✅PENDIENTE de la RECTA y ÁNGULO de INCLINACIÓN | APRÉNDELO HOY!!💯| GEOMETRÍA ANALÍTICA
Summary
TLDREste tutorial de geometría analítica se enfoca en el concepto de pendiente y ángulo de inclinación de rectas. Se explica que la pendiente es una medida de la inclinación de una recta, siendo positiva para rectas ascendentes y negativa para descendentes. Se ilustra cómo calcular la pendiente a partir de dos puntos y cómo relacionarla con el ángulo de inclinación mediante la tangente. El script incluye ejemplos prácticos para hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de rectas dadas, así como para encontrar el ángulo agudo entre dos rectas intersectantes utilizando la fórmula de la tangente de la diferencia de sus pendientes.
Takeaways
- 📚 El tema del video es la pendiente de una recta en geometría analítica.
- 📈 La pendiente representa la inclinación de una recta y puede ser positiva o negativa dependiendo de si la recta es ascendente o descendente.
- 📐 Se utiliza el ángulo de inclinación, 'teta', para describir la dirección en la que se inclina una recta con respecto al eje X.
- 🔢 La pendiente se calcula a través de la fórmula (y2 - y1) / (x2 - x1) para dos puntos (x1, y1) y (x2, y2).
- 📉 La tangente del ángulo de inclinación 'teta' es igual a la pendiente de la recta.
- 📝 Se despeja 'teta' utilizando la tangente inversa de la pendiente para encontrar el ángulo de inclinación.
- 📈 En el primer ejemplo, se busca la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por los puntos (1, 6) y (5, -2).
- 📊 Al graficar los puntos y trazar la recta, se observa que es descendente, lo que sugiere una pendiente negativa.
- ✍ Al calcular, se confirma que la pendiente es -2, y se encuentra el ángulo de inclinación 'teta' utilizando la tangente inversa, resultando en aproximadamente -60.34 grados.
- 🤔 Se corrige el ángulo negativo a un ángulo positivo sumando 180 grados, obteniendo así el verdadero ángulo de inclinación de 116.56 grados.
- 🏢 En el segundo ejemplo, se calcula el ángulo agudo de un paralelogramo dado por los vértices de dos rectas con pendientes m1 y m2.
- 🔄 La fórmula para el ángulo agudo entre dos rectas intersectantes es (tan(teta)) = |(m2 - m1) / (1 + m1 * m2)|.
- 📐 Se calculan las pendientes m1 y m2 utilizando los puntos correspondientes y se aplica la fórmula para encontrar el ángulo agudo, resultando en aproximadamente 40 grados 36 minutos.
Q & A
¿Qué es la pendiente de una recta en geometría analítica?
-La pendiente de una recta es la inclinación o el grado de inclinación que tiene la recta, representada por un número que indica su inclinación positiva (recta ascendente) o negativa (recta descendente).
Cómo se determina si una recta es ascendente o descendente?
-Una recta se considera ascendente si su pendiente es positiva y descendente si su pendiente es negativa.
¿Qué es el ángulo de inclinación y cómo se relaciona con la pendiente de una recta?
-El ángulo de inclinación es el ángulo que la recta forma con el eje X, y está relacionado con la pendiente a través de la fórmula del tangente, donde el tangente del ángulo de inclinación es igual a la pendiente de la recta.
¿Cómo se calcula la pendiente de una recta dada dos puntos?
-Para calcular la pendiente de una recta dada dos puntos (x1, y1) y (x2, y2), se utiliza la fórmula de la pendiente: (y2 - y1) / (x2 - x1).
¿Cómo se determina el ángulo de inclinación a partir de la pendiente de una recta?
-Para determinar el ángulo de inclinación a partir de la pendiente, se utiliza la función tangente inversa (arctangente) de la pendiente.
¿Qué es el ángulo agudo de un paralelogramo y cómo se calcula?
