Daerah Asal Alami Fungsi Rasional dan Fungsi Irasional - Matematika SMA Kelas XI Kurikulum Merdeka

Summary

This video lesson continues the exploration of high school mathematics, specifically for the 11th-grade curriculum under the Merdeka syllabus. The focus is on understanding the natural domain of functions, which is the set of all real numbers that make a function defined and its values determinable. The tutorial explains how to determine the natural domain for two types of functions: irrational functions in the form of square roots, where the domain is all real numbers for which the expression under the root is non-negative, and rational functions in fractional form, where the domain excludes any real numbers that would make the denominator zero. Examples are provided to illustrate the process of finding the domain for given functions, emphasizing the importance of real number values for a function to be well-defined.

Takeaways

• 📚 The video is a mathematics lesson for class 11, continuing the discussion on the concept of functions, specifically focusing on the natural domain of a function.
• 🔍 The natural domain of a function is determined by all real numbers that can make the function defined, meaning the range of possible input values that yield real output values.
• 🌐 The video explains the natural domain in terms of two types of rational functions: those in the form of roots and those in fractional form.
• 📐 For functions in root form, like √P(x), the domain is all real numbers where P(x) is greater than or equal to zero, ensuring the function is defined and the output is real.
• 🌰 An example is given where the function f(x) = √(x - 3) is defined for all x greater than or equal to 3, as the expression inside the root (x - 3) must be non-negative.
• 📉 The process of determining the domain involves analyzing the function and finding the boundary values of x that satisfy the condition for the function to be defined.
• 🚫 It's emphasized that for a function in fractional form, like P(x)/Q(x), the domain excludes values of x that would make the denominator Q(x) equal to zero, as division by zero is undefined.
• 📝 The video provides a method to determine the domain by setting up an inequality that excludes values causing the denominator to be zero, as shown with the function f(x) = (x + 4) / (3x - 9), where x cannot be 3.
• 📚 The lesson includes practical examples and exercises to help students understand how to find the natural domain of different types of functions.
• 💡 The importance of understanding the natural domain is highlighted for correctly applying and interpreting mathematical functions.
• 👨‍🏫 The instructor encourages students to practice and share their solutions in the comments section for further learning and engagement.

Q & A

What is the main topic discussed in the video script?

The main topic discussed in the video script is the concept of the natural domain of a function in the context of high school mathematics for grade 11, specifically focusing on rational and radical functions.

What is the natural domain of a function?

The natural domain of a function is the set of all real numbers that make the function defined or for which the function's value can be determined as a real number.

How is the natural domain determined for a radical function?

For a radical function, the natural domain is determined by ensuring that the expression under the radical (denoted as 'px' in the script) is greater than or equal to zero.

What is an example of a radical function and its domain?

An example given in the script is the function f(x) = √(x - 3). The domain of this function is all real numbers x such that x - 3 ≥ 0, which simplifies to x ≥ 3.

Why can't the expression under a radical be negative?

The expression under a radical cannot be negative because the square root of a negative number is not a real number, and the natural domain consists of real numbers only.

What is the condition for the domain of a rational function?

For a rational function, which is a fraction, the domain is determined by ensuring that the denominator (denoted as 'qx' in the script) is not equal to zero to avoid undefined expressions.

Can you provide an example of a rational function and explain how to find its domain?

An example given is the function f(x) = (x + 4) / (3x - 9). To find its domain, we need to ensure that the denominator, 3x - 9, is not equal to zero, which leads to the condition x ≠ 3.

Why is it important to know the domain of a function?

Knowing the domain of a function is important because it tells us the set of all possible input values (x-values) for which the function is defined and can produce real output values.

How does the script illustrate the process of finding the domain of a function?

The script illustrates the process by providing step-by-step explanations and examples for both radical and rational functions, including the algebraic manipulation needed to find the conditions that define the domain.

What is the significance of the phrase 'natural domain' in mathematics?

The term 'natural domain' refers to the most basic or widest set of input values for which a function is defined without any additional restrictions, typically the set of all real numbers unless specified otherwise.

How can students apply the concepts discussed in the script to solve related problems?

Students can apply these concepts by identifying the type of function they are dealing with, setting up the appropriate inequality or condition based on whether it's a radical or rational function, and solving for the variable to find the domain.

Outlines

00:00

📚 Introduction to Natural Domain of Functions

This paragraph introduces the concept of the natural domain of a function in the context of high school mathematics. It explains that the natural domain is determined by all real numbers that make the function defined, meaning any real number that can produce a real output. The paragraph also discusses the difference between domain, codomain, and range, and emphasizes the importance of understanding these concepts through diagrams and descriptions. It sets the stage for further exploration of the natural domain in various types of functions, specifically rational and radical functions.

