AC 02: Time Behaviour And Parameters
Summary
TLDRDieses Video erklärt die Konzepte von Wechselstrom (AC) und seinen verschiedenen Werten. Es behandelt den Durchschnittswert, den Gleichrichtungswert und den effektiven Wert (RMS), der für die Leistungsvergleiche zwischen Wechsel- und Gleichstrom wichtig ist. Es wird auch gezeigt, wie der effektive Wert für sinusförmige Wechselströme berechnet wird, und es wird betont, dass der Faktor für den effektiven Wert nur für sinusförmige Wellen gilt. Der Videoinhalt ist für alle, die mehr über die Grundlagen des Wechselstroms und seine praktische Anwendung lernen möchten, von Interesse.
Takeaways
- 🔌 Der Durchschnittswert (mittelwert) eines Wechselstroms kann durch Integration über einen Periodenzeitraum und anschließendes Dividieren durch die Periodendauer berechnet werden.
- 🔄 Ein Wechselstrom mit einem Durchschnittswert von Null ist ein reiner Wechselstrom, während ein nicht-nuller Durchschnittswert auf ein pulsierendes Signal hinweist.
- 📏 Der Gleichrichtswert (rectified value) wird durch die Summierung der absoluten Werte des Wechselstroms über einen Periodenzeitraum bestimmt und gibt eine positive Orientierung des Stroms an.
- ⚡ Der Effektivwert (RMS, root mean square) ist ein Maß für die Wirksamkeit eines Wechselstroms und wird durch die Quadratwurzel aus dem Durchschnitt des Quadrats der Stromstärke über einen Periodenzeitraum berechnet.
- 🌊 Für Sinuswellen ist der Effektivwert um den Faktor √2 kleiner als der Spitzenwert (Peak value), da die quadratische Natur der Stromstärke die kleineren Werte stärker abdämpft.
- 📐 Die Formel für den Effektivwert einer Sinuswelle ist \( X_{\text{eff}} = \frac{X_{\text{amplitude}}}{\sqrt{2}} \), wobei \( X_{\text{amplitude}} \) die Amplitude der Sinuswelle ist.
- 🔄 Die Phasenverschiebung (Phase shift) in einer Sinuswelle kann durch einen Offset in der Argumentenfunktion der Sinusfunktion modelliert werden.
- 🌀 Die Kreisfrequenz (angular frequency) Omega ist mit der Frequenz F verknüpft durch die Beziehung \( \Omega = 2\pi f \) und ist für die Beschreibung der Sinuswelle von Bedeutung.
- 📊 Die Integration zur Berechnung des Effektivwerts einer Sinuswelle führt auf die Erkenntnis, dass der Effektivwert halber Periodendauer entspricht, was zu \( \frac{T}{2} \) führt.
- 🔢 Die Berechnung des Effektivwerts für nicht-sinusförmige Wellen erfordert eine andere Herangehensweise, da der Faktor √2 nur für Sinuswellen gilt.
Q & A
Was ist der Durchschnittswert eines Wechselstroms?
-Der Durchschnittswert eines Wechselstroms wird durch Multiplikation der Amplitude mit der Zeitdauer, während der ein bestimmter Wert vorliegt, und anschließendes Dividieren durch die Gesamtperiodendauer berechnet. Er ist Null für sinusförmige Wechselströme und zeigt, ob es sich um einen Wechselstrom oder ein pulsierendes Signal handelt.
Wie wird der Effektivwert eines Wechselstroms berechnet?
-Der Effektivwert, auch als RMS (Root Mean Square) bezeichnet, wird durch die Quadrierung der Amplitude, Multiplikation mit der Zeitdauer und anschließendem Wurzelziehen des Ergebnisses über der gesamten Periodendauer berechnet. Für sinusförmige Wellen ist der Faktor der Quadratwurzel aus 2 zu berücksichtigen.
Was ist der Unterschied zwischen dem Effektivwert und dem Spitzenwert eines sinusförmigen Wechselstroms?
