3.4. Área de una superficie
Summary
TLDREl script proporcionado es una lección avanzada de geometría diferencial que explora la parametrización de superficies en R³ y su aplicación para calcular áreas. Se discute la definición del producto vectorial fundamental y su importancia para encontrar el vector normal a una superficie en un punto dado. A lo largo del script, seguidamente se calcula el área de diferentes superficies, incluyendo una esfera y un toro, utilizando distintas parametrizaciones. Se destaca la relevancia de la elección adecuada de la parametrización para simplificar los cálculos. Finalmente, se resalta que el área de una superficie es invariante ante diferentes parametrizaciones, lo cual es un concepto clave en el análisis de superficies en geometría diferencial.
Takeaways
- 📐 La parametrización de una superficie en R³ permite definir vectores tangentes a las curvas sobre la superficie y un vector normal a la superficie en un punto dado.
- 🎯 El producto vectorial fundamental es esencial para calcular el área de una superficie parametrizada, y es el producto cruz entre las derivadas parciales de la función vectorial de parametrización.
- 🧮 El área de una superficie suave a trozos se calcula como una doble integral sobre el dominio de parametrización, multiplicado por la norma del producto vectorial fundamental.
- 📏 El cambio de variable y la elección adecuada de la parametrización pueden simplificar significativamente el cálculo del área de una superficie.
- 🔍 El área de una superficie no depende de la parametrización utilizada, siempre y cuando esta sea suave y biyectiva.
- 🌐 Una esfera puede ser parametrizada de diferentes maneras, como por ejemplo, usando coordenadas esféricas o considerándola como una superficie de revolución.
- 📉 El determinante de la matriz formada por las derivadas parciales de la función vectorial de parametrización es crucial para el cálculo del producto vectorial fundamental.
- 🧬 La normalización del producto vectorial fundamental proporciona el vector normal unitario a la superficie en cada punto.
- 🔢 La integral doble sobre el dominio de parametrización del producto vectorial fundamental normalizado permite calcular el área de la superficie.
- 📂 Una parametrización adecuada puede transformar un cálculo complejo en uno más manejable, como se demuestra en el ejemplo del toro autoreferente.
- 🌀 El casquete superior de una esfera, considerado como una superficie de revolución, tiene una parametrización que permite calcular su área de manera más sencilla que la de la esfera completa.
Q & A
¿Qué es un campo escalar y cómo está relacionado con la parametrización de una superficie en r3?
-Un campo escalar es una función que asigna un único valor escalar a cada punto de su dominio, que generalmente es un subconjunto de r2 o r3. En el contexto de la parametrización de una superficie en r3, las coordenadas de la superficie son campos escalares en r2, y su derivada parcial existe y son continuas en el dominio de la parametrización.
¿Cómo se define el producto vectorial fundamental en el contexto de una superficie parametrizada?
-El producto vectorial fundamental se define como el producto cruz de la derivada parcial de la función vectorial de parametrización con respecto a cada una de las coordenadas del dominio. Este producto vectorial es un vector normal a la superficie en el punto dado y su规范(norma) representa el área del paralelogramo generado por estas derivadas parciales.
¿Por qué el producto vectorial fundamental es ortogonal a las dos derivadas parciales que lo componen?
-El producto vectorial de dos vectores en r3 tiene la propiedad de ser ortogonal tanto al primer vector como al segundo. Esto se debe a que el producto vectorial (también conocido como producto de cruz) entre dos vectores produce un tercer vector que es perpendicular a ambos vectores originales.
¿Cómo se determina si una superficie es suave en el punto dado por una parametrización?
-Una superficie es suave en un punto dado por una parametrización si el producto vectorial fundamental no es el elemento neutro en el reposador (es decir, no es el vector nulo). Esto indica que las derivadas parciales no son colineales y, por lo tanto, definen una superficie curva en lugar de una superficie plana.
