Método: rectángulos CIRCUNSCRITOS | Área bajo la curva | Cálculo Integral

DrGasgaMath

22 Sept 202008:57

Summary

TLDREn este video, se explica cómo calcular el área bajo la curva utilizando el método de los rectángulos circunscritos. El ejercicio se enfoca en encontrar el área limitada por la curva f(x) = x² + 1 y el eje x en el intervalo [0, 3], dividiéndolo en 6 subintervalos. El proceso incluye calcular el valor de cada subintervalo, graficar los puntos, y aplicar la fórmula del área. Finalmente, se suman los valores obtenidos y se multiplica por la altura de los subintervalos para encontrar el área total bajo la curva.

Takeaways

📐 El video explica cómo hallar el área bajo la curva utilizando el método de rectángulos circunscritos.
📊 El ejercicio se basa en la función f(x) = x^2 + 1, limitada por el eje x en el intervalo [0, 3].
🔢 Se utilizan 6 subintervalos para resolver el ejercicio, lo que implica dividir el intervalo en segmentos iguales.
➗ El valor de h, que es la longitud de cada subintervalo, se calcula como (b - a) / n, dando como resultado h = 0.5.
📈 La gráfica de la función puede trazarse manualmente o con software, como GeoGebra, y se usa para visualizar los rectángulos.
🔍 Los valores de la función se sustituyen en cada subintervalo, comenzando desde a = 0 y sumando múltiplos de h para obtener nuevos puntos.
🧮 Se calcula el valor de f(x) en puntos clave (0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3) para construir los rectángulos bajo la curva.
📏 Se omite el primer valor de a al calcular el área, ya que no representa la altura correcta del primer rectángulo.
🔗 La suma de las áreas de los rectángulos se multiplica por h, y el área total bajo la curva en el intervalo [0, 3] es 14.375 unidades cuadradas.
📝 El resultado final del área bajo la curva es el producto de 0.5 por la suma de las alturas de los rectángulos.

Q & A

¿Qué método se utiliza en el video para calcular el área bajo la curva?
-El método utilizado es el de los rectángulos circunscritos.
¿Cuál es la función que se usa en el ejercicio para calcular el área bajo la curva?
-La función utilizada es f(x) = x^2 + 1.
¿En qué intervalo se calcula el área bajo la curva en el ejercicio?
-El área se calcula en el intervalo [0, 3].
¿Cuántos subintervalos se consideran en este ejercicio?
-Se consideran 6 subintervalos.
¿Cómo se calcula el valor de cada subintervalo (h)?
-El valor de h se calcula como (b - a) / n, donde b es 3, a es 0 y n es 6, lo que da h = 0.5.
¿Qué valores se utilizan para calcular las alturas de los rectángulos?
-Se utilizan los valores a + h, a + 2h, a + 3h, etc., donde a es el valor inicial del intervalo.
¿Cuál es el valor de f(0.5) y cómo se obtiene?
-El valor de f(0.5) es 1.25, se obtiene sustituyendo 0.5 en la función f(x) = x^2 + 1.
¿Por qué no se considera el valor de f(0) en la fórmula para calcular el área?
-No se considera f(0) porque la altura del primer rectángulo sería incorrecta; la fórmula comienza con el valor f(a + h) para asegurar que se usen las alturas correctas.
¿Cuál es la suma de las alturas de los rectángulos?
-La suma de las alturas de los rectángulos es 28.75.
¿Cuál es el área bajo la curva obtenida en este ejercicio?
-El área bajo la curva es 14.375 unidades cuadradas.

Outlines

00:00

📐 Explicación del método de rectángulos circunscritos

En este vídeo se explicará cómo hallar el área bajo la curva utilizando el método de rectángulos circunscritos. El ejercicio se centra en la función f(x) = x² + 1 y el eje X en el intervalo de 0 a 3, dividiendo el intervalo en 6 subintervalos (n). El valor de cada subintervalo (h) se calcula usando la fórmula (b - a) / n. En este caso, b = 3 y a = 0, por lo que h = 0.5. Se menciona el uso de GeoGebra para graficar la curva, aunque se sugiere hacerlo manualmente. Se enfatiza la importancia de sustentar valores en la función y generar puntos clave para trazar la curva y los rectángulos correspondientes.

05:02

🔢 Cálculo de las alturas y valores de la función

Se explica cómo usar los valores de h para calcular las alturas de los rectángulos. No se considera el valor de 'a' en la fórmula ya que no corresponde a la altura correcta del primer rectángulo. Se utilizan los valores de la función f(x) = x² + 1, sustituyendo puntos específicos como 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 en la fórmula para obtener las alturas correspondientes de los rectángulos. Estos valores son necesarios para trazar la gráfica y finalmente calcular el área bajo la curva. Se muestra cómo sumar todas las áreas parciales y multiplicarlas por el valor de h (0.5) para obtener el área total de 14.375 unidades cuadradas.