-Der Effektivwert ist kleiner als der Spitzenwert, da er die Wirksamkeit des Stroms angibt, während der Spitzenwert die maximale Amplitude der Welle darstellt. Für sinusförmige Wechselströme ist der Effektivwert um den Faktor der Quadratwurzel aus 2 kleiner als der Spitzenwert.
Was ist die Bedeutung des Begriffes 'Geglätteter Wert' in Bezug auf Wechselströme?
-Der geglättete Wert ist der Wert, der durch die Summierung und anschließende Division der absoluten Werte der Wechselstromamplituden über die gesamte Periodendauer berechnet wird. Er zeigt, wie groß oder klein der Wechselstrom ist, ohne die negativen Werte zu berücksichtigen.
Warum ist der Effektivwert wichtig, wenn man Wechselstrom und Gleichstrom vergleicht?
-Der Effektivwert ist wichtig, um die Wirksamkeit von Wechselstrom und Gleichstrom zu vergleichen, da er angibt, wie viel Leistung ein Wechselstrom übertragen kann, vergleichbar mit einem Gleichstrom von gleichem Effektivwert.
Wie wird die Amplitude eines sinusförmigen Wechselstroms definiert?
-Die Amplitude eines sinusförmigen Wechselstroms ist der maximale Wert der Welle, der auch als Spitzenwert bezeichnet wird. Sie gibt an, wie hoch oder tief die Welle oszilliert.
Was ist die Rolle der Kreisfrequenz (Omega) in der Beschreibung eines sinusförmigen Wechselstroms?
-Die Kreisfrequenz Omega gibt an, wie schnell die sinusförmige Welle oszilliert. Sie ist mit der normalen Frequenz F verknüpft, indem Omega gleich 2 Pi mal F gesetzt wird, wobei 2 Pi eine vollständige Rotation darstellt.
Was ist ein Phasenverschiebung und wie wird sie in einem sinusförmigen Wechselstrom dargestellt?
-Eine Phasenverschiebung ist eine Verschiebung der Welle über die Zeitachse. Sie wird durch den Faktor 'Phi' (Φ) dargestellt und kann dazu führen, dass die Welle früher oder später beginnt, was mathematisch als Omega t plus Phi ausgedrückt wird.
Wie wird die Wirksamkeit eines Wechselstroms in einem Netz beschrieben?
-Die Wirksamkeit eines Wechselstroms wird durch den Effektivwert beschrieben, da dieser die durchschnittliche Leistung angibt, die ein Wechselstrom übertragen kann, vergleichbar mit einem Gleichstrom von gleichem Effektivwert.
Warum ist es schwierig, mit sinusförmigen Wellen zu arbeiten, und was wird in zukünftigen Videos thematisiert?
-Es ist schwierig, mit sinusförmigen Wellen zu arbeiten, weil ihre mathematische Beschreibung komplex ist und sie nicht einfach addiert oder subtrahiert werden können. In zukünftigen Videos wird es darum gehen, sinusförmige Wellen in einer anderen Form zu repräsentieren, die ihre Handhabung erleichtert.
Outlines
🔋 Einführung in Wechselstrom
Der Sprecher begrüßt die Zuschauer und führt in das Thema Wechselstrom ein. Es wird erklärt, dass Wechselstrom durch periodische Werte gekennzeichnet ist, die sich über die Zeit verändern. Der Unterschied zwischen pulsierenden, wechselnden und gleichgerichteten Werten wird erläutert. Es wird die Frage aufgeworfen, welchen Wert man für Wechselstrom verwendet – den Anfangs-, Maximal- oder Endwert. Der Sprecher erklärt, dass er verschiedene Werte vorstellen wird, um zu bestimmen, welcher am sinnvollsten ist.
