Transformaciones Gráficas de Funciones | Ejercicios Resueltos
Summary
TLDREl video explica de manera detallada cómo las transformaciones gráficas afectan las funciones matemáticas básicas. Comienza repasando las gráficas de funciones como la lineal, cuadrática, cúbica, raíz cuadrada y valor absoluto. Luego, muestra cómo estas gráficas se reflejan, desplazan o se estiran cuando se les aplican transformaciones como agregar un signo negativo, sumar o restar una constante, y multiplicar por un número. A través de ejemplos visuales, se enseña cómo identificar la ecuación correspondiente a una gráfica transformada.
Takeaways
- 📊 La gráfica de una función se transforma reflejando o invirtiendo el eje x cuando se le agrega un signo negativo a la función.
- 🔄 Al agregar un signo negativo a una función cuadrática, se refleja la gráfica en el eje x y la ecuación cambia a -x^2.
- 🔽 Cuando se coloca un signo negativo en la función del valor absoluto, la gráfica se refleja hacia abajo y la ecuación se convierte en -|x|.
- 🔼 La gráfica de la función \( y = \sqrt{x} \) se refleja hacia arriba cuando se le agrega un signo negativo, cambiando la ecuación a -\(\sqrt{x}\).
- ⬆️ Al sumar una constante positiva a una función, la gráfica se eleva en la cantidad de unidades equivalentes a la constante.
- ⬇️ Si la constante agregada es negativa, la gráfica de la función se desplaza hacia abajo en la cantidad de unidades del valor absoluto de la constante.
- ↔️ La adición de una constante dentro de un paréntesis y dentro de la función provoca un desplazamiento horizontal de la gráfica; positiva a la izquierda, negativa a la derecha.
- 🔄 La multiplicación de una función por un número mayor a 1 hace que la gráfica se estreche, mientras que una constante fraccionaria la hace más ancha.
- 📉 La multiplicación de una función por un número fraccionario hace que la gráfica se expanda y se acerque al eje x.
- 📈 Al multiplicar una función por un número, si el número es mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, mostrando una mayor pendiente.
Q & A
¿Qué sucede cuando se añade un signo negativo a una función en una gráfica?
-Al añadir un signo negativo a una función, su gráfico se refleja o invierte sobre el eje x, que actúa como un espejo para obtener la transformación correspondiente.
¿Cómo se ve la gráfica de la función cuadrática cuando se le añade un signo negativo?
-La gráfica de la función cuadrática, que es 'x al cuadrado', se refleja sobre el eje x y su ecuación se convierte en 'menos x al cuadrado'.
¿Cuál es el efecto de sumar una constante a una función en su gráfica?
-Al sumar una constante a una función, su gráfica se eleva o se desplaza verticalmente en la cantidad de unidades de la constante.
¿Cómo se transforma la gráfica de la función 'y = sqrt(x)' cuando se le añade un signo negativo?
-La gráfica de la función 'y = sqrt(x)' se refleja hacia abajo y su ecuación se convierte en 'menos sqrt(x)'.
¿Qué ocurre cuando se multiplica una función por un número mayor a 1?
-Al multiplicar una función por un número mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, acercando la función al eje y.
¿Cómo se desplaza la gráfica de una función cuadrática si se le añade una constante dentro de un paréntesis?
-Si se añade una constante dentro de un paréntesis a una función cuadrática, la gráfica se desplaza horizontalmente a la izquierda o derecha, dependiendo del signo de la constante.
¿Cuál es el efecto de multiplicar una función por un número fraccionario o racional?
-Al multiplicar una función por un número fraccionario o racional, la gráfica se vuelve más estrecha o se aproxima al eje x.
¿Cómo se determina la ecuación de una gráfica dada si se sabe que está reflejada y desplazada?
-Para determinar la ecuación de una gráfica reflejada y desplazada, se debe identificar el signo de refleje, la cantidad y dirección del desplazamiento, y aplicar estas transformaciones a la ecuación de la función primitiva.
¿Qué indica el signo menos en una ecuación de función cuando se refiere a desplazamiento horizontal?
