campo a través de una superficie: Se explica cómo calcular la integral de flujo para determinar el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo.

Ejemplo de cálculo de integral de flujo para una superficie a trozos: Se muestra el proceso de cálculo para una superficie compuesta por un paráboloide y una tapa plana.

Selección de la parametrización más adecuada: Se destaca la importancia de elegir la parametrización que tenga el dominio más fácil de manejar para los cálculos.

Cálculo del producto vectorial fundamental: Se detalla el proceso para calcular el determinante que representa el producto vectorial fundamental.

Comprobación de la orientación del vector normal: Se instruye al espectador para verificar si el vector normal es exterior o interior evaluando en un punto específico.

Proceso de composición del campo con la parametrización de la superficie: Se describe cómo combinar el campo vectorial con la parametrización de la superficie para el cálculo de la integral de flujo.

Cálculo de la integral de flujo para un cubo: Se muestra cómo calcular la integral de flujo para las seis caras de un cubo, considerando cada una como una superficie a trozos.

Ejemplo de integral de flujo en un cilindro: Se calcula la integral de flujo para un cilindro considerando la tapa superior, el cuerpo del cilindro y la tapa inferior como superficies separadas.

Importancia de la región rectangular omega en los cálculos de integral de flujo: Se resalta el papel de la región omega en el cálculo de las integrales de superficie.

Diferencia entre las integrales de flujo para superficies paralelas y perpendiculares al campo: Se discute cómo la orientación de las superficies afecta el resultado de la integral de flujo.

Simplificación de cálculos mediante el uso de propiedades de campos y superficies: Se muestra cómo se pueden simplificar cálculos utilizando conocimientos previos sobre las propiedades del campo y la superficie.

Conclusiones finales: Se resalta que el cálculo de la integral de flujo no es tan complicado y se puede realizar siguiendo los pasos adecuados.

Transcripts

[Música]

[Aplausos]

[Música]

hola chicos vamos ahora integral de

flujo comencemos con una definición sea

s una superficie suave puede ser a

trozos decimos que es una superficie

orientable si un vector normal puede

definirse en todos puntos de s de tal

forma que los vectores normales varían

continuamente sobre la superficie aquí

vamos a dar una un ejemplo de una

superficie en orientable la banda de

móvil si yo me agarró un vector un

vector normal a la superficie y la hago

variada si ustedes empiezan a mover el

vector les va a salir que está en el

otro lado contra saleh no le no puede

definirse se fija no puede definir su

puesto normal a la superficie a me lo

hacen variar continuamente y aparece en

el otro lado vale entonces son pocos los

ejemplos de superficies orientables y

siempre vamos a considerar que la

superficie es orientables

todas las que hemos visto en los vídeos

anteriores son superficiario y tags o

sea es una superficie suave puede ser a

trozos y el parametrizar por una función

vectorial definida sobre una región o

media de r2 vamos a derrotar por en el

gorrito al al vector normal unitario

dado por el producto victoria

fundamental vale tengo el producto

auditorio fundamental y lo que hago es

dividirlo sobre su norma y

automáticamente obtengo un vector

unitario un vector normal unitario a la

superficie en el punto gamma drs estamos

interesados en los vectores normales

exteriores a la superficie s el vector

normal el vector dado por el producto

vectorial fundamental me define un

vector normal pero no sabemos si es

exterior interior si resulta que este

este vector de dado así en este orden

derivado parcial de gamma con respecto

de re producto

cruz de la deriva parcial de gamma con

respecto a s resulta que es un vector de

esta forma antes de multiplicarlo por

menos obtengo un vector normal exterior

que por la propiedad del producto cruz

es invertir baja el orden de este

producto cruz es decir sería la deriva

parcial de gamma con respecto a ese

producto cruz derivada parcial de gamma

con respecto a vale entonces si n es

normal exterior o bien

- n gorrito es un invento normal

exterior

entonces si hay una superficie rentable

por un vector normal unitario exterior

en el bonito este superficie quiero que

sea suave de ser a trozos y

parametrizado por gamma

y voy a considerar mnp tres campos

escalares definidos en mi superficie ese

y cuyas derivadas parciales existen y

son continuas sobre mi superficie si mi

campo becks y jefe de estado por el pnp

es un campo vectorial entonces la

integral del flujo de mi campo

victoria-la a través de mi superficie

estado por está integrando aquí sería la

composición de f con gamma producto

punto

[Música]