📊 Der Durchschnittswert von Wechselstrom
Der Sprecher erklärt den Begriff des Durchschnittswerts, der durch die Summierung von Werten über eine bestimmte Zeit und deren anschließende Division durch die Dauer der Periode berechnet wird. Wenn der Durchschnittswert Null ist, handelt es sich um eine wechselnde Größe, andernfalls um eine pulsierende Größe. Der Prozess der Berechnung wird auch für nicht-lineare Funktionen erläutert, wobei Integrale für sehr kleine Zeitabschnitte verwendet werden.
➖ Der Gleichrichtwert von Wechselstrom
In diesem Abschnitt wird der Begriff des Gleichrichtwerts erläutert. Der Sprecher erklärt, dass der Gleichrichtwert alle Werte positiv betrachtet, also auch negative Werte als positiv zählt. Dadurch wird der Gleichrichtwert größer als der Durchschnittswert und eignet sich besser, um die Größe einer Wechselgröße zu bestimmen. Der Sprecher führt die Berechnung des Gleichrichtwerts fort und erwähnt dabei den Unterschied zwischen Spannung und Leistung.
⚡ Effektivwert und RMS
Der Sprecher erklärt den Effektivwert, auch bekannt als Root Mean Square (RMS). Dieser Wert gibt an, wie effektiv eine Wechselgröße ist, indem sie mit einer Gleichgröße verglichen wird. Der Effektivwert wird als besonders wichtig dargestellt, um die tatsächliche Leistung zu bestimmen, da kleine Werte im Vergleich zur Gesamtleistung weniger ins Gewicht fallen. Der Sprecher führt die mathematische Berechnung des Effektivwerts durch, indem das Quadrat der Werte genommen, gemittelt und dann die Quadratwurzel gezogen wird.
📐 Berechnung des Effektivwerts für Sinuswellen
Der Sprecher wendet die zuvor erläuterte Methode der Effektivwertberechnung auf eine Sinuswelle an. Dabei wird erklärt, dass eine Sinuswelle durch eine Kreisfrequenz und eine Phasenverschiebung beschrieben wird. Es wird auch darauf eingegangen, wie sich die Amplitude und die Frequenz auf die Sinuswelle auswirken. Der Sprecher leitet schließlich die Formel für den Effektivwert einer Sinuswelle her und zeigt, wie man die Werte für verschiedene Funktionen berechnen kann.
📝 Integralrechnung für Sinuswellen
In diesem Abschnitt geht der Sprecher tiefer in die Integralrechnung ein, um den Effektivwert für eine Sinuswelle zu berechnen. Er beginnt mit der Berechnung des Integrals von Sinusquadraten und zeigt die Schritte der Integration auf. Durch das Anwenden des Pythagoras wird die Identität von Sinus- und Kosinusquadraten genutzt, um das Integral zu vereinfachen. Der Sprecher demonstriert, wie man durch diese Methode zu dem Ergebnis kommt, dass das Integral des Sinusquadrats über eine Periode der halben Periodendauer entspricht.
📏 Effektivwert für Sinus- und andere Wellenformen
Hier fasst der Sprecher die bisherige Herleitung des Effektivwerts für Sinuswellen zusammen und erklärt, dass dieser Wert immer kleiner ist als der Spitzenwert der Welle, da kleine Werte bei der Leistungsermittlung weniger relevant sind. Er weist darauf hin, dass der Faktor Wurzel aus 2 nur für Sinuswellen gilt. Für andere Wellenformen müsste eine andere Methode verwendet werden, um den Effektivwert zu berechnen. Abschließend wird darauf hingewiesen, dass die Effektivwertberechnung eine Standardmethode für Sinuswellen darstellt, aber bei anderen Signalen Vorsicht geboten ist.
Mindmap
Keywords
💡Wechselstrom
💡Mittlere Wert
💡Gleichstrom
💡Gleichrichtswert
💡Wurzel aus dem quadrierten Durchschnitt (RMS-Wert)
💡Amplitude
💡Kreisfrequenz
💡Phasenverschiebung
💡Sinuswelle
💡Integrieren
Highlights
Alternating current (AC) is characterized by periodically changing values over time.
AC can be pulsating, alternating, or direct values, all fulfilling the condition of periodicity.
