✅Todo sobre VECTORES Física [𝙈𝘼𝙎𝙏𝙀𝙍𝘾𝙇𝘼𝙎𝙎 𝙥𝙖𝙧𝙖 𝙨𝙚𝙧 𝙀𝙭𝙥𝙚𝙧𝙩𝙤 😎🫵💯]
Summary
TLDREl script del video ofrece una introducción a las aplicaciones de la trigonometría analítica en el estudio de vectores, explicando conceptos básicos como la magnitud y dirección de un vector. Seguidamente, ilustra cómo calcular la magnitud, sumar vectores, multiplicar por escalares y representar vectores en forma de i y j. Continua con ejemplos prácticos, como el cálculo de trabajo realizado por una fuerza y la utilización de la representación polar de vectores, culminando con la explicación del producto punto y su relevancia en física.
Takeaways
- 📚 La trigonometría analítica es una herramienta importante para entender y trabajar con vectores en física.
- 📏 La magnitud de un vector se define como la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado (x^2 + y^2).
- 📍 Los vectores se representan en un plano cartesiano con componentes x e y, y se pueden graficar para visualizar su dirección y magnitud.
- 🔢 Los ejemplos básicos muestran cómo calcular las magnitudes de vectores con coordenadas específicas y cómo operar con ellos para encontrar magnitudes resultantes.
- ➕ La suma de vectores se realiza sumando sus componentes correspondientes, tanto de forma analítica como gráfica.
- 🔍 El múltiplo escalar de un vector implica multiplicar cada componente del vector por un número escalar.
- 👉 Las representaciones unitarias de vectores (i y j) son útiles para simplificar cálculos y expresar vectores en términos de magnitudes y ángulos.
- 🔄 El cambio de sentido de un vector se logra multiplicando por -1, y el cálculo del vector unitario ayuda a entender la dirección y magnitud normalizada.
- 📈 La representación polar de un vector se refiere a expresar un vector en términos de su magnitud y el ángulo que forma con el eje x.
- 🔄 La ortogonalidad entre vectores se demuestra con el producto punto, que si es cero, indica que los vectores son perpendiculares.
- 🔧 El producto punto también es utilizado para calcular el trabajo realizado por una fuerza en una dirección específica, siendo la multiplicación de las magnitudes y el coseno del ángulo entre ellas.
Q & A
¿Qué es la magnitud de un vector y cómo se calcula?
-La magnitud de un vector es una cantidad que representa su longitud o tamaño. Se calcula como la raíz cuadrada de la suma de las coordenadas al cuadrado de cada uno de sus componentes. Es decir, si un vector tiene coordenadas (x, y), su magnitud es √(x² + y²).
¿Cómo se representa un vector en el plano cartesiano?
-Un vector en el plano cartesiano se representa por una flecha que comienza en un punto de referencia (usualmente el origen) y termina en otro punto. Las coordenadas de este punto final son las componentes del vector en los ejes x e y.
¿Cómo se realiza la suma de vectores de forma analítica?
-Para sumar vectores analíticamente, se suman las coordenadas correspondientes de cada vector. Es decir, si se tienen dos vectores A y B con coordenadas (x1, y1) y (x2, y2) respectivamente, el vector resultante C tendría coordenadas (x1 + x2, y1 + y2).
¿Qué es un múltiplo escalar de un vector y cómo se calcula?
-Un múltiplo escalar de un vector es el resultado de multiplicar cada una de las coordenadas del vector por un mismo escalar, que es un número. Si un vector tiene coordenadas (x, y) y se multiplica por un escalar k, el nuevo vector tendrá coordenadas (kx, ky).
¿Cómo se definen los vectores unitarios y por qué son importantes?
-Los vectores unitarios son aquellos cuya magnitud es igual a 1. Son importantes porque se utilizan como factores de escala para otros vectores, permitiendo la comparación de direcciones sin tener en cuenta la magnitud.
¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores utilizando su producto punto?
-El ángulo θ entre dos vectores A y B se puede calcular a través de su producto punto (A · B) dividido por la multiplicación de sus magnitudes (||A|| * ||B||). La fórmula es cos(θ) = (A · B) / (||A|| * ||B||).