¿Cómo se calcula el área de una superficie parametrizada compuesta por varios trozos?
-Para una superficie compuesta por varios trozos, se calcula el área de cada superficie de trozos individualmente y luego se suman las áreas. Cada superficie de trozos debe ser suave y parametrizada por una función vectorial inyectiva.
¿Cómo se calcula el área de una superficie parametrizada?
-El área de una superficie parametrizada se calcula como una doble integral sobre el dominio de parametrización de la norma del producto vectorial fundamental. Esto significa integrar el área del paralelogramo generado por las derivadas parciales de la función vectorial de parametrización.
¿Cómo se determina el área de una esfera usando una parametrización?
-Para determinar el área de una esfera, se calculan las derivadas parciales de la función vectorial de parametrización con respecto a las coordenadas del dominio. Luego, se calcula el producto vectorial fundamental y su norma, que representa el área del paralelogramo generado por estas derivadas. Finalmente, se integra esta norma sobre el dominio de parametrización.
¿Por qué la elección de la parametrización afecta la facilidad de cálculos para encontrar el área de una superficie?
-La elección de la parametrización直接影响到衍生物(derivadas)的形式和复杂性,进而影响到计算产品向量(producto vectorial)和其范数(norma)的难易程度。某些参数化方式可能会简化这些计算,而其他方式可能会使计算变得更加复杂。
¿Cómo se calcula el determinante del producto vectorial fundamental para una parametrización dada?
-Para calcular el determinante del producto vectorial fundamental, se forma una matriz cuyas filas son las derivadas parciales de la función vectorial de parametrización y los vectores canónicos en r3. Luego, se calcula el determinante de esta matriz, que equivale al producto vectorial de las derivadas parciales.
¿Cómo se relaciona el área de un paralelogramo con el producto vectorial de los vectores que lo generan?
-El área de un paralelogramo generado por dos vectores es igual a la norma del producto vectorial de esos vectores. Esto se debe a que el producto vectorial proporciona una medida de la área del paralelogramo formado por los vectores en el espacio tridimensional.
¿Cuál es la ventaja de utilizar un cambio de variables para calcular el área de una superficie parametrizada?
-El cambio de variables puede simplificar la expresión de la función que se está integrando, lo que hace que el cálculo de la integral sea más directo y menos propenso a errores. Además, a veces un cambio de variables puede transformar una integral difícil en una más simple, especialmente si la nueva variable tiene un dominio más natural para la forma de la superficie.
¿Cómo se determina el área de un toro autoreferenciado a partir de su parametrización?
-Para determinar el área de un toro autoreferenciado, se calculan las derivadas parciales de su función vectorial de parametrización con respecto a los parámetros. Luego, se calcula el producto vectorial fundamental y se obtiene su norma, que representa el área del paralelogramo generado por las derivadas. Finalmente, se integra esta norma sobre el dominio de parametrización del toro.
Outlines
😀 Introducción a la parametrización de superficies y el producto vectorial fundamental
Se describe la parametrización de una superficie en R³ utilizando una función vectorial gamma, donde cada coordenada es un campo escalar en R². Se menciona la existencia y continuidad de las derivadas parciales de gamma. El producto vectorial fundamental es definido como el producto cruz de las derivadas parciales de gamma con respecto a sus coordenadas en R², el cual es ortogonal a las derivadas y define un vector normal a la superficie en cada punto. Se destaca la importancia de este producto vectorial para determinar si una superficie es suave y su aplicación para calcular el área de superficies compuestas por varios trozos.
📐 Cálculo del área de una superficie: doble integral y el producto vectorial fundamental
Se explica el proceso para calcular el área de una superficie suave, que puede ser a trozos, parametrizada por una función vectorial. El área se calcula como una doble integral sobre el dominio de parametrización omega de la norma del producto vectorial fundamental. Se ilustra con un ejemplo práctico: la esfera, parametrizada por funciones trigonométricas en función de sus coordenadas esféricas. Seguidamente, se calculan las derivadas parciales de gamma con respecto a las coordenadas de parametrización y se utiliza el determinante para encontrar el producto vectorial fundamental. Finalmente, se calcula la norma de este producto para integrar y encontrar el área de la superficie.