The average value of AC is calculated by integrating the product of instantaneous value and time over one period and dividing by the period.
An average value of zero indicates an alternating quantity, while a non-zero value indicates a pulsating quantity.
The rectified value of AC is obtained by taking the absolute value of the instantaneous value, multiplying by time, and averaging over a period.
The effective value, or root mean square (RMS), is used to compare the effectiveness of AC with direct current (DC).
The RMS value is calculated by squaring the instantaneous value, integrating over a period, averaging, and then taking the square root.
For sinusoidal AC, the RMS value is the amplitude divided by the square root of two.
The peak value of a sinusoidal AC is higher than the RMS value by a factor of the square root of two.
The concept of circular frequency (Omega) is introduced to describe the rate of change in a sine wave.
The phase shift in a sine wave is represented by adding an offset to the circular frequency.
The integral of sine squared over a period equals half the period for a sine wave.
The effective value of a sine wave is derived through integration and trigonometric identities.
The square root of two factor in RMS calculation is specific to sinusoidal waves and alternating quantities.
The RMS value is considered the effective value for sinusoidal signals in many practical applications.
Future discussions will cover alternative representations of sinusoidal waves to simplify calculations and analysis.
Transcripts
hello and welcome to a new video about
alternating current last time we talked
about what alternating current is now we
know that there are pulsating values
maybe yeah that there are alternating
values that there are even direct values
and they all fulfill but they all
fulfill the condition that is
periodically okay so we have
periodically
values so this value might change over
time or it will change over time that's
the characteristic of alternating
current yeah it is repeating itself but
it's changing over time so with just one
value which value should I give the
value at the beginning the maximum value
the value at the end the maximum and the
minimum value what what
what today I want to show you some
values we
might know yeah or can calculate and
then we can decide which one has the
most sense yeah so one thing we already
talked last time it's the average value
okay mean value average
value the average
value the symbol of the average value
is
X for the variable with little
bar and we said okay we're taking the
value at a certain point time x multiply
how long this value is at this level
yeah and we summarize all those
things from zero to the whole periodic
duration yeah and then we divide by the
periodic duration we have the average
value
right so if we at one point we have 1
millisecond we have 1 volt then we have
3 milliseconds 2 volts then we have 1
millisecond minus 2 volts so I take all
this yeah multiply by the duration we
take yeah it takes and divide them by
the
total periodic
duration then we can calculate the
average value and if this average value
is zero we know we have an alternating
quantity if this average value is not
zero we know we have a pulsating
quantity that's about it yeah and if
it's not in segments yeah maybe you can
solve rectangles you can
solve triangles yeah but if if it's for
instance a sinus wave yeah which is very
common then we are at the end yeah what
if this is some common function yeah
some some functions with some function
simply not just steps then we have to do
the following thinking we say okay we're
not we not summarizing all parts we are
segmenting my fun in our function in
very small very small rectangles and and
these rectangles they're that tiny that
they just just there yeah unimaginable
small but just there then this is uh an
Infinity M transition and we no longer
write delta T we write DT okay so this
is this very very small Delta D of
course we have to multiply with X from d
and then we have to summarize all those
small
stripes and we don't write them the sum
sign we do write a big S we call it
integral from nulis from 0 to the
periodic duration and of course this
that's it it's the average value of with
infinity deal transition now it's a
so-called integral
and well average value but you canot
tell I mean here average value is zero
if it like last time I already said if I
touch this in in the power sockets I
probably hurt
myself so there's another thing the
other thing is called rectified
value this rectified
value
symbol
because actually it's ex it's exactly
the same here we
summarize we divide we use this X from D
multiplied by a Delta time but we're not
using X from T we
using the absolute value of x from T so