-El ángulo agudo de un paralelogramo es el ángulo menor que se forma entre dos lados adyacentes. Se calcula utilizando la fórmula de la tangente del ángulo, que es la diferencia entre las pendientes de las rectas que se intersectan, dividido por uno más el producto de las pendientes.
¿Cómo se calcula el ángulo de inclinación cuando se conocen las coordenadas de dos puntos de una recta?
-Se calcula utilizando la pendiente de la recta, que se obtiene a partir de las coordenadas de los dos puntos, y luego se aplica la función arctangente (tangente inversa) a la pendiente para obtener el ángulo de inclinación.
¿Qué significa que una recta tiene una pendiente de 'menos 2' y cómo se interpreta esto en términos de inclinación?
-Una pendiente de 'menos 2' indica que la recta tiene una inclinación descendente con un ángulo de inclinación que se puede calcular a través de la función arctangente de -2.
¿Cómo se determina si un ángulo obtenido es el verdadero ángulo de inclinación cuando se trabaja con pendientes negativas?
-Cuando se trabaja con pendientes negativas, el ángulo obtenido a través de la arctangente es el ángulo formado con el eje X negativo. Para obtener el ángulo de inclinación real con respecto al eje X positivo, se debe sumarle 180 grados al ángulo obtenido.
¿Cómo se calcula el ángulo agudo entre dos rectas en un paralelogramo?
-Se calcula utilizando la fórmula de la tangente del ángulo, que es (m2 - m1) / (1 + m1 * m2), donde m1 y m2 son las pendientes de las dos rectas que se intersectan.
¿Qué unidades tiene el ángulo de inclinación y cómo se puede expresar en diferentes formatos?
-El ángulo de inclinación no tiene unidades y se puede expresar en grados decimales, radianes o en notación sexagesimal (grados, minutos y segundos).
Outlines
📚 Introducción a la Pendiente de una Recta
Este primer párrafo presenta el tema del tutorial, que es la pendiente de una recta en geometría analítica. Se describe la pendiente como una medida de la inclinación de una recta, que puede ser ascendente (positiva) o descendente (negativa). Se introduce la fórmula para calcular la pendiente a partir de dos puntos y se relaciona con el ángulo de inclinación a través de la tangente. Finalmente, se sugiere la utilización de un gráfico para facilitar la comprensión y se presenta el primer ejemplo práctico para calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta dada dos puntos.
📐 Ejercicio de Ángulo de Inclinación y Pendiente
En este segundo párrafo se continúa el tutorial con un ejemplo práctico. Se pide calcular la pendiente y el ángulo de inclinación de una recta que pasa por dos puntos específicos. Se describe el proceso de graficación de los puntos y la aproximación gráfica de la recta. Luego, se aplica la fórmula de la pendiente, se realiza el cálculo y se obtiene un resultado negativo, lo que indica una recta descendente. Seguidamente, se calcula el ángulo de inclinación utilizando la tangente inversa y se ajusta para obtener el ángulo correcto en relación con el eje x positivo, resultando en un ángulo de 116.56 grados.
📈 Cálculo del Ángulo Agudo entre dos Rectas
El tercer párrafo se enfoca en el cálculo del ángulo agudo formado por dos rectas que se intersectan, una con pendiente m1 y otra con pendiente m2. Se presenta una fórmula para calcular la tangente del ángulo agudo basada en la diferencia de pendientes dividida por la suma del producto de las pendientes. Seguidamente, se calculan las pendientes de ambas rectas utilizando dos pares de puntos cada una. Con los resultados, se aplica la fórmula para obtener la tangente del ángulo agudo, que se despeja mediante la tangente inversa, dando como resultado un ángulo aproximado de 40 grados 36 minutos.
Mindmap
Keywords
💡Pendiente de la recta
💡Recta ascendente
💡Recta descendente
💡Ángulo de inclinación
💡Tangente
💡Puntos de la recta
💡Geometría analítica
💡Ángulo agudo
💡Paralelogramo
💡Tangente inversa
Highlights
El tema del video tutorial es la pendiente de la recta y su importancia en la geometría analítica.