-El signo menos en una ecuación de función indica un desplazamiento horizontal a la derecha, mientras que el signo más indica un desplazamiento a la izquierda.
¿Cómo se relaciona la posición del vértice de una parábola con la ecuación de la función cuadrática?
-La posición del vértice de una parábola está dada por la ecuación 'y = a(x - h) al cuadrado + k', donde (h, k) es la coordenada del vértice y la cantidad 'h' indica el desplazamiento horizontal.
¿Cómo se puede identificar si una gráfica pertenece a una función de valor absoluto?
-Una gráfica que pertenece a una función de valor absoluto tiene una forma V invertida, y su ecuación es 'y = |x - a|', donde 'a' es la coordenada horizontal del vértice.
¿Qué sucede con la gráfica de una función cúbica al multiplicarla por un número mayor a 1?
-Al multiplicar una función cúbica por un número mayor a 1, la gráfica se hace más estrecha, manteniendo la forma general de una función cúbica pero con una mayor frecuencia de oscilación.
Outlines
📈 Transformaciones de Gráficas de Funciones Básicas
Este párrafo explica las transformaciones gráficas de funciones matemáticas básicas, como la función y=x, y=x^2, y=√x y y=|x|. Se describe cómo el cambio de signo en una función afecta a su gráfica, reflejándola o invirtiéndola con respecto al eje x. Se muestran ejemplos de cómo agregar un signo negativo a las funciones cuadrática y la raíz cuadrada, y cómo esto se refleja en su gráfica y su ecuación correspondiente. Además, se menciona cómo la gráfica de una función se ve afectada cuando se le agrega o resta una constante.
🔄 Desplazamientos de Gráficas por Añadir o Restar Constantes
En este párrafo se discuten los efectos de desplazar gráficas de funciones al añadir o restar constantes dentro de las mismas. Se ilustra cómo la adición de una constante provoca un desplazamiento vertical de la gráfica, mientras que la resta de una constante la hace descender. También se muestra cómo el signo de la constante dentro de la función afecta el desplazamiento: positivos hacia la izquierda y negativos hacia la derecha. Ejemplos de gráficas de funciones cuadráticas, cúbicas y el valor absoluto de x son utilizados para demostrar estos cambios.
🔢 Ajustes de Amplitud y Posición por Multiplicación de Constantes
Este segmento aborda cómo la multiplicación de una función por una constante afecta su gráfica. Se explica que multiplicar por un número mayor que uno hace que la gráfica se estrechó, mientras que multiplicar por un número fraccionario o racional la hace más estrecha y se aproxima al eje x. Se presentan ejemplos de cómo la gráfica de la función absoluta de x y una función cuadrática se ven afectadas por esta multiplicación, mostrando gráficas que se acercan o se alejan del eje x según el valor de la constante multiplicativa.
📉 Determinación de Ecuaaciones a Partir de Gráficas Transformadas
El último párrafo se centra en cómo determinar la ecuación correcta a partir de una gráfica transformada. Se utiliza un ejemplo específico para demostrar cómo se identifican las transformaciones realizadas a una función básica, como la adición de signos negativos, desplazamientos y multiplicaciones, para deducir la ecuación correspondiente. Se enfatiza la importancia de recordar las gráficas de las funciones primitivas para identificar correctamente las transformaciones y se proporciona un resumen de las reglas generales que rigen estas transformaciones.
Mindmap
Keywords
💡Transformaciones gráficas
💡Funciones básicas
💡Reflejo gráfico
💡Inversión gráfica
💡Valor absoluto
💡Desplazamiento de gráficas
💡Ecuación de una función
💡Multiplicación de funciones
💡Fracciones y razionales
💡Ejemplos de funciones
Highlights
Se discuten transformaciones gráficas para entender las funciones básicas.
Se ilustra cómo el signo negativo en una función refleja o invierte la gráfica con respecto al eje x.
Se describe el efecto de sumar una constante a una función, que eleva la gráfica verticalmente.