🌐 Cálculo del área de una esfera utilizando diferentes parametrizaciones
Se comparan dos parametrizaciones diferentes para la esfera y se muestra que el área de la superficie no depende de la parametrización utilizada. La primera parametrización es en términos de seno y coseno de las coordenadas esféricas, y la segunda lo es como una superficie de revolución. Se calculan las derivadas parciales de gamma para ambas parametrizaciones y se utiliza el producto vectorial fundamental para encontrar el vector normal y su norma. A partir de aquí, se resuelve la integral doble sobre el dominio omega para encontrar el área de la superficie en cada caso, mostrando que ambos métodos dan el mismo resultado.
🤔 Elección de la parametrización para facilitar el cálculo del área de superficies
Se discute la importancia de la elección adecuada de una parametrización para simplificar los cálculos de áreas de superficies. Se utiliza como ejemplo el cálculo del área del casquete superior de una esfera, mostrando que la parametrización en términos de una función escalar y su dominio asociado (un disco en este caso) afecta la facilidad del cálculo. Se calculan las derivadas parciales de gamma con respecto a las coordenadas del dominio y se determina el producto vectorial fundamental y su norma. Se resuelve la integral doble sobre el dominio para encontrar el área, y se destaca la complejidad que puede agregar una parametrización menos adecuada.
🏗 Cálculo del área de un toro auto-esférico a través de su parametrización
Se presenta la parametrización de un toro auto-esférico y seguidamente se calculan las derivadas parciales de gamma con respecto a las coordenadas de parametrización. Se forma el producto vectorial fundamental a partir de estas derivadas y se calcula su norma. Con base en la norma del producto vectorial, se resuelve la integral doble sobre el dominio de parametrización, que es un rectángulo, para encontrar el área de la superficie del toro. Se destaca que la integral de ciertas funciones trigonométricas sobre el dominio es nula,简化了一些计算步骤. Finalmente, se obtiene el área total del toro como el resultado de la integral.
Mindmap
Keywords
💡Superficie
💡Función vectorial
💡Producto vectorial fundamental
💡Derivada parcial
💡Campo escalar
💡Área de superficie
💡Parametrización de una superficie
💡Vector normal
💡Integral doble
💡Esfera
💡Toro
Highlights
Introducción a la parametrización de superficies en R³ utilizando funciones vectoriales.
Explicación de las propiedades del producto vectorial fundamental y su relevancia en la normalización a una superficie.
Descripción de cómo las derivadas parciales de una parametrización definen vectores tangenciales a una superficie.
Importancia de la existencia y continuidad de las derivadas parciales para la parametrización de una superficie.
Definición del área de una superficie suave a trozos y su relación con el producto vectorial fundamental.
Método para calcular el área de una superficie parametrizada utilizando dobles integrales.
Ejemplo práctico de cálculo del área de una esfera utilizando dos diferentes parametrizaciones.
Demostración de que el área de una superficie no depende de la parametrización utilizada.
Cálculo del área del casquete superior de una esfera como una aplicación de la parametrización de superficies.
Uso de campos escalares para definir la parametrización de una superficie, en este caso, el casquete de una esfera.
Importancia del dominio de parametrización en el cálculo del área de una superficie.
Comparación de la facilidad en el cálculo del área de una superficie de revolución versus una parametrización más complicada.
Ejemplo del cálculo del área de un toro autoreflexivo utilizando parametrización de donut.
Proceso para calcular las derivadas parciales de una parametrización y su impacto en el producto vectorial fundamental.
Cálculo del determinante y la norma del producto vectorial fundamental para una parametrización específica.
