Identidades trigonométricas, Identidades de simetría e identidades de suma y resta.

Summary

このビデオでは、三角関数の対称性、和差の公式を使って新しい三角関数の恒等式を導出する方法を解説しています。単位円を基に、負の角度に対するコサインとサインの対称性を示し、その後、和差の公式（例：sin(a + b)、cos(a + b)）を使って、さらに複雑な三角関数の恒等式を証明しています。具体的な角度を使った例や、簡単な代数的操作を通じて、視覚的かつ理解しやすい形で説明が行われています。

Takeaways

• 😀 同じ角度に対して、cos(−θ) = cos(θ) というように、cosine は対称性を持つ。
• 😀 反対に、sin(−θ) = −sin(θ) として、sine は非対称性を持つ。
• 😀 単位円上で角度と三角関数の値がどう対応するかを理解することが、三角恒等式を導く鍵となる。
• 😀 角度 θ と −θ は、単位円で反対の方向に位置するため、それぞれの sin と cos は異なる関係性を持つ。
• 😀 例えば、θ = π/6 の場合、sin(π/6) = 1/2 と cos(π/6) = √3/2 という値を得ることができる。
• 😀 加法定理と差分定理は、三角関数をより複雑な形に変換し、計算を簡単にするための重要なツール。
• 😀 加法定理：sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)、これは直感的に覚えやすい。
• 😀 差分定理：sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)、加法定理と類似した形で覚えることができる。
• 😀 cos(a + b) の恒等式は、cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b) という形になる。
• 😀 tan(a + b) の恒等式は、tan(a + b) = (sin(a + b)) / (cos(a + b)) と表され、加法定理を使って簡略化できる。
• 😀 与えられた角度に対して、単位円を使って三角関数の値を導出することで、複雑な三角恒等式を証明することができる。

Q & A

単位円における正弦と余弦の関係は何ですか？

単位円では、角度θに対応する点のx座標が余弦、y座標が正弦です。すなわち、cos(θ) = x、sin(θ) = yです。

θと-θの余弦の関係はどうなりますか？

余弦は偶関数なので、cos(-θ) = cos(θ)です。つまり、θが正であっても負であっても、余弦の値は変わりません。

θと-θの正弦の関係はどうなりますか？

正弦は奇関数なので、sin(-θ) = -sin(θ)です。つまり、θが正であれば、-θの正弦は反転します。

θ = π/6の場合、sin(π/6)とcos(π/6)の値はどうなりますか？

θ = π/6の場合、sin(π/6) = 1/2、cos(π/6) = √3/2です。

π/2 - θの正弦と余弦の関係はどうなりますか？

π/2 - θの場合、sin(π/2 - θ) = cos(θ)およびcos(π/2 - θ) = sin(θ)となります。

加法定理と減法定理の違いは何ですか？

加法定理では、sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)、cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)です。減法定理では、sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)、cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)です。

加法定理を記憶するための覚え方はありますか？

加法定理の覚え方として、sinはそのまま、cosは逆に符号を変えることを覚えるとよいです。また、加法の場合、sinとcosの積を考え、順番を間違えないようにします。

tan(a + b)の加法定理の証明はどのように行われますか？

tan(a + b)は、tan(a) + tan(b)をcos(a)cos(b)で割った形で表現されます。この形に変換した後、分数の足し算を行い、最終的にtan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a)tan(b))となることを示します。

tan(a + b)の加法定理の適用例を教えてください。

tan(a + b)の加法定理は、複雑な角度の和を計算する際に有用です。例えば、tan(45° + 30°)を計算する際に、この定理を用いると、tan(45° + 30°) = (tan(45°) + tan(30°)) / (1 - tan(45°)tan(30°))という形で簡単に解くことができます。

tan(a + b)の加法定理を利用する利点は何ですか？

tan(a + b)の加法定理を使用すると、複雑な三角関数の計算を簡素化できます。特に、tan(a)やtan(b)が既知の場合、この定理を使用して簡単にtan(a + b)を求めることができます。