el producto vectorial fundamental esta

integral está sobre omega y en la

anotación que vamos a utilizar es este

producto en punto de mi método normal

exterior sale es una integral de

superficie al final si se dan cuenta ok

entonces la integral de flujo va a

determinar el volumen del fluido que

atraviesa la superficie s por unidad de

tiempo la integral de flujo es un

integral de superficie como les había

dicho vale entonces también como comenté

en un punto anterior la integral del

flujo determina el volumen del fluido

que atraviesa la superficie s

vamos a ver un ejemplo vamos a calcular

la integral del flujo de f dado por x y

z y esa es una superficie a trozos por

s1s2 donde ese uno es el paraboloides

dado por 7 igual a 4 - x cuadra menos y

cuadrada y s2 es la tapita que se

obtiene al

hacer 70 sale y lo tengo

bueno entonces quiero calcular la

integral de flujo sobre esta superficie

cerrada entonces primero comencemos con

ese 1

entonces con ese honor yo quiero dar una

parametrización yo no puedo ver como la

gráfica de un campo escalar entonces una

parametrización puede ser de la forma rs

frs cierto pero mi dominio de mi

parametrización sería el dominio de mi

campo escalar que sería un disco cierto

de radio 2 bueno pero qué pasa si yo lo

paramétrico de esta forma

si yo en la tercera coordenada en el

parametrización la veo como ese y es el

varía de 0 a 4 que sería tomar una

altura sobre mí paraboloide y hago un

corte transversal 2 murcia 2 y un corte

transversal obtengo circunferencias

circunferencias de que radio 2 y si hace

tal bagua igual a ese vale entonces

tendría yo lo de la forma x cuadrada

magic cuadrada igual a 4 - s los estén

de ellos circunferencias de radio raíz

cuadrada de 4 - s vale entonces una

parametrización sería raíz cuadrada de

450 de raíz cuadrada de 4 - s seno de r

y s sale se le fija una altura y las

otras dos coordenadas bien parametrizar

la circunferencia de radio la raíz

cuadrada en 4 - s sale nada más que

ahora tengo un dominio rectangular ese

va de 0 a 4 y erraba de 0 2

vale entonces cuál de los dos voy a

considerar pues obviamente voy a

considerar la que la de que tenga

dominio más fácil

es cierto que sería un rectángulo debe

considerar la segunda parametrización

bueno entonces que hacer por estamos

calcular el producto victoria

fundamental de nivel salga bajo respecto

a ere y derivó salga más con respecto es

entonces con respecto a ere raíz

cuadrada de 4 - es es constante en la

deriva de cosenos menos seno aquí lo

tengo la derivada de s nos conocemos y

la tercera coordinador no depende de r

pues es cero y con respecto a s jose no

sé no son funciones constantes ni es

deriva raíz cuadrada de 4 - s pero es

muy fácil cierto es un medio sobre raíz

cuadrada y 4 - s por menos una salida

nada más la multiplicó por las

constantes y la tercera coordenada hacer

la derivada de ese correspectiva s pues

es 12 el producto vectorial fundamental

estado por el terminante de esta matriz

vale entonces primera fila son los

vectores canónicos en la ratería segunda

fila son los las entradas de mi derivada

parcial de gamma con respecto a r y la

tercera fila son las entradas de la

derivada parcial de gamma con respecto

quiero que pongan pausa el vídeo y que

me calculen este determinante

quiero que verifiquen que el

determinante estado por raíz cuadrada de

400 de r raíz cuadrada de 4 - r

aquí se es el perdón chicos ese seno de

r un medio sale aquí pues este pongan

ese por favor

bueno entonces lo voy a poner yo para

que no haya aquí sería entonces ese ale

entonces el vector ahora la pregunta ya

tengo mi vector normal pero será