Integración sobre el dominio de parametrización para encontrar el área de una superficie dada.
Conclusión sobre la no complejidad relativa del cálculo del área de una superficie parametrizada.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos veamos ahora área de
superficies sea s una superficie en r3
parametrizar por mi función vectorial
gamma y voy a pensar que cada una de sus
coordenadas es un campo escalar en r2
cuya derivada parcial existe y son
continuas en el abierto de regla
recuerden que cuando digo abierto no
considero en la frontera vale entonces
esas tres campos cada vez están
definidos en la beta omega omega es el
dominio de mi parametrización se define
el producto victoria fundamental como el
producto cruz de la deriva parcial de
gamma con respecto a ere producto cruz
derivada parcial de gamma con respecto a
ese para todo el r&s en el ámbito de
hormiga vale recuerde que la derivada la
derivada de gamma con respecto a ere o
bien con respecto a s son vectores en r3
que quiere decir el producto cruz de dos
vectores en r3
recuerden que una de las propiedades es
que este vector es un vector ortogonal
tanto a en este caso tanto a la deriva
parcial de gamma con respecto a m o bien
y también es ortogonal a la deriva
parcial de granma con respecto a ese es
una de las propiedades del producto cruz
cierto si yo tengo dos vectores en r3 el
producto cruz es un vector ortogonal
tanto al vector al primer vector como el
segundo vector vale bueno
entonces hacemos que el producto
victoria fundamental no va a definir un
vector normal a la superficie
en un punto de reserva es ese no si yo
lo evalúo a mi producto vectorial
fundamental en ese punto aquí tengo mi
dominio mega mi dominio de mí para mi
utilización y aquí tengo mi superficie s
entonces gama de rsr 0 s 0 pues es este
punto de aquí en la derivada de gamma
con respecto a r en el punto 0 s 0 es un
vector un vector tangencial a una curva
una curva sobre mi superficie vale
entonces esta derivada me va a definir
vectores tangenciales esta curva esta
curva que viene por aquí y en este punto
pues es este vector ya no habla y
análogamente si yo dejo fijo
a r digamos en el punto de relleno
entonces la derivada parcial de gamma
con respecto a s en el punto de 0 s me
va a definir una curva ale esta curva
perdón va a ser va a ser un vector
tangencial de esta curva y en este punto
pues está este vector entonces tengo que
las derivadas son vectores tangenciales
a estas curvas que se dicen aquí vale
entonces que me dice el producto como es
una de las propiedades del producto cruz
es un vector normal tanto al primer
vector como al segundo vector y este
vector
normal a la superficie en este punto en
el punto r 0 s 0
como notación si gamma es una
parametrización de una superficie se la
voy a denotar así si simplemente sí
definición una no va a considerar una
superficie parametrizar por gamma yo voy
a decir que esta superficie suave si el
producto vectorial fundamental no es el
elemento neutro en el represor sale
bueno entonces si la superficie s es una
superficie compuesta por varias
superficies digamos s1s2 hasta s acá
vamos a decir que ese es una superficie
trozos y se va a escribir de esta forma
es lo análogo a curvas a trozos y se dan
cuenta una superficie a trozos s 1
compuesta por s1s2 hasta esté acá se
dice que suave a trozos y cada una de
estas superficies es suave sale entonces
éste
para determinar el área de una
superficie vamos a hacer lo siguiente
voy a considerar una superficie suave
puede ser a trozos y parametrizar por
una función vectorial
una función que va de omega es un
subconjunto de r2 a mi superficie tal
que a cada punto de la superficie se le
corresponde un único punto de omega esto
quiere decir que mi función vectoriales