Se muestra cómo restar una constante de una función hace descender la gráfica.
Se explica que agregar una constante dentro de una función con paréntesis desplaza la gráfica horizontalmente.
Se menciona que un valor negativo dentro de la función hace desplazar la gráfica a la derecha.
Se describe cómo multiplicar una función por un número mayor que 1 hace que la gráfica se acerque y se haga más estrecha al eje y.
Se ilustra el efecto de multiplicar una función por un número fraccionario, haciendo la gráfica más estrecha y cercana al eje x.
Se presenta un ejemplo de cómo graficar una función compleja con múltiples transformaciones.
Se detalla el proceso para determinar la ecuación de una gráfica dada, considerando signos negativos y desplazamientos.
Se enfatiza la importancia de recordar las gráficas de funciones primitivas para entender las transformaciones.
Se discute cómo la gráfica de una función cuadrática se refleja o invierte con un signo negativo.
Se muestra la gráfica del valor absoluto de x y cómo se transforma al agregar un signo negativo.
Se explica el efecto de la raíz cuadrada de x en la gráfica y su transformación con un signo negativo.
Se da un ejemplo de cómo la gráfica de una función cúbica se ve afectada por la suma o resta de una constante.
Se presenta un resumen de las reglas generales de transformación gráfica para funciones.
Transcripts
transformaciones gráficas para entender
este tema es necesario recordar cuál es
la gráfica de las funciones básicas o lo
que vemos en pantalla es la gráfica de
la función y igual a x
también vamos a recordar cuál es la
gráfica de la función cuadrática
de la función raíz cuadrada de x ahí
podemos observar su gráfica
correspondiente y la gráfica de el valor
absoluto de x con estas gráficas en
mente podemos entender el tema de
transformaciones gráficas en el caso
cuando se le agrega un signo negativo a
la función el efecto que produce es
reflejar la o invertir la gráfica el eje
x va a funcionar como un espejo para
poder obtener la transformación
correspondiente veamos
aquí tenemos la función cuadrática
x cuadrada es la gráfica fundamental o
primitiva al agregarle el signo negativo
entonces queda de esta manera reflejada
y su ecuación correspondiente es igual a
menos
aquí observamos la gráfica del valor
absoluto de igual a valor absoluto de x
cuando le colocamos el signo menos esta
se va a reflejar hacia abajo y su
ecuación es igual a menos valor absoluto
de
la gráfica de la función y igual a la
raíz cuadrada de x cuando se refleja así
queda su gráfica y su ecuación es igual
a menos la raíz cuadrada de
la gráfica de la función llego a la
equis aquí la podemos ver cuando se le
agrega el signo negativo va a suceder lo
siguiente lo que observas en el primer
cuadrante ahora aparecerá en el cuarto
cuadrante y lo que está en el tercer
cuadrante se va a observar en el segundo
cuadrante de tal forma que la gráfica
queda reflejada o invertida de esta
manera y su ecuación será igual a menos
caso 2 cuando la función le sumamos una
constante el efecto que va a producir en
la gráfica es que la va a elevar la
cantidad de unidades veamos aquí tenemos
la gráfica de la raíz cuadrada de x es
la fundamental o primitiva en esta
imagen podemos observar dos gráficas
ambas corresponden a la raíz cuadrada de
x solo que en la gráfica iluminada de
verde le falta agregar más 1 porque está
elevada una unidad y en la azul va a ser
la misma ecuación e igual la raíz
cuadrada de x solamente que falta
agregarle el mag
aquí podemos observar la gráfica
primitiva de la función cubica
aquí vemos dos gráficas parecidas
también corresponden a la función cúbica
la verde es igual a equis al jugo pero
se ha elevado una unidad le falta
agregar más 1
mientras que la azul es la misma función
pública pero ahora es más 3
ahora cuando el valor que se le agrega a
la función es negativo el efecto que va