La pendiente es la inclinación de una recta y puede ser positiva (recta ascendente) o negativa (recta descendente).
El ángulo de inclinación, 'teta', se relaciona con la pendiente a través de la tangente de 'teta'.
Se presenta la fórmula para calcular la pendiente a partir de dos puntos con coordenadas x y y.
Se ilustra cómo graficar dos puntos y trazar la recta que pasa por ellos.
Se calcula la pendiente de una recta pasando por los puntos (1, 6) y (5, -2) y se encuentra que es negativa.
Se describe cómo calcular el ángulo de inclinación a partir de la pendiente utilizando la tangente inversa.
Se aclara que el ángulo negativo indica que la recta está descendente y se ajusta con 180 grados para obtener el ángulo de inclinación real.
Se resuelve un ejemplo para encontrar el ángulo agudo de un paralelogramo dado sus vértices.
Se introduce la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas intersectantes usando sus pendientes.
Se calculan las pendientes de dos rectas en un paralelogramo utilizando los puntos B y C para m1, y C y D para m2.
Se muestra cómo resolver la fórmula para el ángulo entre dos rectas con las pendientes calculadas.
Se utiliza la tangente inversa para encontrar el ángulo a partir de la diferencia de pendientes.
Se menciona la conversión del ángulo de inclinación a grados sexagesimales para una mayor precisión.
Se destaca la importancia de entender la relación entre la pendiente y el ángulo de inclinación en problemas geométricos.
Se enfatiza la utilidad de las fórmulas y conceptos presentados para resolver problemas de geometría analítica.
Se sugiere la aplicación práctica de los conceptos aprendidos para resolver problemas de geometría analítica en el día a día.
Transcripts
[Música]
hola bienvenidos a este vídeo tutorial
de geometría analítica el tema de hoy es
pendiente de la recta y vamos a repasar
algo de teoría para poder resolver
algunos ejemplos en general la pendiente
de la recta es la inclinación o el grado
de inclinación que va a tener ya sea una
recta que venga de esta manera como la
que está dibujado acá en rojo les
llamamos a esta recta de ascendente la
pendiente cuando es ascendente siempre
va a ser positiva en caso contrario nos
podemos encontrar con rectas de esta
forma donde se les llama rectas
descendientes este tipo de rectas tienen
siempre la pendiente negativa el ángulo
teta que se forma a partir de la recta
con respecto al eje de las x como este
que vemos o en el caso de la recta azul
lo veremos así se llamará ángulo de
inclinación ahora cómo calculamos la
pendiente la pendiente como tal no tiene
unidades y tiene simplemente un número
la calculamos para dos coordenadas
cuando se tienen las coordenadas x y dos
puntos la coordinamos con esta fórmula
para el ángulo de inclinación la
relación es tangente de teta es decir el
ángulo es siempre igual a la pendiente
entonces de aquí podemos despejar teta
para poder decir la pendiente vamos a
clarificar estas ideas teóricas con
algunos ejemplos
vamos con el primer ejemplo hallar la
pendiente y el ángulo de inclinación de
la recta que pasa por los puntos 1 6 y 5
menos dos entonces lo primero que hay
que hacer cuando se trata de geometría
lítica siempre es ayudarnos a buscar un
gráfico en este caso vamos a graficar
los dos puntos donde se encontraría el
punto o la coordenada 16 es 1 en x
recordemos que vamos a llamarla esta
coordenada x 1 y el sub 1 entonces sería
x que vale 1 aquí está y ya que vale 6
la coordenada aproximadamente estará
situada más o menos aquí luego
necesitamos ubicar la coordenada 5 menos