05:01

🔍 Determining the Natural Domain of Radical Functions

The second paragraph delves into how to determine the natural domain of radical functions, which are functions in the form of roots. It clarifies that a radical function, such as √(x - 3), is defined when the expression under the root is greater than or equal to zero. The paragraph provides a step-by-step explanation of how to find the boundary values for x that satisfy this condition, using the example of the function √(x - 3). It demonstrates the process of solving the inequality x - 3 ≥ 0 to find that the natural domain is all real numbers greater than or equal to 3. The explanation includes examples to validate the determined domain and to show that values outside this range would result in an undefined function due to the introduction of imaginary numbers.

10:02

📘 Establishing the Natural Domain of Rational Functions

The final paragraph in the script addresses the process of establishing the natural domain of rational functions, which are typically expressed as fractions. It explains that for a rational function, such as (x + 4) / (3x - 9), to be defined, the denominator must not equal zero. The paragraph illustrates how to find the boundary values for x that ensure the function is defined by setting the denominator not equal to zero and solving for x. Using the example function, it shows that x must not equal 3 to avoid division by zero, thus defining the natural domain as all real numbers except x = 3. The explanation reinforces the importance of understanding the conditions under which a function is defined and provides a clear formula for the natural domain of the given rational function.

Keywords

💡Daerah Asal Alami

The natural domain of a function, consisting of all real numbers that make the function defined. In the context of the video, it is discussed how to determine the natural domain for different types of functions, such as irrational and rational functions.

💡Fungsi Irasional

An irrational function, often in the form of a square root. The video explains that the natural domain of an irrational function like √px is determined by ensuring the expression under the square root, px, is greater than or equal to zero.

💡Fungsi Rasional

A rational function, typically represented as a fraction. The video discusses how the natural domain of a rational function like px/qx is determined by ensuring the denominator, qx, is not equal to zero.

💡Domain

The set of all possible input values (x-values) for which a function is defined. The video emphasizes understanding the domain to correctly identify the natural domain of different functions.

💡Kodomain

The set of all potential output values (y-values) of a function, regardless of whether they are actually produced by any input. The video briefly touches on the codomain while discussing the broader concept of functions.

💡Range

The set of all actual output values (y-values) produced by a function. The video distinguishes between the domain and the range when explaining how to identify the natural domain of a function.

💡Bilangan Real

Real numbers, which include all rational and irrational numbers. The video highlights that the natural domain of a function consists of all real numbers that make the function defined.

💡Fungsi Terdefinisi

A function is defined if it produces a real number output for a given input within its domain. The video explains how to determine when an irrational or rational function is defined based on its natural domain.

💡Akar

The square root operation, often used in irrational functions. The video provides examples of how to determine the natural domain of functions involving square roots by ensuring the expression under the root is non-negative.

💡Pecahan

Fractions, typically representing rational functions. The video explains how the natural domain of a function involving fractions is found by ensuring the denominator is not zero.

Highlights

Introduction to the concept of domain, codomain, and range in the context of functions for Mathematics class 11 curriculum.

Explanation of the natural domain of a function, defined by all real numbers that make the function defined.

The natural domain is all real numbers that can determine the function's value.

The importance of analyzing the domain, codomain, and range of a function in both graphical and descriptive forms.

How to determine the natural domain of a function, especially for rational functions in the form of roots.

For functions in the form of roots, the domain is defined if the expression under the root is positive.

Example given to illustrate the determination of the natural domain for a square root function: √(x - 3).

The mathematical process of finding the domain by setting the expression under the root to be greater than or equal to zero.

Verification that the determined domain makes the function defined by substituting values into the function.

Explanation of the natural domain for rational functions, which is all real numbers except where the denominator is zero.

Process of determining the domain for a rational function by ensuring the denominator is not zero.

Example problem given to find the domain of a rational function: f(x) = (x + 4) / (3x - 9).

The mathematical steps to solve for the domain by setting the denominator not equal to zero and solving for x.

Final expression for the natural domain of the given rational function, excluding the value that makes the denominator zero.

Encouragement for students to practice determining the domain of functions with given exercises.

Invitation for students to share their answers in the comments section for further discussion.

Closing remarks with a promise of further discussions in the next video and words of encouragement for students to keep up the good work.