exterior interior como sé que el vector

es exterior como saber no basta con

evaluando en un punto en el entonces

como lo hago como hago para que para ver

si es exterior fíjense si hago es igual

a 4 pero tengo el punto 0 0 un medio

tales tendría y el vector 00 medio que

apunta hacia arriba entonces es un

vector normal el exterior sale entonces

en este orden del producto 20 lo

fundamental me define un metro normal

exterior ok le falta componer vale donde

vea una equis voy a poner raíz cuadrada

de 4 menos el 50 de r donde había una

llevo ya poner raíz cuadrada de 4 - ese

seno de heridos debía una zeta

voy a poner es justo ni composición no

va a dar la parametrización de mi

superficie ok y el producto punto

pues fíjense sería primera coordenada

por primera coordenada vale segunda

coordenada por segunda coordenada y

tercera coordenada porter sea coordenada

y verifique que el producto punto les da

4 - s cuerda de es muy fácil cierto

bueno entonces la integral de flujo

estado por el producto punto

él nos dio 4 - s medios sobre omega y

omega es un dominio rectangular vale que

sería la integral de 0 a 4 con respecto

a ese ente general de ser a 2 pi con

respecto a r de 4

s - recuerden esto es por zubin no

depende de r entonces tengo dos pig

integral de 4 de 0 a 4 de 4 - s medios y

quiero que verifiquen que al final les

tiene que dar 24 y sal es muy fácil de

calcular de esta integral bueno vamos

con respecto a ese 2 entonces es la

tapita trabajo como parámetro pues

fíjense yo lo puedo perder la forma

r ese 0 o sea es decir dado por mi plano

7 igual a 0

solamente que recortarlos circularmente

mi dominio sería un disco de radio 2 ok

pero también puedo dar otro tipo de

parametrización fíjense de la forma s

coseno de r ese seno de r 0

halle esa idea de 0 a 2 y el 0 2 está

para mí utilizando circunferencias saleh

y voy variando los radios hasta

ajustarlo a radio igualados también voy

llenando este disco con circunferencias

tales y sin fijar nada más que ahora mi

dominio es rectangular ya que es un

dominio es un disco bueno entonces vamos

a considerar la segunda que es más fácil

y que hay que hacer calcular el producto

vectorial fundamental vale entonces la

derivada parcial de gamma con respecto a

r sería menos ese seno de erc es eco se

modere 0 sale y con respecto a ese

tendría que ser 9 r se modere se sale el

producto victoria fundamental es el

determinante de la siguiente matriz ya

saben que primera fila son los vectores

canónicos entre 3 segunda fila son dos

las entradas de la derivada parcial de

gamma con respecto a efe y la tercera

fila son son los elementos son las

coordenadas de la derivada parcial de

gamma con respecto a veces ale quiero

que verifique y quiero que pongan pagos

y verifiquen

que el determinante estado por el vector

00 - s

sale y se fijan este este vector apunta

hacia abajo sale pero como está dada mi

superficie es un vector exterior vale

aquí lo pregunta vale entonces

automáticamente ese exterior bueno

entonces calculemos la composición sales

donde vea una equis pongo ese coseno de

r donde una y ponemos es el moderno y

donde vean una zeta pongo cero

vale entonces recuerden como está dado

el campo victorial la composición es mi

parametrización en el producto punto

sale de la composición con el producto

victoria fundamental pues me da cero

cierto entonces la integral de flujo me

da cero sobre la capital vale por lo

tanto la integral de flujo sobre mi

superficie al final es lo que me da

sobre él el paraboloide que es 24 para

darle chicos no están nada complicado

veamos ahora otro ejemplo calculemos la

integral de flujo df de 2 x x - jay z