¿Qué es el producto punto y cómo se relaciona con el ángulo entre dos vectores?
-El producto punto, también conocido como producto escalar, es una operación entre dos vectores que resulta en un escalar. Es igual a la suma de las multiplicaciones de las correspondientes coordenadas de cada vector. El producto punto se utiliza para calcular el ángulo entre dos vectores, ya que está relacionado con la proyección de un vector sobre otro.
¿Cómo se determina si dos vectores son ortogonales a través del producto punto?
-Dos vectores son ortogonales si el ángulo entre ellos es de 90 grados. A través del producto punto, se puede determinar la ortogonalidad si el resultado es cero, ya que esto implica que los vectores no tienen componentes en las mismas direcciones.
¿Cómo se calcula el trabajo realizado por una fuerza en un cuerpo utilizando vectores?
-El trabajo realizado por una fuerza en un cuerpo es la magnitud de la fuerza multiplicada por la distancia recorrida en la dirección de la fuerza. Vectorialmente, se calcula como el producto punto entre el vector de la fuerza y el vector de la distancia, considerando solo la componente de la distancia en la dirección de la fuerza.
¿Cómo se representa vectorialmente la fuerza de gravedad y cómo se relaciona con el trabajo realizado contra ella?
-La fuerza de gravedad se representa como un vector que apunta hacia abajo, con una magnitud igual al peso del cuerpo. El trabajo realizado contra la gravedad es la cantidad de energía necesaria para mover un cuerpo en dirección opuesta a la fuerza de gravedad. Vectorialmente, se calcula como el producto punto entre el vector de posición (en dirección opuesta a la gravedad) y el vector de gravedad.
Outlines
📚 Introducción a las Aplicaciones de Trigonometría Analítica con Vectores
El profesor comienza explicando el tema de las aplicaciones de trigonometría analítica en el estudio de vectores, enfocándose en la teoría básica de la magnitud de un vector. Se describe cómo calcular la magnitud a partir de las coordenadas cartesianas y se ejemplifica con vectores en un plano cartesiano, mostrando cómo se ubican y calculan sus magnitudes.
🔍 Suma de Vectores y Múltiplo Escalar
En este párrafo, se abordan las operaciones con vectores, específicamente la suma de vectores y el múltiplo escalar. Se explica cómo realizar la suma de vectores tanto analítica como gráficamente y cómo multiplicar un vector por un escalar para obtener su múltiplo. Se presentan ejemplos detallados para ilustrar el proceso.
📐 Representación de Vectores en Diferentes Sistemas
Se discute la representación de vectores en diferentes sistemas de coordenadas, incluyendo la representación polar y el uso de i y j como expresiones unitarias. Se describe cómo convertir vectores de su forma rectangular a sus componentes unitarias y viceversa, y cómo utilizar estas representaciones en física para problemas como el cambio de anotación vectorial.
🌬 Vectores como Representación de Velocidad
El profesor utiliza el ejemplo de la velocidad del viento para explicar cómo representar vectores en términos de magnitud y ángulo. Se calculan las componentes rectangulares de un vector velocidad basado en su dirección y magnitud, y se introducen las fórmulas de conversión entre coordenadas rectangulares y polares.
🤝 Vectores Opuestos y Cálculo de la Magnitud Resultante
Se describe cómo encontrar un vector opuesto y cómo calcular la magnitud resultante de dos vectores con direcciones y magnitudes específicas. Se utiliza el método del paralelogramo para la descomposición de vectores en componentes y se ejemplifica con fuerzas en diferentes direcciones.
🔄 Cálculo de la Fuerza Resultante y su Ángulo
Se profundiza en el cálculo de la fuerza resultante de dos vectores, utilizando tanto la descomposición en componentes como la función trigonométrica tangente para encontrar el ángulo entre ellos. Se ejemplifica con fuerzas de diferentes magnitudes y ángulos, y se muestra cómo obtener la magnitud y dirección resultantes.