Transcripts

Oke Assalamualaikum warahmatullahi

wabarakatuh baik teman-teman sekalian

kembali lagi di video pembelajaran buku

saku matematika nah pada video kali ini

masih melanjutkan ya pembahasan kita di

materi Matematika wajib ya kelas 11

untuk kurikulum Merdeka masih di bab

fungsi ya kemarin kita sudah membahas

tuh pengertian fungsi kemudian ada yang

dikenal dengan istilah domain kodomain

dan range nah materi kali ini kita akan

membahas mengenai daerah asal alami

suatu fungsi Apa itu nah jika daerah

asal suatu fungsi tidak diketahui maka

Daerah asal fungsi tersebut adalah

ditentukan oleh semua bilangan real yang

mungkin ya sehingga daerah hasilnya juga

merupakan bilangan real gitu ya

maksudnya gimana nih jadi daerah asal

alami suatu fungsi itu ialah semua

bilangan real yang membuat fungsi

tersebut terdefinisi atau lebih mudahnya

bilangan real yang membuat fungsi

tersebut bernilai gitu ya nilainya dapat

ditentukan yaitu suatu bilangan real

gitu nah kemarin kita sudah membahas ya

mengenai daerah asal atau domain

kodomain dan range suatu fungsi dalam

bentuk diagram panah gitu ya Ada juga

yang bentuk dalam deskripsi sehingga

kita perlu analisis dulu nih Yang mana

daerah asalnya yang mana domain dan

kodomain yang mana range-nya Nah

sekarang ada lagi istilah nih yang harus

kita ketahui juga Bagaimana cara

menentukan daerah asal alami pada suatu

fungsi nah daerah asal alami suatu

fungsi biasanya terdapat hanya beberapa

bentuk fungsi saja ya yang akan kita

bahas di sini ada dua yaitu daerah asal

alami fungsi irasional yang berbentuk

akar

ini gimana nah suatu fungsi fx nih yaitu

akar PX Nah ini kan bentuk akar ya

fungsinya dalam bentuk akar nah ini akan

kita cari daerah asalnya atau daerah

asal alaminya gitu ya Nah suatu fungsi

fx =

√px akan terdefinisi ya karena kan kita

tadi keterangannya daerah asal alami

suatu fungsi ialah semua bilangan real

yang membuat fungsi tersebut terdefinisi

ya atau nilainya diketahui dengan jelas

maka fungsi fx yang berbentuk akar ini

akar PX akan terdefinisi jika px-nya

lebih dari sama dengan nol Maksudnya

gimana yaitu nilai dalam akar ini harus

positif ya kan maksudnya gimana nih

Misalnya nih ada akar 4 misalnya nah itu

kan nilainya bisa kita tentukan ya

berapa 2 beda kalau nilainya negatif di

sini kan batasnya lebih dari sama dengan

nol artinya nol ke kanan ya 0 1 2 3 4

dan seterusnya misalnya nih kita ambil

nilai di sebelah kiri nol yaitu -1 -2

dan seterusnya misalnya nih akar -2 bisa

nggak teman-teman menentukan nilainya

tidak bisa ya karena dia masuk dalam

bilangan imajiner sedangkan di sini

keterangannya bahwa daerah asal alami

suatu fungsi itu adalah semua bilangan

real ya sehingga kita katakan bahwa

fungsi fx yang berbentuk akar ini akan

terdefinisi Jika nilai dalam akarnya ya

PX ini kan adalah nilai dalam akar itu

lebih dari sama dengan nol atau dalam

bahasa kita dia harus positif gitu ya

sehingga daerah asal alami fungsi

tersebut adalah kita Tuliskan dalam

rumus ya masih ingat Gimana cara membaca

rumusnya yaitu untuk semua X dimana PX

lebih dari sama dengan nol dan X elemen

bilangan real ya inilah rumus daerah

asal alami fungsi yang akan kita cari

untuk yang pertama fungsi irasional ya

fungsi yang berbentuk akar Nah setelah

mengetahui Gimana cara menentukan daerah

asal alami fungsi irasional langsung

kita berikan contoh soal ya kita bahas

contoh soal diketahui fungsi fx = akar X

dikurang 3 berapakah Daerah asal fungsi

fx

Nah kita perhatikan soalnya di sini

adalah FX =

√x - 3 ya fungsinya dalam bentuk akar

maka sesuai dengan pembahasan kita