cuadrado donde s está dado por un cubo

que es el cubo generado por los planos x

igual a igual a 0 igual a igual a 0 70

igualdad set igual a cero

vale voy a llamar a ese 1 la tapita de

arriba ese 2 la de abajo ese 3 la tapita

que está cuando 10 igual a 1s 4 cuando y

es igual a cero ese 5 cuando x es

igualar a esa no 1

halle en quart 16 la de la de atrás que

es cuando x es igual a 0 saleh chicos

tengo 6 superficies ahora bueno entonces

una parametrización para la superficie

s1 recuerden que es la tapita pensado

por r s me voy a considerar el plan

docente igual a y lo voy a recordar vale

como lo estoy viendo como

como una super como la gráfica de un

campo escalar tal entonces de la forma

rsf de rc pero mi plan no es 7 igual a

aquí está entonces su dominio es la

sombra que proyecta el plano que es un

cuadrado él está muy fácil ok

fíjense yo que requiere un vector

exterior como es un plano muy fácil dar

un vector exterior unitario que vector

sería un vector que apunte hacia arriba

pues sería el vector 001 tal es mi

composición donde vea una equis pongo r

donde vea una y pongo es y donde vea una

zeta pongo a sale aquí tengo una

composición y producto punto tengo que

reponerme

perdón sería 0 por 0 0 por menos s 0 y 1

x al cuadrado a cuadrado entonces por lo

tanto una integral de flujo sobre ese 1

es la integral de la cuadrada sobre

media que es un cuadrado vale es

constante es esa cuadrado por el área de

omega el área de medias cuadrada tengo

la cuarta y así lo hacemos con todas las

clases t

con todos los datos del cubo sale chicos

para ese 2 que sería la tapita de abajo

sería entonces 7 igual a 0 y hacemos

exactamente lo mismo un vector exterior

de su vector que apunte hacia abajo 0 0

- 1 una composición es de la forma como

al menos 60 y el producto punto tengo

cero por cero por menos 60 por menos 1 y

al final la integral del flujo me da

cero ahora con respecto a ese 3

recuerden es cuando el yen se iguala a

ok entonces igual mi dominio no cambia

porque es la proyección cierto ahora un

vector normal un serial o de la forma

010 es cierto la composición r - a ese

cuadrado y producto punto tengo cero por

r 1 x menos a y 0 por ese cuadrado me

queda menos a esto es la integral de

influjo sobre ese 3 es sobre ese 3

perdón es menos a sobre omega entonces

es menos a por el área la omega

entonces tengo menos a kubica para ese 4

es cuando lee es igual a cero al

exactamente lo mismo ahora un vector

normal exterior sería cero menos 10 sale

la composición de la r 0s cuadrada y el

producto puntos y se fija ver a cero

entonces la integral del flujo sobre ese

4 pues vendrá 0 sale con respecto a ese

5 es cuando x vale

cierto es exactamente lo mismo mi sombra

que refleja es es el mismo rectángulo el

mismo cuadrado pero vale en este caso un

vector de un vector normal exterior

sería 100 la composición ahora es a

menos de ere s cuadrada producto punto a

por 1 - r por 0 s por 0 y nueva

entonces la integral de flujo sobre ese

5 s a

en la integral de asombro mega que sería

por la por el área de obligar al

cuadrado

ale ya teníamos un menos a kubica y se

cancela vale y finalmente con respecto a

la superficie ese 6 es cuando ex vale 0

entonces tengo que de parametrización es

de la forma 0 r ese sigue siendo aquí es

una contención sale es un punto que se

encuentra el nombre en el que bueno mi

dominio es el mismo es un cuadrado en

este caso un vector exteriores es de la

forma menos 100 sale la composición

adores de la forma 0

cr ese cuadrado producto punto se fija

es cero por lo tanto la integral del

flujo sobre ese 60 y la integral de

flujo sobre ese es el primero que nos