Mindmap

Keywords

💡Área bajo la curva

Se refiere al área que se encuentra entre la gráfica de una función y el eje X dentro de un intervalo definido. En el video, se usa el método de los rectángulos para aproximar esta área bajo la curva de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo [0, 3]. Este concepto es clave para entender cómo se calcula el área en este contexto específico.

💡Método de los rectángulos

Es una técnica de aproximación numérica para calcular el área bajo una curva. En este caso, el video explica cómo se usa este método con rectángulos circunscritos, es decir, rectángulos cuyos vértices están por encima de la curva, para obtener una estimación del área. Se considera la altura de los rectángulos en puntos específicos de la función.

💡Subintervalos

Los subintervalos son divisiones del intervalo original en partes más pequeñas. En el video, se divide el intervalo [0, 3] en seis subintervalos iguales, cada uno con un ancho de 0.5, para aplicar el método de los rectángulos. La correcta elección y cálculo de los subintervalos es crucial para mejorar la precisión de la aproximación.

💡h (tamaño del subintervalo)

Es el valor que representa el ancho de cada subintervalo en la partición del intervalo principal. En este video, h se calcula como (b - a) / n, donde 'b' y 'a' son los límites del intervalo, y 'n' es el número de subintervalos. El valor de h es 0.5, y se usa para determinar los puntos en los que se evaluará la función.

💡f(x) = x² + 1

Es la función dada en el video cuya área bajo la curva se quiere calcular. Esta función cuadrática eleva al cuadrado el valor de x y le suma 1. Cada valor de esta función corresponde a la altura de los rectángulos utilizados en el método de aproximación. La elección de esta función específica es central en el cálculo del área.

💡Intervalo [0, 3]

Es el rango de valores de x en el que se busca calcular el área bajo la curva de la función f(x). Este intervalo se divide en subintervalos y sirve como referencia para definir los límites donde se construyen los rectángulos. Es importante porque determina el área total a calcular.

💡Puntos de evaluación

Son los valores de x en los que se evalúa la función f(x) para calcular la altura de los rectángulos. En este caso, los puntos de evaluación se encuentran al sumar múltiplos de h a 'a'. Estos puntos son cruciales para trazar los rectángulos que estiman el área bajo la curva.

💡Suma de las áreas

Es el resultado final de sumar las áreas de todos los rectángulos formados bajo la curva en los subintervalos. En el video, se suman los valores f(x) obtenidos en los puntos de evaluación, y luego se multiplican por el ancho h para obtener el área total aproximada bajo la curva. La suma es 28.75 antes de multiplicar por h.

💡Gráfica de la función

Es la representación visual de la función f(x) = x² + 1 en el intervalo dado. En el video, se menciona que la gráfica se puede hacer manualmente o usando un software como GeoGebra. La gráfica es esencial para visualizar cómo los rectángulos circunscritos se colocan bajo la curva y ayudan a aproximar el área.

💡Aproximación numérica

Se refiere al uso de métodos como el de los rectángulos para obtener un valor aproximado de una cantidad matemática, como el área bajo una curva, cuando no es posible calcularla de forma exacta. En este video, la aproximación numérica es el enfoque utilizado para resolver el ejercicio de manera práctica.

Highlights

Explicación sobre cómo hallar el área bajo la curva usando el método de rectángulos circunscritos.

El ejercicio a resolver se basa en la función f(x) = x^2 + 1 y el eje x, en el intervalo de [0, 3].

Se utilizan 6 subintervalos para el cálculo, siendo n el número de subintervalos y h el valor de cada uno.

El valor de h se calcula como (b - a) / n, donde b = 3 y a = 0, resultando en h = 0.5.

El valor de la función en cada subintervalo se sustituye en f(x) para encontrar los puntos de la curva.

Los puntos obtenidos se grafican manualmente o usando un software como GeoGebra.

La altura de los rectángulos se calcula utilizando los valores de la función en los puntos de los subintervalos.

El primer valor de la función que se usa para calcular el área es a + h, en lugar de a, para evitar subestimación de la altura del primer rectángulo.

La fórmula para calcular el área bajo la curva es: área = h * suma de las alturas de los rectángulos.

Los valores de x = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 y 3 se sustituyen en f(x) para encontrar las alturas correspondientes.

Los resultados para las alturas de los rectángulos son: 1.25, 2, 3.25, 5, 7.25, y 10.

La suma de las alturas obtenidas es 28.75.

El área bajo la curva se calcula multiplicando la suma de las alturas por h: 0.5 * 28.75 = 14.375 unidades cuadradas.

La aproximación del área bajo la curva en el intervalo [0, 3] es de 14.375 unidades cuadradas.

Este método es útil para obtener una aproximación del área en intervalos definidos y puede aplicarse a diferentes funciones.