sehingga Bagaimana cara menentukan

daerah asalnya kita lihat dulu tadi

keterangan bahwa suatu fungsi fx yang

berbentuk akar akan terdefinisi jika PX

atau nilai dalam akar itu lebih dari

sama dengan nol sehingga kita gunakan

ini bahwa fungsi fx ini

√x - 3 akan terdefinisi jika PX PX itu

apa tadi nilai dalam akar berarti nilai

dalam akar di sini yang mana Nah yang x

- 3 ya sehingga kita ambil X dikurang 3

lebih dari sama dengan nol Ya kita

masukkan sesuai dengan rumus yang ada

oke

Maksudnya gimana nih Nah dari x - 3

lebih dari sama dengan nol ini kita mau

mencari batasan nilai x yang memenuhi

Artinya kita mau mencari ini x lebih

dari sama dengan berapa sehingga di sini

kita tulis X lebih dari sama dengan

berapa Nah di situ kan ada -3 ya di ruas

kiri sedangkan di ruas kiri hanya boleh

variabel x-nya saja sehingga -3 ini kita

pindahkan ke ruas kanan ingat tanda saat

pindah ruas akan berubah ya karena di

sini -3 maka pindah ruas menjadi tambah

3 ya 0 + 3 Kan hasilnya 3 sehingga

itulah batasan nilai x yang membuat

fungsi tersebut terdefinisi sehingga

kita katakan bahwa Daerah asal fungsi fx

adalah apa kita Tuliskan dalam rumus ya

Nah rumusnya kan sudah ada tuh yaitu

untuk semua X dimana PX lebih dari sama

dengan 0 dan x adalah elemen bilangan

real PX nya sudah kita temukan nih yaitu

mana tadi X lebih dari sama dengan 3

sehingga kita Tuliskan dalam bentuk

rumus untuk semua X dimana x lebih dari

sama dengan 3 dan X elemen bilangan real

ya itulah daerah asal alami fungsi fx

yaitu akar X dikurang 3 gitu ya nah

Nah sekarang kita mau coba buktikan nih

ya di sini kan sudah kita tentukan tuh

temukan batasan nilai x yang membuat

fungsi tersebut terdefinisi X lebih dari

sama dengan 3 Maksudnya apa tuh berarti

nilai x yang memenuhi di sini berapa

Yaitu dimulai dari 3 dulu ya karena kan

lebih dari sama dengan 3 ada tanda sama

dengannya sehingga batas yang ada tetap

diambil lebih dari berarti 3 ke kanan ya

berarti 3 4 5 6 dan seterusnya maka kita

akan buktikan coba Apakah benar

nilai-nilai ini nilai-nilai x ini akan

membuat fungsi tersebut terdefinisi

artinya fungsinya tadi yaitu FX =

√x - 3 ya Nah sedangkan nilai x nya

sudah kita tentukan nih Yaitu dimulai

dari 3 4 tekanan tak terhingga gitu ya

Coba kita ambil sampel Ya misalnya nih

x-nya = 3 kita ambil artinya variabel x

pada fungsi fx ini kita ganti dengan 3

gitu ya sehingga menjadi F3 maka semua

variabel x pada fungsi juga kita ganti

dengan 3 di sini ada akar X dikurang 3

berarti x nya juga ganti dengan 3

sehingga diperoleh

√3 -

3√3 - 3 berapa akar 0 berarti nilai akar

0 berapa Berarti cari nilai cari

bilangan yang dikalikan 2 kali gitu ya

kalau akar kan begitu berarti Berapa

kali berapa hasilnya 0 ya jelas nol ya

Sehingga jelas bahwa batasan nilai x

inilah yang membuat fungsi tersebut

terdefinisi artinya nilainya diketahui

dengan jelas dan merupakan bilangan real

gitu ya begitu juga misalnya kita ambil

Anggaplah mudahnya berapa nih

7 misalnya x-nya 7 Perhatikan masukkan x

nya di sini 7 berarti 7 - 3 4 ya √4

berapa 2 gitu maksudnya Ya jadi jelas

hasilnya diketahui dan bilangan real

beda Coba kita ambil batasan di sebelah

kiri nih sebelah kiri kan artinya

dimulai dari 2 -1 0 dan seterusnya ya

Coba kita ambil 2 misalnya misalnya kita

ambil x-nya 2 masukkan ke dalam fungsi

ganti x-nya dengan 2 berarti

√x - 3 menjadi

√2 - 3

√2 - 3 berapa akar -1 Nah sekarang akar

-1 ini berapa kira-kira nilainya tidak

diketahui ya sehingga benar bahwa

batasan di sebelah kiri tiga itu

bukanlah

daerah asal dari fungsi fx yang ada

karena dia tidak membuat fungsi ini