a producir es lo contrario ahora va a
descender la gráfica la cantidad de ser
unidades vamos a observar la función
primitiva y e igual al valor absoluto de
x
en esta imagen podemos observar también
gráficas del valor absoluto la que está
iluminada en color verde ahora podemos
observar que es igual al valor absoluto
de x pero falta agregarle menos 1
obviamente la gráfica azul será igual al
valor absoluto de x menos 3
un ejemplo más aquí tenemos la función
primitiva ye igual a x al cuadrado
la gráfica en verde obviamente va a ser
igual a x al cuadrado menos 1 ha
descendido una unidad
y la azul es igual a equis al cuadrado
caso número 4 ahora vamos a agregar una
constante pero esta va a formar parte de
la función siempre va a estar dentro de
un paréntesis y el efecto que va a
producir es desplazar la gráfica el
número de unidades hacia la izquierda
vamos a mostrar este caso con la función
cuadrática recordamos nuevamente cuál es
la gráfica de la función cuadrática
en esta imagen observamos dos gráficas
que corresponden también a la ecuación
cuadrática el haber de la ecuación
cuadrática se desplazó una unidad a la
izquierda entonces su ecuación va a ser
ye es igual a x + 1 al cuadrado la
gráfica azul se desplazó 4 unidades
hacia la izquierda entonces su ecuación
será ye igual a x + 4 al cuadrado aquí
es importante observar lo siguiente
veamos en la gráfica azul
su vértice está en -4 y lo que está
dentro de la ecuación es x4 si
sustituimos menos 44 debe dar 0 y 0 al
cuadrado de 0 y para ese punto de x
igual a menos 4 el valor de g vale 0 de
igual manera ocurre en la ecuación verde
siguiente ejemplo
ahora vamos a observar la ecuación
cubica es la forma primitiva fundamental
en esta gráfica la ecuación verde se ha
desplazado una unidad hacia la izquierda
y la de la gráfica en azul se desplazó
cuatro unidades a la izquierda
la ecuación correspondiente para la
verde es
ye igual a x1 elevado al cubo y para la
gráfica azul
de igual a x 3 elevado al
ahora siguiente caso cuando la variable
que se agrega dentro de la función es
negativa lo que va a suceder es que la
gráfica se va a desplazar a la derecha
veamos este ejemplo con la función raíz
cuadrada de x
en esta gráfica observamos dos parecidas
a la raíz cuadrada solo que están
desplazadas a la derecha entonces la
gráfica para la ecuación verde es
ye igual a la raíz cuadrada de x1
observe que el menos uno va dentro de la
raíz cuadrada
y la ecuación para la gráfica azul
ye igual a la raíz cuadrada de x menos 4
de igual manera vamos a indicar lo
anterior veamos la gráfica azul se
desplazó 4 unidades
ahora los sustituimos en la ecuación la
raíz cuadrada de x menos 4 el 4 es
positivo menos 4 a 0 y la raíz cuadrada
de 0 es el valor de y que es cero de
igual forma ocurre en la ecuación de la
gráfica verde esta se desplazó la
derecha una unidad sustituimos el valor
de uno dentro de la raíz cuadrada y
observamos que es uno menos 10
y la raíz cuadrada de cero es cero
qué es el valor de y en ese punto
un ejemplo más aquí observamos la
función primitiva e igual a x al cubo
la gráfica verde se ha desplazado una
unidad a la derecha y la gráfica azul
cuatro unidades
entonces la gráfica correspondiente
quedando de esta manera
igual a x1 al jugo y para la gráfica
azul de igual
x 4 elevado al cubo
caso número 6 la función es multiplicado
por un número a este número a puede ser
1 2 3 4 etcétera que ocasione en la
gráfica provoca que la función o gráfica
se acerque al eje y es decir se haga más
estrecha
aquí vamos a mostrar el ejemplo con la
función primitiva y e igual al valor
absoluto de x
en esta imagen podemos observar que la
gráfica se ve más estrecha cada valor
absoluto de x fue multiplicado por dos
en esta otra la gráfica se ve más
delgada o más estrecha en esta gráfica
el valor absoluto fue multiplicado por
cinco
entonces la gráfica corresponde a la