inyectaba entonces el área de la
superficie se puede calcular como una
doble integral sobre omega de la norma
del producto vectorial fundamental aquí
es de r lbs tales están esté escribiendo
pongan aquí de erre por favor y como
notación lo voy a escribir así la doble
interior el sobre se sale diferencial s
mayúscula ok el área de la superficie s
dijimos que está dado por la doble
integral de omega de la norma del
producto vectorial fundamental que
significa la norma de un producto cruz
de dos vectores en r3
si recuerdan de su curso de álgebra
lineal la norma de un producto cruz de
dos vectores mr3 me determina un área
del paralelogramo generado por estos dos
vectores vale a veces y sí me considero
si yo tomo un cuadriculado del dominio
de mi parametrización y me tomo un punto
sobre uno de sus vértices y lo mapeo
para dar un punto sobre la superficie la
derivada de gamma con respecto a herriko
respecto de si me va a dar me van a dar
dos vectores dos vectores tangencial
esas dos curvas como ya lo vimos
anteriormente sale entonces si yo
multiplico por ejemplo a delta r por la
derivada parcial de gamma con respecto a
rpp va a dar un vector muy pequeño y si
yo multiplico a directa s por la
derivada parcial de gamma con respecto a
eso me va a dar otro vector pequeño
entonces es el área de este cuadrado
pues va a ser aproximadamente igual a la
norma del producto
del producto cruz de los vectores delta
r derivada parcial de gamma con respecto
a r
delta ese derivado parcial de gamma con
respecto a s
van a ser muy parecidos y el área del
paralelogramo va a ser aproximadamente
igual al al cuadrado que se proyecta
sobre la superficie se si se fijan aquí
abajo son aproximadamente iguales es
como si estuvieran poniendo los tics en
mi superficie y el área de estos post yx
que son las áreas de mis paralelo gramos
son aproximadamente igual al área que
proyecta sobre mi superficie si el delta
ese y el delta r pueden salir del prode
el del producto cruz por una de las
propiedades y salen también con
propiedades de la norma aquí sería del
traer del tc entonces aquí tendré yo dos
sumas ok
porque estoy sumando todos los
rectángulos que están aquí que los
multiplicó de esta forma para obtener
estos rectángulos que están desde sobre
los mismos tics de mi superficie
entonces al tomar el límite lo que
estamos haciendo entonces está bien
justificada esta fórmula le damos un
ejemplo
a ver
vamos a determinar el área de esta
superficie una esfera se entra en el
origen de radio r entonces sabemos que
una para mi superficie está por el seno
de r chiquita con seno de ese ere se
modere chiquita seno de ese ere coseno
de chiquita donde r va de cero y ese va
a desear a dos pi en la primera
parametrización de la escena que vimos
entonces para determinar el área de la
superficie hay que calcular la derivada
parcial de gamma con respecto a r y la
derivada de gamma con respecto a ese
entonces vamos a derivar primera llama
con respecto a r la derivada seno es
coseno entonces tengo r coseno de
ritchie kitoko seno de s vamos a derivar
otra vez aquí y me queda r coseno drs no
desde chiquita y menos ere seno de
chiquita ahora vamos a derivar haga más
con respecto a ese entonces la deriva de
coseno - seno no me queda menos r seno
de r chiquita seno de ese ere seno de
chiquita coseno de s en la derivada y
aquí como no depende de ese es cero
que necesitamos hacer ahora es calcular
el producto vectorial fundamental que es
calcular el producto cruz de estos dos
vectores en el retraso entonces a
calcular el determinante de esta matriz
si recuerdan primera fila y jk mis
vectores canónicos en r3 mi segunda fila
es la derivada parcial de gamma con
respecto a r sobre los elementos y la
tercera fila son los elementos de la