dio cierto a cuarta ok chicos no está

tan complicado determinar la integral de

flujo sobre cada una de las superficies

nada más que tuvimos que hacerlo seis

veces sale bueno un último ejemplo

calculemos lateral de flujo donde efe es

2 x como al menos 20 cuadradas

y ese es un cilindro con las tapitas

sale e ir al tour archi y tiene en este

caso una superficie a trozos estado por

ese uno el cilindro ese 2 su tapita

superior y s3 su tapiz inferior sale

ahora vamos a comenzar con ese uno

entonces un cilindro vale entonces vimos

que una parametrización es de la forma

erc o seno de r r seno de r s donde ere

va de 0 a 2 pi y ese va de 0 h vale

derivadas parciales de la presión de

gamma con respecto a ernest eres menos

se reestrenó de r r coseno de r 0 y la

derivada parcial de gamma con respecto a

ese 001 dale el producto mente era

fundamental es el determinante en la

matriz primera fila vectores canónicos

segunda fila los elementos de la

derivada parcial de gamma con respecto a

ere y tercera final los elementos de la

derivada parcial de gamma con respecto a

s

quiero que verifique que el producto

editorial fundamental

es el vector es reconocer no de chiquita

como reserva de chiquita 0 sale la

composición a cuando antes de eso quiero

saber si este vector es normal exterior

o no

pero si se fijan el vector

basta con de saberlo en un punto qué

pasa si eres igual a cero vale entonces

voy a tener

eres coseno de 0 r seno de 0000 y

cruzarnos de 0 es uno entonces tengo el

víctor r 0 0 es decir un vector que

apunta de este lado sale entonces un

vector exterior ok

bueno la composición donde vea yo una r

perdón donde yo vea una equis voy a

poner es recoger moderna donde veo una y

voy a poner

rc moderna y donde vieron acepta voy a

poner ese cierto entonces la convulsión

es algo de esta forma el producto punto

pues que sería sería éste por éste sale

aquí lo tengo este por éste aquí lo

tengo y éste por éste posee se sale por

lo tanto me integral del flujo sobre ese

1 es 12 r por la integral de coseno

cuadrado de r - en el cuadrado de ere

sobre omega donde omega es una riqueza

una región rectangular cierto bueno

vamos a calcular entonces la integral

que sería 212 reporta integral de 0 a 2

con respecto a r y de 0 h con respecto a

ese débil función cierto no depende de

ese entonces tengo dos r h por la

integral de será dos pírricos encuadrada

en menos 0 contra

eso los puedo calcular por formó en

general y a vivir podemos verificar que

al final integral api entonces tengo

menos sea tal entonces el integral de

flujo sobre ese 1 es igual a cero ok

vamos a considerar

a las superficies de 2 que es la tapita

de mi cilindro

la cápita superior de mi cilindro lo

puedo ver cómo se te iguala h

si hago un corte circular sale y ese va

a ser mi dominio entonces sería el

conjunto de parejas ordenadas tal vez

que x cuadrado más y cuadrados menor

igual de colorada sale sale si yo

considero que mi trámite es trabado por

la gráfica de un campo escalar

entonces hago sentido alarte y nada más

lo recortó y hacer el recorte es

considerar mi dominio circular salía un

disco bueno un vector normal entonces

fácil es un vector que apunte hacia

arriba observe sector 0 0 1 mi

composición sería algo de la forma 12 r

como al menos 2 s comm h cuadrado y el

producto punto simplemente h cuadrado

vale entonces la integral del flujo

sobre ese 2 es h cuadrado es la integral

de h cuadrados sobre mega archies

constante esto sería h cuadrado por el

área de omega y el área de omega 3

veamos ahora otro ejemplo calculemos la

integral del flujo de efe por x coma

menos y acepta cuadrado donde está dado