ecuación de igual a valor absoluto de
caso número 7 cuando la función es
multiplicada por un número fraccionario
o racional qué va a ocurrir en la
gráfica la gráfica se va a ser más
estrecha o se va a aproximar al eje x
vamos a observar este caso con la
ecuación de la función cuadrática de
igual a x al cuadrado aquí observamos en
esta imagen que la ecuación cuadrática
se hace más amplia y se va acercando al
eje x
la gráfica en color verde
es igual a x al cuadrado entre 2 o la
mitad de x al cuadrado la gráfica en
color azul
x cuadrada sobre 4 y la gráfica en color
café es igual a x cuadrado entre 10
observamos que la gráfica se va haciendo
más amplia y a la vez que se va
acercando al eje
aquí vamos a mostrar qué ocurre en una
función cuando le agregamos un signo
negativo ya vimos que la gráfica se
refleja o invierte cuando después de la
función le agregamos una cantidad
positiva la gráfica se desplaza hacia
arriba si el número es negativo la
gráfica se mueve hacia abajo
dentro de la función cuando la cantidad
es positiva se desplaza a la izquierda
si el valor es negativo entonces la
gráfica se desplaza a la derecha
cuando la gráfica es multiplicada por
una constante mayor a 1 la gráfica se va
a hacer estrecha y cuando la
multiplicamos por una cantidad
fraccionaria la gráfica se hace
ejemplo vamos a graficar de igual a
menos x menos cuatro elevado al cuadrado
más tres si observamos la ecuación nos
damos cuenta que está elevada al
cuadrado eso nos hace pensar que se
trata de una ecuación cuadrática
recordemos es la ecuación de la función
cuadrática el signo menos lo que va a
generar o producir en la gráfica es
invertirlo a reflejar la
el número menos 4 va a provocar que la
gráfica se desplacen a la derecha y el
master es que se encuentra al final nos
indica que se va a mover la gráfica tres
unidades hacia arriba entonces la
gráfica quedará de la siguiente manera
donde observamos el signo menos de esta
forma porque la en la gráfica abre hacia
abajo
el -4 lo entramos porque se desplazó a
la derecha cuatro unidades y el más tres
lo podemos apreciar porque la gráfica
está elevada 3 1
cuál es la ecuación de la gráfica
aquí observamos la gráfica de la cual
vamos a determinar su ecuación tenemos
que hacer memoria de cuál es la gráfica
de cada una de las funciones primitivas
para poder elegir la correcta esta
gráfica no se parece en nada allí igual
a x
tampoco a la ecuación cuadrática a la
cúbica tampoco no corresponde a un valor
absoluto entonces es una raíz cuadrada
recordemos cuál es la gráfica de la
función raíz cuadrada de x ahí la
podemos observar tiene cierta semejanza
pero vamos a ver cuál es la ecuación que
corresponde a nuestro ejercicio
veamos las opciones
bueno como la gráfica se encuentra
reflejada solamente debemos tomar en
cuenta que debe haber al menos por lo
tanto la opción a y la opción c no son
respuestas para esta gráfica
por qué razón las que tienen un signo
negativo son la opción b y la opción d
ahora observamos que la gráfica está
desplazada a la izquierda dos unidades
que decir que dentro de la raíz debe de
haber un más 2
aquí ya nos damos cuenta que la opción
que cumple el adn y finalmente la
gráfica está desplazada hacia abajo un
-1 y nuevamente verificamos que en la
opción de se encuentra al menos uno
entonces la respuesta correcta para esta
ecuación es la opción de y es igual a
menos la raíz cuadrada de x más 2 y
menos 1 hacia un recordatorio elmentos
indica que está reflejada y
efectivamente la gráfica se encuentra
reflejada hacia abajo del eje x dentro
de la raíz cuadrada hay un +2 eso indica
que está desplazada dos unidades hacia
la izquierda ahí también se observa y
después de la raíz cuadrada tiene un -1
y la gráfica está desplazada hacia abajo
una unidad
aquí les dejo un resumen de las
transformaciones que ocurren en una
gráfica
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