also negative value will count as
positive yeah this
means well all things will add up and
I'm can tell if something is big or not
that big yeah here they are eliminating
itself here they're summarizing yeah so
also here after the from n to Z to T
after the infinite transition we have
your average value from
X DT that's the rectified value yeah so
the rectified value already shows if
something is big or
small but do you remember how we
calculated the
power power was voltage multiplied by
current U multiplied by I taking into
account the ohms law it was u² / r or a
squ air squ multili R we have the square
so double a voltage does not mean double
the power double the voltage means qu uh
qu four times the power of course yeah
half the half the voltage means quarter
of the
power this is not suitable for say how
effective a voltage is because also the
small parts simply add up yeah but the
small parts you know they are not that
important because they really do not
bring that much power inside if I want
to compare alternating current with
direct current I need to somehow tell
how effective a value is and
therefore is the effective
value effective
value
or often often called root mean
Square RMS
yeah this already tells what we have we
are calculating so our effective value
this the symbol is a big the big symbol
the big letter of the of the symbol yeah
and this is now we summarize
again over the whole yeah multiply again
but this Delta D and this time we're not
taking X from D we're taking x
squared yeah and then of course we do
the we do the average value again mean
Square yeah and root this root is still
missing yeah because right now I would
have I don't know m²
of but so we make a
root square root yeah now we have amps
or volts or whatever X
is that's the effective value if you
want to write
it
for every function it would look like
this effective
value this tells how effective here we
said we have 230 volts inside and this
23
volts they are the effective value the
root mean square and this is as
effective as it there would be 230 volt
as
powerful as would be 230 volt of direct
current inside
now let's have a look often we are using
sine waves yeah and what is this X from
d for a sign wave yeah here I tried to
draw a sine wave yeah so this is our X
from T shall be right so our X from T we
want to write it down X from
T
equals we have some
sign
MH and the sign is changing between
minus one and one H it's going up to one
it's going down to minus one here it's
going up to some some Peak value yeah
some amplitude this B will I have to
multiply with this so This
X is called
amplitude also Peak
value in in ballting things you have to
be careful with this peak value
amplitude is somehow nicer so we have
sinus and then we have some angle right
and we somehow has to determine how fast
this is changing and therefore we using
a circular frequency Omega and the and
the time T yeah so
Omega is the
cular
frequency with the normal normal
frequency repeating by second we have
omega equal 2 pi
F okay so in here we would have
50
Herz and our Omega would be 2 pi MTI 50
because 2 pi is a full rotation and I
need this radiant here for
my sinus function okay right now yeah
our sinus would start here yeah at
zero and what if I want to have set
nobody said it must start here
nobody so if you want an F set we have
to Simply add an of set here
yeah this the zero
face angle face
shift zero phase shift at zero time yeah
how many radiant we are we have diant
and this stuff here yeah this is called
V equals Omega t plus 3x so exactly what
is inside our sinus here this is called
phase phase
okay yeah so this is describing a sine
wave right and we this where is this
let's calculate the effective value of a
sine wave let's try this is want yeah
now that we know what is X from D why
not so let's make an
example and I want to make it easy so
look at that I will
say the amplitude is
one yeah I will say we have no no zero
phase yeah zero yeah and my circular
frequency is one so actually what is at
the end X from T
equals sinus from
T that's that's our example
right now we want to
know the
effective
value well we had this X
equals again I'm using this formula
now square root of 1 / T integral from 0
to T from x² T
DT so in our
case sence
squ D
DT this we have to
calculate
right and now now I'm grabbing a new
sheet of
paper
because what we want to calculate is
integral 0 to
T sin s red from D
DT only this part is in a part we want
to
calculate why I'm grabbing a new sheet
of paper because you will see mhm
okay there something to do so actually
we could
say that sinus from T multiplied by
sinus from t
DT
yeah now we have this chain law yeah so
we say that's
G Dash and that's
F so what is now our G from
T cosinus is minus sinus so this must be
minus
cosinus
and our F Das from
