Método de Newton-Raphson (Demostración y Ejemplo en Excel)

Summary

Este guion detalla el proceso de encontrar la pendiente de una función a través de la derivada y cómo se utiliza en el método numérico de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una función. Se explica cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos y cómo esta información se aplica para hallar la raíz de una función. El guion también sugiere el uso de herramientas como Excel para graficar y visualizar los puntos de intersección, facilitando la comprensión del método y su aplicación en la resolución de ecuaciones.

Takeaways

• 📈 Se trabaja con una función cualquiera para encontrar la pendiente de una recta que coincida con ella en un punto específico.
• ✏️ La pendiente (m) se obtiene a partir de la derivada de la función y se representa con la letra 'm'.
• 🔍 Se utilizan dos puntos para determinar la pendiente: uno en la función y otro en la recta que se desea que coincida con la función.
• 📐 Para calcular la pendiente, se utiliza la fórmula de diferencias divididas, donde se toma el cambio en 'y' entre los dos puntos dividido por el cambio en 'x'.
• 🔢 Los métodos numéricos son útiles para encontrar el valor de la raíz de una función, es decir, el punto donde la función corta el eje x en 0.
• 📉 Se utiliza el método de Newton-Raphson para aproximar la raíz de una función, lo que implica iterar para encontrar el valor cercano al punto de corte.
• 📊 Se recomienda tener una gráfica de la función para tomar un valor inicial cercano al punto deseado y así facilitar el proceso de encontrar la raíz.
• 📋 Se da un ejemplo práctico utilizando Excel para graficar la función y sus derivadas, lo que ayuda a visualizar los puntos de corte y a tomar un valor inicial adecuado.
• 🔄 El proceso iterativo del método de Newton-Raphson se describe paso a paso, mostrando cómo se calcula el siguiente valor de 'x' y cómo se reduce el error en cada iteración.
• 📝 Se enfatiza la importancia de la precisión en el cálculo y cómo el número de decimales puede afectar la precisión del resultado final.

Q & A

¿Qué es la pendiente de una función y cómo se relaciona con la derivada?

La pendiente de una función es una medida de su inclinación y se representa con la letra 'm'. Se obtiene a partir de la derivada de la función con respecto a 'x', que es el diferencial de la función con respecto a 'x'.

¿Cómo se calcula la pendiente de una recta en el contexto del transcript?

La pendiente de una recta se calcula como el cociente del cambio en el eje y (segundo valor menos el primero) sobre el cambio en el eje x (segundo valor menos el primero).

¿Qué métodos numéricos se utilizan para encontrar la raíz de una función?

Se utilizan métodos numéricos como el método de Newton-Raphson para encontrar la raíz de una función, que es el punto donde la función corta el eje x en 0.

¿Cómo se determina la ecuación de Newton-Raphson para una función dada?

La ecuación de Newton-Raphson se determina tomando el valor actual de 'x', la función sin derivar y la función derivada, y se resuelve para encontrar el próximo valor de 'x' que se acerca a la raíz.

¿Qué es la derivada y cómo se calcula para una función dada?

La derivada es una medida de la tasa a la que una función cambia con respecto a 'x'. Se calcula tomando el límite del cociente del cambio en el eje y sobre el cambio en el eje x cuando estos cambios tienden a cero.

¿Cuál es el propósito de usar Excel para graficar una función y su derivada?

El propósito de usar Excel es visualizar gráficamente la función y su derivada para identificar puntos donde la función podría intersectar el eje x, lo que nos da pistas sobre las posibles raíces.

¿Cómo se elige el rango de 'x' para graficar una función en Excel?

El rango de 'x' se elige basándose en el análisis de la función y sus características, como por ejemplo, valores donde se sabe que la función cambia de signo o donde se espera encontrar raíces.

¿Qué es la jerarquía matemática y cómo afecta la forma en que se escriben las funciones en Excel?

La jerarquía matemática determina el orden en que se evalúan los operadores en una expresión matemática. En Excel, esto significa que ciertos operadores, como la multiplicación y la división, deben estar claramente indicados con paréntesis para asegurar que se evalúen en el orden correcto.

¿Cómo se calcula el error en el método de Newton-Raphson y qué significa?

El error se calcula como el cociente del valor actual menos el valor anterior sobre el valor actual, multiplicado por 100 para obtener un porcentaje. Mide la precisión de la aproximación a la raíz en cada iteración.

¿Por qué es importante tener una gráfica al buscar raíces de una función?

Tener una gráfica es importante porque ayuda a identificar visualmente los puntos donde la función podría intersectar el eje x, lo que facilita la selección de valores iniciales cercanos a las raíces reales.