Límites por factorización 1

BRO Clases profe Bryan

8 May 202407:43

Summary

TLDREl vídeo explica cómo calcular el límite de una función cuando x tiende a 3, utilizando la técnica de factorización para resolver una indeterminación de tipo c/c. Se factoriza la función f(x) = (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6), identificando diferencias de cuadrados y factorizando el denominador. Tras cambiar el signo para permitir la cancelación, se evalúa el límite obteniendo -108 al reemplazar x por 3.

Takeaways

📘 El vídeo trata sobre el cálculo de límites utilizando la técnica de factorización.
🔍 Se presenta un ejercicio específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) sobre (-x^2 + x + 6).
🤔 Al sustituir x por 3, se identifica que el límite resulta en una forma indeterminada de tipo c/0.
🔢 Se sugiere que el numerador (x^4 - 81) puede ser factorizado como una diferencia de cuadrados, resultando en (x^2 - 9).
🔄 La raíz de 81 es 9, y se aplica la técnica de diferencia de cuadrados para factorizar el numerador.
🔄 El denominador (-x^2 + x + 6) se factoriza como -(x - 3)(x + 2) mediante la técnica de inspección.
🔄 Se destaca la necesidad de cambiar el signo para poder realizar la cancelación en el numerador y denominador.
📉 Se aplica la técnica de cambiar el signo para que los factores en el numerador y denominador coincidan y puedan cancelarse.
📐 Después de la cancelación, se evalúa el límite sustituyendo x por 3, lo que resulta en una simplificación del expresión.
📨 El resultado final del límite es -108/5 cuando se sustituye x por 3 en la expresión simplificada.

Q & A

¿Qué técnica se utiliza para resolver el límite en el ejercicio presentado?
-Se utiliza la técnica de factorización para resolver el límite en el ejercicio.
¿Cuál es la función que se está evaluando en el límite?
-La función que se está evaluando es \(\frac{x^4 - 81}{-x^2 + x + 6}\).
¿Cuál es el punto de indeterminación que se presenta al evaluar el límite directamente?
-El punto de indeterminación es cuando \(x\) tiende a 3, ya que al sustituir \(x\) por 3 en la función, el numerador y el denominador se anulan, dando como resultado una forma indeterminada de la forma \(0/0\).
¿Cómo se identifica que el límite es de una forma indeterminada?
-Se identifica al sustituir el valor de \(x\) que tiende (en este caso, 3) en la función y obtener que tanto el numerador como el denominador se anulen, lo que resulta en una expresión de la forma \(0/0\).
¿Qué significa que una expresión sea de la forma indeterminada \(0/0\)?
-Una expresión de la forma indeterminada \(0/0\) significa que no se puede determinar el límite simplemente evaluando el valor en el punto de indeterminación, y se requiere aplicar técnicas de algebra para resolverlo.
¿Qué técnica de factorización se aplica en el numerador de la función?
-Se aplica la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador, lo cual se factoriza como \(x^2 - 9\) que corresponde a \((x - 3)(x + 3)\).
¿Cómo se factoriza el denominador de la función?
-El denominador se factoriza por inspección, identificando que \(-x^2 + x + 6\) se puede escribir como \(-(x - 3)(x + 2)\).
¿Por qué no se puede cancelar directamente los factores en el numerador y denominador después de la primera factorización?
-No se puede cancelar directamente porque los factores son \(x - 3\) en el numerador y \(-(x - 3)\) en el denominador, lo que requiere de un cambio de signo para que los factores sean iguales y se puedan cancelar.
¿Qué técnica se utiliza para poder cancelar los factores en el numerador y denominador?
-Se utiliza la técnica de cambiar el signo, multiplicando el numerador y el denominador por -1 para hacer que los factores \(x - 3\) en el numerador y \(x - 3\) en el denominador sean iguales y se puedan cancelar.
¿Cuál es el resultado final del límite después de aplicar las técnicas de factorización y cambio de signo?
-El resultado final del límite es \(-108/5\), después de cancelar los factores comunes y evaluar el límite cuando \(x\) tiende a 3.