Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra

Summary

这段视频脚本讲解了线性代数中向量坐标的概念。它阐释了如何将向量表示为基向量的线性组合,并引入了基向量和线性相关性的概念。脚本还探讨了向量空间中的张量,即可通过线性组合获得的所有可能向量的集合。最后,它提出了一个思考题,询问基的定义为什么是线性无关且张量整个空间的向量集合。整体而言,这段脚本以引人入胜的方式介绍了线性代数的基础概念。

Takeaways

• 👉向量的坐标可以看作是基向量的伸缩倍数之和。
• 🔑坐标系统的基向量(如 i 帽和 j 帽)是一种特殊的向量基。
• ➕通过线性组合运算(加权和),可以产生新的向量。
• 🌐几乎所有二维向量都可以通过两个非重合向量的线性组合表示。
• ➿线性组合向量所能覆盖的集合称为这些向量的张量。
• ✌️两个线性无关的向量张成一个平面,三个线性无关的向量张成整个三维空间。
• 🔄线性相关意味着有一个向量可以用其他向量的线性组合表示。
• 🔍线性无关意味着每个向量都为张量贡献了一个新的维度。
• 📐一个向量空间的基础由满足张成该空间且线性无关的最小向量集合定义。
• ✏️通过改变使用的基向量,我们可以得到不同的坐标表示方式。

Q & A

什么是向量的坐标？

向量的坐标是一组数，用于在给定的坐标系中描述向量的方向和大小。例如，在二维坐标系中，向量的坐标可以是一对数（如3, -2），分别代表向量在x轴和y轴方向的分量。

什么是基向量？

基向量是线性代数中用于定义向量空间坐标系的一组特殊向量。在二维空间中，常见的基向量包括i-hat（指向右方，长度为1的单位向量）和j-hat（指向上方，长度为1的单位向量）。这些基向量定义了坐标系的方向和单位长度。

如何通过基向量和坐标来描述向量？

一个向量可以通过将其坐标视为沿基向量方向的伸缩（即标量乘法）后再进行向量加法得到的结果来描述。例如，一个具有坐标（3, -2）的向量可以通过将i-hat向量伸长3倍，将j-hat向量反向伸长2倍后，将两个结果向量相加来得到。

为什么基向量的选择对描述向量很重要？

基向量的选择决定了坐标系的方向和度量，从而影响向量的数值表示。不同的基向量选择会导致同一向量在不同坐标系中有不同的坐标表示。

线性组合是什么意思？

线性组合是指用标量乘法和向量加法从一组向量中生成新向量的过程。给定一组向量和对应的标量，通过对每个向量进行标量乘法后再将结果向量相加，可以得到一个新的向量，这个新向量被称为原向量的线性组合。

什么是向量的跨度（Span）？

向量的跨度是指通过固定向量集的线性组合能够到达的所有向量的集合。在二维空间中，大多数两个非共线向量的跨度是整个二维空间，但如果这两个向量共线，则它们的跨度仅限于通过原点的一条直线。

线性独立和线性依赖的向量有什么区别？

线性独立的向量组意味着没有任何一个向量可以通过其它向量的线性组合来表示。相反，如果一组向量中的至少一个向量可以表示为其它向量的线性组合，那么这组向量被认为是线性依赖的。

空间的基是什么？

空间的基是一组线性独立的向量，通过它们的线性组合可以表示空间中的任何向量。这组向量的数目（基的大小）也定义了该空间的维度。

如何通过改变标量来绘制直线或平面？

通过固定一个标量并让另一个标量自由变化，可以在二维空间中绘制一条直线；在三维空间中，通过改变两个标量可以在平面上移动，从而绘制出一个平面。这反映了线性组合的几何意义。

什么是线性变换？

线性变换是指保持向量加法和标量乘法操作的函数，它可以将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量。这是线性代数中的一个核心概念，通常通过矩阵运算来实现。