derivada de gamma con respecto a es anne
quiero que pongan pausa al vídeo y que
me calculen este determinante
quiero que verifiquen que el
determinante de esta matriz que viene
dada por este vector ale r cuadrada seno
cuadrado de chiquita coseno de ese ere
cuadrada seno cuadrado de chiquitas en
ourense y erre cuadrada coseno de reig y
quita seno de requisitos entonces que
nos falta hacer calcular su normal la
normal de este vector entonces es raíz
cuadrada de la primera coordenada al
cuadrado mala segunda coordenada al
cuadrado más la tercera coordenada al
cuadrado
entonces se fijan en las primeras dos
puedo factorizar era la cuarta seno
cuadrado de r álex seno cuadrado
de hecho hacemos la cuarta y tendré yo
por coseno cuadrado de s más se nos
cuadra 2 x 1 entonces queda era la
cuarta será la cuarta de r más era la
cuarta coseno cuadrado drs no cuadran
der y factor hizo era la cuarta seno
cuadrado de er y aquí me quedaría un
seno cuadrado de r más coseno cuadrado
de requesón y me queda
cada vez es r cuadrado valor absoluto de
ese poder pero dijimos que rebane
therapies entonces toma un valor mayor o
igual a cero y simplemente se modera y
vamos a integrar sobre omega ere
cuadrado seno del el área de esta
superficie es entonces la integral de
recuadrado seno cuadrado de ere sobre
omega omega es un rectángulo entonces
furini va a ser la integral de cerati
con respecto a r la integral de será los
picos respecto a ese de mi función como
no depende de ese entonces la integral
vale 2 p me queda 2 pr cuadrada por la
integral de será pide seno de rr y la
integral del seno de eres menos coseno
ver evaluó de 0 aquí y me da 24
calculemos ahora el área de la misma
superficie de mi esfera se entra en el
origen de radio r considerando otra
parametrización y veamos que no depende
el área de la superficie no depende de
la parametrización entonces ya vimos que
s con más raíz cuadrada de re cuadrado
al menos s cuadrada coseno de r con más
raíz cuadrada de re cuadrada menos s
cuadrada seno de r donde r vale 02 pig y
s d - r r de menos r
también es una parametrización de mi
esfera si estoy esta parametrización es
si yo pienso a mi esfera como una
superficie de revolución
bueno pues para calcular el área
necesitamos calcular la derivada parcial
de gamma con respecto a r y calcular la
derivada parcial de gamma con respecto a
s la derivada de gamma con respecto a r
pues primera coordenada no depende de r
pues en 0 sale la segunda es derivar
coseno con respecto a r que es es es
menos e no los tengo menos raíz cuadrada
de re cuadrada menos s cuadrado seno de
r aquí está y acá tendría raíz cuadrada
de cuadrada menos está encuadrada
derivada de seno cocer haré ahora con
respecto a ese primera coordenada es 1
derivó coseno y seno son funciones
constantes entonces sería 1 entre dos
veces la raíz cuadrada de re cuadrado
menos ese cuadrado
la derivada de lo que está dentro de la
raíz que es menos 2 s los dos se van y
me queda simplemente menos s por coseno
de r sobre la raíz cuadrada y en la
tercera coordenada queda alguna luego me
queda menos s porsche no tiene función
constante sobre la raíz cuadrada
entonces ahora hay que dar que hay que
hacer es calcular el producto vectorial
fundamental el producto cruz de los dos
de las derivadas de los vectores
anteriores
más bien el producto cruz de la deriva
parcial de gamma con respecto a r y de
la derivada parcial de gamma con
respecto a esa primera fila es el
determinante de esta matriz primera fila
los canónicos en r3 segunda fila los dos
las coordenadas de la derivada de gamma
con respecto a las coordenadas de la
deriva de gamma con respecto a ese en la
tercera fila quiero que pongan pausa el
vídeo y que me calculen el determinante
de esta matriz
quiero que verifiquen que eléctrica del