🤖 Producto Punto de Vectores y sus Aplicaciones
Se introduce el producto punto de vectores, explicando su definición y cómo calcularlo. Se muestra cómo el producto punto puede ayudar a encontrar la magnitud de un vector, el ángulo entre vectores y determinar si dos vectores son ortogonales, con ejemplos prácticos.
🏗 Trabajar con Vectores en Problemas de Física
Se aplican conceptos de vectores para resolver problemas de física, como el cálculo del trabajo realizado al empujar un auto con una fuerza constante. Se describen las representaciones vectoriales de la fuerza y la distancia, y se ejemplifica con problemas que involucran el uso del producto punto para encontrar el trabajo.
🚜 Cálculo del Trabajo Realizado en una Plano Inclinado
Se presenta un problema de cálculo de trabajo en un plano inclinado, donde un carro es empujado contra la fuerza de la gravedad. Se descomponen los vectores de posición y gravedad, y se utiliza el producto punto para encontrar el trabajo realizado en la dirección de la inclinación.
👋 Conclusión y Recursos Adicionales
El profesor concluye el video instando a los espectadores a dar like, compartir y suscribirse al canal para recibir más tutoriales y acceso al simulador. También se mencionan las plataformas donde se pueden encontrar recursos adicionales y se promueve la interacción en redes sociales.
Mindmap
Keywords
💡Trigonometría analítica
💡Vector
💡Magnitud de un vector
💡Suma de vectores
💡Múltiplo escalar
💡Vector unitario
💡Representación polar
💡Producto punto
💡Trabajo (física)
💡Fuerza de gravedad
Highlights
Introducción a las aplicaciones de trigonometría analítica en el estudio de vectores, destacando su importancia en la física.
Explicación de la magnitud de un vector y su cálculo a través de la fórmula de la suma de las coordenadas al cuadrado.
Identificación de vectores en un plano cartesiano y el proceso de ubicación de sus coordenadas.
Procedimiento para calcular las magnitudes de vectores individuales utilizando la raíz cuadrada.
Método analítico para la suma de vectores y la obtención de su resultante a través de la suma de coordenadas.
Descripción de la multiplicación de un vector por un escalar y su efecto en las coordenadas del vector.
Introducción a las expresiones unitarias de vectores y su representación en el plano cartesiano.
Representación de vectores como múltiplos escalares y el cálculo de vectores resultantes.
Cálculo de la representación polar de vectores a partir de sus componentes rectangulares.
Ejemplo práctico de representación de velocidad vectorial como vector, incluyendo la conversión de ángulos y magnitudes.
Desarrollo de la idea de vectores unitarios y su aplicación para encontrar vectores opuestos.
Cálculo de la fuerza resultante de dos fuerzas vectoriales y su representación en el plano cartesiano.
Uso de funciones trigonométricas para determinar ángulos y magnitudes en problemas de vectores.
Explicación del producto punto de vectores y su aplicación para encontrar ángulos y magnitudes relacionadas.
Demostración de la ortogonalidad de vectores utilizando el producto punto y sus implicaciones geométricas.
Aplicación de conceptos vectoriales para resolver problemas de física, como el cálculo del trabajo realizado por una fuerza.
Ejemplo del cálculo del trabajo realizado contra la gravedad al empujar un carro en un plano inclinado.
Conclusión del tutorial con una revisión de los conceptos clave y la importancia de la trigonometría analítica en el estudio de vectores.