25 en x sería 1 2 3 4 5 y luego menos 2
en que estaría más o menos por aquí
ahí está entonces ahora si podemos ya
trazar nuestra recta aproximadamente nos
quedará
algo así de esta manera uno pase por
aquí el otro que pasa en este lado ahí
está y tenemos ya ubicada y nuestra
recta nos podemos dar cuenta que como es
descendente idealmente esperaríamos
tener una pendiente negativa esto nos lo
va a dar al momento de los cálculos
vamos a ver si esta es la coordenada 1 a
éste le vamos a poner x sub-22 la
coordenada 2 y utilizamos nuestra
relación de pendiente que es de 2 menos
de 1 / x 2 - x 1 para hacer esto
rápidamente lo único que hacemos es
sustituir nuestros datos arriba los de
abajo los de x entonces vean arriba los
de jr sería menos 2 menos 6 todos lo
pondríamos así menos 2 menos 6 y luego
los de x abajo 5 -1 5 -1 esto que nos da
menos 2 menos 6 me da menos 85 menos una
humedad 4 entonces haciendo esta
fracción me queda menos 2 y ya tenemos
que nuestra pendiente
vale menos 2
como hemos visto es una recta
descendente esperábamos una pendiente
negativa y así nos lo dio una pendiente
negativa ahora estoy a la pendiente
ahora nos falta el ángulo de inclinación
entonces está sacar este ángulo de aquí
siempre con respecto al eje de las equis
entonces a este ángulo llamado teta
necesitamos calcular lo utilizamos para
esto nuestra relación que viene así
tangente de teta igual la m
tira aquí lo despejó teta que es el
ángulo la tangente que aparece haciendo
una función llamada tangente la puedo
pasar a del otro lado haciendo la
función complementaria o contra y que es
tangente inversa de la pendiente
entonces esto es lo que tendríamos que
hacer que nos quedaría vamos a hacerlo
lo que podríamos sería con calculadora
tangente inversa de menos 2 ahí está voy
a ponerlo aquí para ver qué nos arroja
teta entonces si lo hacemos con
calculadora y ponemos tangente inversa
de menos 2 nos da menos 60 y 3.43
entonces ojo acá esta tangente este
ángulo que acabo de sacar como es una
pendiente negativa automáticamente será
este que está aquí vamos a ponerle aquí
teta prima o teta son 1
entonces este ángulo es el que está
formado con la recta con respecto al eje
de las x para poder sacar el otro ángulo
el que realmente es el ángulo de
inclinación con respecto al eje x
positivo en este caso necesitaremos
sumarle 180 grados esto para poder
llegar entonces si le sumamos 180 grados
llegamos al verdadero theta ángulo de
inclinación haciendo esto nos da 116
punto 56 grados 116 punto 56 grados lo
dejo así en grados decimales si quieren
pueden transformarlo a radiales o pueden
transformarlo a la anotación de grado
sexagesimal
vamos ahora con el siguiente ejercicio
nos dicen hallar el ángulo agudo del
paralelogramo cuyos vértices son y
tenemos aquí cuatro vértices que ya
están gráfica 2 para ahorrarnos el
tiempo a b c y d
entonces nos piden el ángulo agudo es
decir este ángulo que se encuentra aquí
voy a marcarlo como nuestro ángulo theta
entonces ahora lo que tenemos aquí
prácticamente es un problema donde hay
dos rectas que se estan intersectando la
recta con pendiente m 1 y la recta con
pendiente m2 por lo tanto hay una
fórmula que no hemos visto la cual es la
siguiente la tangente del ángulo
en este caso el ángulo que se encuentra
agudo entre las dos rectas va a ser
igual a la diferencia entre sus
pendientes dividido entre uno más el
producto de sus pendientes entonces esta
fórmula siempre funciona para cuando hay
dos rectas que se intersectan podemos
calcular el ángulo agudo en cada una de