por un cubo que es el cubo generado por

los planos x iguala a ex igual a cero

igual a igual a cero set igual a ser

igual a cero saleh voy a llamar a ese

uno la capital de arriba ese 2 la de

abajo ese 3 la tapita que está cuando

hoy es igual a 1s 4 cuando y es igual a

cero ese 5 cuando x es igualar a esa no

1

halle y quart 16 la de la de atrás que

es cuando x es igual a 0 shane chicos

tengo 6 superficies ahora bueno entonces

una para reutilización para la

superficie s 1 recuerden que es la

tapita de sábado por ere s me voy a

considerar el plan docente igual a y lo

voy a recortar sale como lo estoy viendo

como

como una super como la gráfica de un

campo escalar al entonces de la forma

rsf de rc pero mi plano es 7 igual a

aquí está entonces su dominio es la

sombra que proyectó el plano que es un

es un cuadrado tal está muy fácil ok

fíjense yo que requiere un vector

exterior como es un plano es muy fácil

dar un vector exterior unitario que

vector sería un vector qué.es arriba

pues sería el vector 001 tal es mi

composición donde vea una equis pongo r

donde vea una ye pongo es ahí donde vea

una zeta pongo a saleh aquí tengo la

composición y producto punto tengo que

reponerme

perdón sería 0 x 0 0 x menos s 0 y 1 por

a cuadrado a cuadrado entonces por lo

tanto una integral de flujo sobre ese 1

es la integral de la cuadrada sobre

media que es un cuadrado sale es

constante ese cuadrado por el área de

omega el área es cuadrada tengo la

cuarta y así lo hacemos con todas las

clases t

con todos los datos del cubo sale chicos

para ese 2 que sería la capital abajo

sería entonces 7 igual a 0 y hacemos

exactamente lo mismo un vector exterior

víctor repunte hacia abajo 0 0 - 1 una

composición es de la forma r - s 0 y el

producto punto tengo cero por el 0 por

menos 60 por menos uno y al final la

integral de flujo me da cero ahora con

respecto a ese 3 recuerden es cuando el

yen se iguala a ok entonces igual ni

dominio no cambia porque es la

proyección cierto

ahora un vector normal no sería algo de

la forma 010 cierto la composición r - a

ese cuadrado y producto punto tengo cero

por r 1 x menos a 0 por s cuadrada me

queda menos a esto es literal de influjo

sobre ese 3 es sobre ese 3 perdón es

menos a sobra omega entonces es menos a

por el área de omega esa cuadrada

entonces tengo menos a kubica para ese 4

es cuando el 10 igual a cero sale

exactamente lo mismo ahora aumento

normal exterior sería cero menos 10 sale

la composición me da r 0 11 cuadrada y

el producto puntos y se fija del acero

entonces la integral de flujo sobre ese

4 pues me tercero sale con respecto a

ese 5 es cuando equivale a cierto éste

se permite lo mismo mi sombra que

refleja es es el mismo rectángulo el

mismo cuadrado pero vale en este caso

mejor

un vector normal exterior sería

100 la composición ahora es a menos de

ere s cuadrada producto punto por 1 - r

por 0 s por salir me da a entonces la

integral de flujo sobre ese 5 es a en la

integral de asombro mega que sería a por

la por el área de omega que está

cuadrada a kubica sale ya teníamos un

menos a kubica y se cancela vale y

finalmente con respecto a la superficie

s 6 es cuando ex vale 0 entonces tengo

que me parametrizaciones de la forma 0 r

ese sigue siendo aquí son una contención

que sale es un punto que se encuentra el

nombre aquí bueno mi dominio es el mismo

es un cuadrado en este caso un vector

exteriores es de la forma menos 100 sale

la composición ahora es de la forma 0 cr

ese cuadrado producto punto se fija es 0

por lo tanto la integral del flujo sobre

s 60 y la integral de flujo sobre ese es

el primero que nos dio cierto a cuarta

ok chicos no está tan complicado