terdefinisi nilainya tidak diketahui ya

merupakan bilangan imajiner ya bahasanya

kalau akar -1 Ya jelas ya Nah itu hanya

pembuktian bahwa dalam menentukan daerah

asal satu fungsi yaitu semua bilangan

real yang membuat fungsi tersebut

terdefinisi jelas ya oke Jelas oke untuk

fungsi yang pertama sekarang kita masuk

ke fungsi yang kedua ada juga fungsi

yang

akan kita tentukan daerah asalnya yaitu

fungsi rasional atau biasanya dalam

bentuk pecahan Seperti apa misalnya satu

fungsi fx =

px/qx ya jadi dia berbentuk pecahan maka

sama nih kita akan mencari batasan nilai

x yang membuat fungsi tersebut

terpendisi karena ini pecahan maka yang

membuat fungsi ini terdefinisi apa

adalah apabila

penyebutnya tidak sama dengan 0 atau

dalam hal ini gx-nya tidak sama dengan 0

Kenapa harus qx-nya tidak sama dengan

nol karena kita ketahui bersama suatu

pembagian ya Ee jika dibagi dengan 0

misalnya semua dibagi 0 misalnya

Anggaplah 5 / 0 nah nilainya berapa Nah

nilainya itu pasti tidak terdefinisi

karena tidak ada bilangan yang memenuhi

sehingga untuk bentuk pecahan itu akan

terdefinisi jika penyebutnya tidak sama

dengan nol sehingga kita Tuliskan dalam

bentuk rumus bahwa daerah asal alami

fungsi tersebut adalah untuk semua X di

mana QX ya QX tadi apa yaitu penyebut ya

tidak sama dengan nol dan X elemen

bilangan real gitu ya

setelah tahu rumusnya kita berikan

contoh soal biar lebih paham gitu ya nah

misalnya nih ada soal diketahui fungsi

fx yaitu x + 4

/ 3x - 9 Nah berapakah daerah asal dari

fungsi fx yang ada kita langsung bahas

Nah kita lihat dulu fungsinya fungsi fx

nya di sini dalam bentuk pecahan ya maka

untuk menentukan daerah asalnya kita

cari nih

apalagi namanya batasan nilai x yang

membuat fungsi ini terdefinisi karena

pecahan tadi apa agar dia terdefinisi

yaitu

penyebutnya tidak boleh sama dengan nol

berarti dalam hal ini aku kurang

penyebutnya yaitu 3x - 9 ya sehingga

kita katakan bahwa fungsi ini akan

terdefinisi jika 3x - 9 tidak sama

dengan nol ya AH artinya 3x - 9 tidak

sama dengan nol ini lagi-lagi kita

mencari batasan nilai x ya yang memenuhi

sehingga di ruas kiri hanya boleh

variabel x-nya saja yang lain kita

pindahkan ke ruas kanan sehingga di sini

ada 3x berarti tersisa 3x yang -9 kita

pindahkan ke ruas kanan ingat tanda

pindah ruas harus berubah ya karena Min

Jadi kalau pindah ruas jadi tambah ya 0

+ 9 berarti 9 Nah sekarang masih ada 3

di sini ya berarti

kita pindahkan juga karena kita hanya

mau mencari nilai x gitu ya nah

sekarang posisi 3 di sini mengali ya

ingat ini lagi untuk operasi ya pindah

ruas artinya kan tiga di sini mengali x

3 kali x berarti kalau 3 pindah ruas

kebalikan dari kali adalah apa bagi ya

Sehingga di sini X tidak sama dengan 9

dibagi 3 sehingga X tidak sama dengan 9

/ 3 berapa 3 Nah inilah batasan nilai x

yang membuat fungsi fx itu terdefinisi

sehingga kita Tuliskan dalam rumus bahwa

Daerah asal fungsi fx adalah

untuk semua X di mana X tidak sama

dengan 3 dan X elemen bilangan real ya

Nah itulah daerah asal alami dari fungsi

fx + 4/3x - 9 Oke jelas ya Heeh jelas

jadi ada dua nih eh fungsi yang biasanya

yang akan kita tentukan daerah asal

alaminya yaitu tadi Apa fungsi irasional

dalam bentuk akar dan fungsi rasional

yang berbentuk pecahan kayak gitu ya Nah

sekarang untuk

apalagi namanya lebih paham bisa

teman-teman kerjakan soal latihan

berikut ya jangan lupa tulis jawabannya

di kolom komentar demikian yang bisa

kita bahas semoga bermanfaat dan bisa

dipahami nantikan pembahasan lainnya

pada video berikutnya tetap semangat dan

selalu berprestasi