las rectas si se considera esta fórmula
entonces lo primero que hay que hacer es
calcular las pendientes
vamos con m1 vamos a ver cuánto sería m1
recuerden que la fórmula es de 2 menos
de uno sobre x 2 menos x 1 entonces acá
hasta m 1 voy a utilizar los puntos b y
c
aquí están b y x 3 restamos los de y en
este caso son 7 menos 5 vamos a restar
los
y luego abajo restamos los de x 10 menos
uno
ahí está entonces tendríamos aquí 2 y
abajo tendríamos 9 entonces tenemos que
la pendiente m 1 equivale a dos novenos
vamos a encerrar la vamos ahora con la
pendiente m2 que se trata de esta recta
ahora tiene las coordenadas c y d
entonces ahora nos va a interesar la
cornada y la cornada de primero restamos
arriba lo deje
3 - 7
y abajo restamos lo de x 7 menos 10
así entonces tres menos siete me quedan
menos 4 7 10 me quedan menos 3 haciendo
regular signos me quedaría como 4
tercios ahí está entonces cuatro tercios
sería la pendiente m2
ahí está ya que tenemos ahora si los
pendientes conviene dejarlas siempre en
fracción ya que estamos empleando o
estamos en matemáticas prácticamente no
conviene dejarlo en decimal
entonces ahora vamos a hacer esto
tangente de teta
vamos a aplicar ahora si nuestra fórmula
que es m2 menos m1 m2 es cuatro tercios
vamos a ponerlo así menos m 1 que es dos
novenos ahí está entre 1
más el producto de esas dos pendientes
que serían cuatro tercios por dos
novenos y vamos aquí a resolver esto
vamos a ver qué nos da primero arriba el
mínimo común pues es 99 entre 3 me da 3
por 4 12
9 entre 9 me da uno por 22 pues el
primer resultado que tenemos es 10
novenos en la parte de arriba
ahora vamos a ver qué tenemos abajo un
entero más y aquí pues tenemos un
producto de fracciones 2 por 48
3 por 927 bajista y entonces para hacer
esta operación rápido alumno lo puedo
ver como 27-27 a vos por qué porque como
el denominador es 27
entonces me conviene más verlo como 27
27 a vos el 1 lo voy a transformar en 27
27 a vos por qué porque está entre esto
es lo mismo me da 1 para que lo pongo
así para que nada más sume los de arriba
y ponga la fracción dividida en 27 a vos
27 8 nos da 35
me quedaría 35 27 8
ahí está 27 aguas perdón ahora si
extremos por extremos y medios por
medios vamos a hacerlo así pero no lo
vamos a multiplicar únicamente lo voy a
dejar indicado nos quedaría 10 en este
caso por 27 ahí está vamos a borrar la
parte de la fórmula
y luego multiplicaríamos in dejando
indicado también la parte de abajo 9
entre 30 y 59 perdón por 35 todo esto
para hacer lo siguiente no ven al 91
novena de 27 3 y ahora si es multiplicar
números más chicos 3 por 10 me da 31 por
35 me queda 35 luego esto que sacamos
quinta quinta y quinta quinta de 30 me
queda 6 quinta de 35 me queda 7 listo 6
séptimos
es decir la tangente de teta equivaldría
a 6 se activos y podríamos ahora sí
despejar nuestro teta
vamos a borrar esta partida no
necesitamos nuestra parte ya hemos
calculado las pendientes entonces ahora
sí vamos por nuestro objetivo que es
esto de aquí al despejar theta nos
quedará la tangente inversa metiendo en
calculadora de 6 séptimos
esto nos da con calculadora un ángulo
aproximado ya incluso tengo la
calculadora del sexagesimal me da 40
grados como 36 minutos yo voy a poner la
silla 40 grados 36 minutos si lo ponen
calculadora y lo tienen en degrees en
grados decimal les dará 40 grados o 40
puntos y fracción este punto y fracción
habría que transformarlo
minutos para llegar a esta conversión y
listo de esta forma nos queda el
ejercicio
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