vector s como a raíz cuadrada de re
cuadrada menos s cuadrada coseno de r
coma raíz cuadrada de re cuadrada menos
s cuadradas seno de r shane vamos a
calcular la norma que es raíz cuadrada
de la primera coordenada al cuadrado más
la segunda coordenada al cuadrado más la
tercera coordenada al cuadrado puedo
factorizar aquí es cuadrada menos s
cuadrada me queda coseno cuadrado más
seno con lo que es 1 y r cuadrada menos
seno cuadrado más perdón ere cuadrada
menos s cuadrada más ese cuadrado que me
queda de re cuadrada raíz cuadrada de re
cuadrada
r vale entonces el área de la superficie
en la doble integral sobre omega omega
es un rectángulo de r y esto es el revés
es el área donde ella es un rectángulo
2 pib por 12 r 4 pies cuadrada entonces
si yo considero esta parametrización es
la parametrización anterior pensando a
mi esfera como una superficie de
revolución me se me hace más fácil
determinar leer el área de la superficie
y cierto es simplemente calcular la
doble integral de r sobre media que su
rectángulo organismo más fácil bueno
vamos ahora a considerar otra
parametrización pero ahora voy a pensar
que vaya a calcular el área del casquete
superior de la esfera y al final lo voy
a multiplicar por 2 porque va a ser la
misma área que el casquete inferior de
la de la esfera porque voy a
parametrizar la parte superior para
pensar que el casquete superior proviene
de la gráfica de un campo es canal n
entonces como viene dada la una
parametrización pensándolo así a mi
superficie como rs como frs mi campo me
[Música]
el campo escalar en r2 va a ser raíz
cuadrada es despejar se está aquí más
bien y tomar el signo positivo y donde
una equis pongo r y donde veo nadie
pongo ese sale y obtengo este de aquí
ahora el dominio de gamma va a ser el
dominio de mi campo escalar que va a ser
la sombra de mickey de mi casquete
superior de la esfera que va a dar un
disco aquí esta conjunto de parejas
ordenadas x jetta leds que x cuadrada
más de cuadrada es menor o igual que
recuerdo entonces tengo que mi dominio
de mi gama ya no es un rectángulo sino
un disco
pero vamos a calcular la derivada
parcial de gamma con respecto a r que
sería 10 y aquí tendría 1 entre dos
veces la raíz cuadrada de re cuadrada
menos recordada chiquita menos s
cuadrada por la derivada con respecto a
r del argumento de la raíz que sería
menos 2 r los dos se van y me queda
simplemente estoy aquí y con respecto a
ese pues es 0 1 y lo análogo nada más
que ahora va a ser aquí menos s vale
ahora vamos al calcular el producto de
victoria fundamental
el determinante de esta matriz y
verifique que les tiene que dar r sobre
raíz cuadrada de re cuadrada - r
cuadrada menos s cuadrada con mã s /
raíz cuadrada de re cuadrada menos erre
cuadrada menos ese cuadrado como ahora
ahora vamos a calcular la norma y que
sería raíz cuadrada
del primera coordenada al cuadrado más
la segunda coordenada al cuadrado más 1
pues aquí les quedara encuadrada tienen
el mismo este denominador voy a hacer un
denominador al cuadrado es cierto no
sería r cuadrada más s cuadraba entre
ere cuadrada - r cuadrada menos s cuadra
diciendo sumar este ere cuadradas iría
con el ere cuadrada ls cuadras e iría
con el s cuadrada y simplemente les
quedaría ere cuadrada sobre sobre ere
cuadrada - r cuadrada menos s cuadrada y
la raíz pues ese ere sobre la raíz de
ere cuadrada - r cuadrada menos s
cuadrado vale quiero que pongan pausa el
vídeo y que hagan ustedes las cuentitas
salen las normales tiene que dar esto de
aquí entonces veces la doble integral
sobre omega sobre mi disco que la
función que queda aquí sale pero que
creo es cómo es mi dominio es un disco
puedo hacer cambio de variable ok
voy a poner a er como p coseno de teta y
a s como p seno de teta