T
sinus derive this
cosinus so let's see what is left first
I need to to use G from
T G from T is minus
cosinus multiplied by F from
t h this is
sinus and then we have minus
integral 0 to T and inside the integral
we just shift in this so we have G from
D this again minus
cosinus multiplied by
F derived yeah F derived is
cosinus
that's it so let's write this once again
we have minus cosinus from from T sinus
from
T and here plus integral 0 D cos *
cosinus cos s d
DT good huh now we have not just a s of
squar we have a CO of squar and other
stuff does it look
easier not
yet let's have a look at this Co sinus
cosinus squar and stuff and Stu yeah
well let's make the unit circle here's
the unit
circle so we have here one we have here
one there's the
circle H we have here one radius is
one now let's have a look what is
this this is if we have here the angle
Al this is uh
sinus and what is
this
that is
coinus
coinus and here we
have
90° so this
means
pagas sinus squ from
alpha plus cos squ from
alpha equal 1 2
1
this means Co
squ from
alpha ALS
1us sinus
squ from
Alpha and what is true for Alpha is also
true for here so let's use this new
stuff and say integral 0 from T sinus
squ D DT
equals minus cosinus from
T sinus from t plus integral from n to T
1us sinus s d
DT
equals
minus Co cus from
T sinus from
t plus integral from 0 to T 1 DT minus
integral 0 to T sin
s from T DT this is just
T So This is actually minus cosinus from
T sinus from t plus T minus integral
from 0 to T sinus s from D
DT and what is on the other end of this
equation this is still integral
from sinus squ D
DT this I bring to the other to the
other side and I have here 2 sin squ
yeah so I have here 2 * integral 0 from
T sinus
squar
dtt this and what is left on this side
is T
minus cosinus from
T sinus from T between 0 and
T let's calculate this upper upper
border minus lower border so we have
here D minus cosinus from T sinus from T
and now
minus Z minus and minus is plus plus
cosinus from Z sinus from
zero
H conus from T is 1 sinus from T is Z
cosinus from 0 is 1 sinus from 0 is 0
yeah what is
left
equals
T cuz this is z z zero what is left is T
so in conclusio integral from 0 to T sin
squar
TTT
equals periodic duration divided by
two
this is what we found out yeah and this
is where is it here what we going to use
here yeah I write down
with integral 0 to T sin s t DT equals
what is this
T
half get rid of this
let's see what is the result if I write
this in here our
x
equals 1 / D
multiplied D /
2 there's not much left equals Square <
TK one of 12 and this equal 1 / < TK of
2
now if we would have here this not one
yeah
but something yeah then we would read uh
we would see uh
for sinus
shaped
alternating
quantities X the effective Val value
equals x the amplitude / square root of
2 x the amplitude equals the effective
value multiplied by the sare otk of
two okay so if we say in here we have
230 volts then the maximum the peak
value is not 230 Vol it's 230 Vols
multiplied by the sare root of two much
higher much higher huh so here we're
much higher the effective value is not
that high because simply the small
values here they do not really bring too
much power because of the square yeah so
the effective value the mean root square
is
Factor square root of two smaller than
the peak value yeah but now we have seen
where this is coming from right
here this was where this was coming from
this
is
uh now I'm really really losing losing
track of all my my
here of all my sheets yeah it's just
valid for
or uh sinus functions because it's
coming of this because we had this sinus
squar here this this is what we done
what we've done here s a square that's
that's that's it and there the root this
the square root of two is appearing H so
if we do have other
then other functions then than S sine
waves we have to
use we cannot use Square Ro of two
yeah it's important to know because a
lot of times you hear yeah it's square
root of two huh no only in sine waves
and only in case there's
alternating uh quantities if this is a
pulsating
quantity
oh
good so this was the time behavior and
parameters if we not mentioning any else
then a mentioned value is always the
effective value of a sinus shaped signal
is always the effective value
okay and since our effect uh sinus
shaped waves are very important to us
it's not that easy to to calculate with
sine waves well one sine wave or
right more sine waves multiply them sub
summarize them substitute them
it's not that easy yeah so next time we
will talk about how we can represent a
sinus
wave different in a different form which
makes us easier to handle them next
time variant of sinus sin sinos
solal quantities for this time thank you
very much for listening goodbye
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