determinar la integral de flujo sobre

cada una de las superficies nada más que

tuvimos que hacerlo seis veces sale

bueno un último ejemplo

calculemos la integral de flujo donde

efe es 2 x como al menos 25 maceta

cuadrada y ese es un cilindro con las

tapitas sale en altura h y tiene desde

acá es una superficie a trozos dado por

s 1 el cilindro s 2 su tapita superior y

ese 3 su súper pitt inferior sale bueno

ahora vamos a comenzar con ese 1

entonces un cilindro vale entonces vimos

que una parametrización es de la forma

r coseno de r

seno de r s donde r va de 0 a 2 pi y ese

va de 0 h vale derivadas parciales

deriva parcial de gamma con respecto a r

es r - rc no de r r coseno de r 0 y la

derivada parcial de gama de con respecto

a ese 001 sale el producto mentora

fundamental es el determinante de la

matriz primera fila vectores canónicos

segunda fila los elementos de la

derivada parcial de gamma con respecto a

r y tercera afín a los elementos de la

derivada parcial de gama con respecto a

s

quiero que verifiquen que el producto

vectorial fundamental es el vector r

coser moderna chiquita como reserva de

chiquita se sabe la composición agua lo

antes de eso quiero saber si este vector

es normal exterior o no

pero si se fijan el vector

basta con de saberlo en un punto qué

pasa si eres igual a cero vale entonces

voy a tener

a riesgo seno de 0 r s 90 000 y cosenos

de cero entonces tengo el vector r 0 0

es decir un vector que apunta de este

lado sale entonces un vector exterior ok

bueno la composición donde vea yo una r

perdón donde yo vea una equis voy a

poner r cosas modernas donde veo que voy

a poner

rc moderna y donde vieron acepta voy a

poner ese cierto entonces la confusión

es algo de esta forma el producto punto

pues que sería sería éste por éste sale

aquí lo tengo este por éste aquí lo

tengo y éste por este proceso

vale por lo tanto la integral del flujo

sobre ese uno es 12 r por la integral de

coser no podrá ver - seno cuadrado de

ere sobre omega donde obliga es una

región una región rectangular cierto

bueno vamos a calcular entonces la

integral que sería 212 ere por la

integral de 0 2 con respecto a r&b 0 h

con respecto a ese de mi función cierto

no depende de ese entonces tengo 2

rh por la integral de será dos pírricos

encuadrada en menos el control

vale eso los puedo calcular por formó en

general y ahí podemos verificar que al

final integral api entonces tengo menos

sea tal entonces la integral de flujo

sobre ese 1 es igual a cero

ok vamos a considerar

a las superficies de 2 que es la tapita

de misil y menos la cápita superior de

mi cilindro no puedo ver cómo se te

iguala h y donde rs nada malo recortó y

hacer el recorte es considerar mi

dominio circular sale un disco bueno un

vector normal entonces fácil es un

vector que apunte hacia arriba observe

sector 0 0 1 mi composición sería algo

de la forma 12 r como al menos 2 s comm

h cuadrado y el producto punto

simplemente h cuadrado vale entonces la

integral del flujo sobre ese 2 es h

cuadrado es la integral de h cuadradas

sobre mega anchas constante esto sería h

cuadrado por el área de omega por ti

vale vamos con ese 3 y hacemos

exactamente lo mismo ahora voy a

considerar sentí igual a cero sale un

vector no aparece lo enseñado en el

vector

001 la convulsión ahora es 12 r como a

menos 2020 halle y el producto puntos

pues es cero

entonces la integral de flujo sobre c 3

pues es cero

vale entonces y con respecto a ese 1 y a

ese 3 las integrales de flujo me dieron

0 y la integral de influjo sobre ese 22

medio h cuadrada por re cuadrada porque

el chico no sólo tan complicado al final