recuerden que tengo que pagar con mi
gobierno que sería de saleh y aquí éste
puede factorizar cuadrada y tendría seno
cuadrado más coseno cuadrado que es uno
y les quedan simplemente el p cuadrado
ok entonces les queda cómodo se arregla
integral de ser r con respecto a p la
integral de 0 2 p
con respecto a teta de mi función p /
raíz cuadrada de re cuadrada - p
cuadrada en de detecta sangre
entonces me queda 2 x 12 r 4 pierce
integral de será r de mi función con
respecto a p hago un cambio de variable
sale me hace falta un menos 1 - 2 p
y la integral de recuadrado de 1 / raíz
cuadrada de recordar - p cuadrada de
raíz cuadrada de re cuadrada menos p
cuadrada por 2 sale y vuelve a obtener
en menos 4 acá está le hago la
evaluación y me da 4 p r cuadrada vale
entonces si yo utilizo esta
parametrización se dificulta bastante
calcular el área de mi superficie sale
chicos hay que tener en cuenta que
parametrización es que utiliza para que
se le faciliten los cálculos bueno
por último ejemplo vamos a determinar el
área de un toro autor es una dona vale
se puede probar que una parametrización
de una dona de un toro es de esta forma
paréntesis
r más coseno de r todo eso por coseno
abc r más coseno de r todo eso por seno
de ese la ley y que sea coordenadas seno
de dónde r&s ambos van de 0 a 2
vale aquí está así es cómo de parametría
por ende será dos parámetros así y
parametrizar así transversalmente ok
bueno entonces que hay que hacer primero
calcular la deriva fácil de gama con
respecto a ere y luego calcular la
deriva parcial de gama con respecto a s
con respecto a r
r coseno de ese es constante la derivada
a vale cero simplemente hay que llevar
coseno de r por coseno desee y es
simplemente de barco se modere me queda
menos seno de r coseno de s menos seno
de r seno de ese y la derivada escena
coseno de a vale aquí que de derivar con
respecto a ese entonces era más coseno
de res constante y derivados con seno de
ese y me queda menos
r más coseno de r todo eso por x seno de
ese lenguaje
r más coseno de ere por la derivada de
seno que escogemos la tercera coordenada
no depende de ese entonces vale ser
ahora hay que calcular el producto
victoria fundamental entonces quiero que
pongan pausa el vídeo y que ver y que
calculen el determinante de esta matriz
y que les tiene que dar igual este
electrón acá sale entonces la norma va a
ser raíz cuadrada de la primera
coordenada al cuadrado más la segunda
coordenada al cuadrado
más la tercera coordenada al cuadrado
aquí si se fijan puedo factorizar ere
más coseno de r
al cuadrado por coseno cuadrado de n y
les va a quedar coseno cuadrado de ese
más seno cuadrado de sx1 no les queda
más coseno de r todo es al cuadrado
coseno cuadrado de r de estos dos mangas
r más coseno de entonces al cuadrado por
seno cuadrado del factor y sam oeur
mascó se modera al cuadrado tienen que
ser un cuadrado de r seno cuadrados de
ricky es uno y les queda
r más coseno cuadrado de real cuadrado
raíz cuadrada pues es r más costero de
el saler
tanto el área de un toro he estado por
nado por la integral de er más coseno de
r sobre mira donde un mes es un
rectángulo entonces propiedad de la
integral que sería la integral de ere
sobre omega
pero eres una costa entiendo sería tres
veces el área donde la más joven y sería
la integran de cerrado speech con
respecto a ese aquí va un diferencial
ese integral de cero dos picos seno de r
pero la integral de cerramos pico seno
de r con respecto de rezar o toda esta
parte vale cero simplemente me queda el
revés cenar ya la vega sale omega es el
producto cartesiano de los intervalos
cerrados
02.02 pi que es 4 pi cuadrada sale
entonces sería el área es 4 pi cuadrada
poner aves chicos no está tan complicado
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