Transcripts
hola bienvenidos al canal del profesor
particular veremos un tema que son
aplicaciones de trigonometría analítica
para el caso de vectores que bien es un
estudio muy amplio sobre la física nos
vamos a comenzar con una teoría básica
conocer la magnitud del vector un vector
es en este caso una cantidad de una
expresión que tiene una dirección una
magnitud y un sentido entonces la
magnitud del vector dado como valor
absoluto casi siempre denotado a es
igual a el vector con coordenadas en x
como ayer recordemos que estas siempre
van a ser coordenadas de x como ayer en
tanto cartesiano va a ser igual a la
coordenada de x al cuadrado más la
coordenada de y al cuadrado
todo esto elevado como todo esto
extraído a una raíz cuadrada general
esto se le conoce como magnitud del
vector y por esto vamos a conocer cómo
aplicarlo para unos ejemplos muy básicos
y detrás de los vectores
a esto es igual este lector el lector ve
el doctor ce y después de esto vamos a
obtener sus magnitudes entonces cómo va
a quedar en trazos los tres vectores
vamos a hacerlo primero en un plano
cartesiano así y es identificar la
coordenada del vector voy a poner el
primer vector en azul menos 3,2 entonces
vamos a ubicar más o menos un menos 3 en
x vamos a poner que está por aquí menos
3 y 12 en que vamos a poner que está
aquí el 2
entonces yo tengo la coordenada ubicada
entonces más o menos la intersección de
las dos coordenadas que de aquí y el
primer vector quedaría así seria el
vector a ahorita vamos a poner su
magnitud
vamos con el siguiente vector lo voy a
poner en verde el vector b que sería el
vector 0 como menos dos partes acá
tenemos 0 en x menos 12 y entonces menos
12 ya más o menos nos quedaría como por
altos ahora suponer
eso significa que desde aquí hasta donde
están menos 2
entonces prácticamente el vector viene
así en verde y este sería el vector de
ahorita voy a poner su magnitud y vamos
con un tercer vector que lo voy a poner
en rojo que es el vector sé que es
cuatro quintos y tres quintos
cuatro quintos en x
es más o menos punto 8 donde vamos a
poner que punto 8 puedes explorar lo
bueno voy a poner a escala para poner
aquí que sea 1
y luego tres quintos son suponer que
quiero hacer uno que es punto 6
aproximadamente entonces es muy pequeño
el vector queda entre punto 8 que va a
ser como por aquí y punto 6 algo así ahí
está y este sería nuestro magnitud 62
tenemos nuestros lectores en plano
cartesiano vamos a obtener primero para
poder saber qué tan larga es la flecha
necesitamos conocer la magnitud cuando
con el primer magnitud ya que pondríamos
la raíz cuadrada de menos 3 al cuadrado
en paréntesis más 2 al cuadrado
y hacemos operaciones me quedaría menos
3 el cuadrado me queda más 92 al
cuadrado me queda 4 y me queda raíz de
13 en matemáticas siempre se colocan los
vectores como radicales en este caso el
vector a su magnitud ponerla horas y
sería raíz de 13 como no tiene una raíz
exacta se queda así vamos ahora con el
siguiente la siguiente magnitud que es
el vector
sigo los datos y sería 0 al cuadrado más
menos 2 en paréntesis al cuadrado
esto me quedé aquí 0 - 2 al cuadrado me
queda 4 raíz de 4 2 significa que el
vector betty una magnitud de 2 ahí está
y finalmente el vector c
no sé aquí vamos a poner lo tenemos
fracciones entonces vamos a poner sería
cuatro quintos al cuadrado más tres
quintos al cuadrado también
al hacer esto me quedaría para llevar
una fracción al cuadrado sería el de
arriba al cuadrado y el de bajo al
cuadrado 4 del cuadrado son 16 5 por 5
25 entonces nos queda 2016 25 ambos más
3 al cuadrado 9 y 5 por 5 25 sumamos las
fracciones y que nos queda como son
fracciones con el mismo denominador se
suman nada más los de arriba 16 más 9 me
queda 25 sobre 25 entonces esto me queda
raíz de uno la raíz de uno pues es 1 y
entonces el vector se tiene magnitud de
1 y con esto ya podemos establecer de
manera correcta
nuestras gráficas
los vectores también podemos hacer
operaciones con ellos y una de las más
empleadas es la suma de vectores la suma
de vectores se puede hacer
analíticamente y gráficamente para
hacerlo analíticamente necesitamos los
dos vectores forzosamente tenerlos en la
forma llamada forma rectangular o
cartesiana le llama así porque tienen
los componentes xy en ambos casos que
son las coordenadas que identifican a
cada vector si sumamos lo único que
tenemos que hacer es sumar las dos
coordenadas de x como vemos aquí ah1n1
coma sumar las coordenadas de ella y de
esta manera sacar una equis total una
coordenada x total de acuerdo a la suma
y una coordenada de total de acuerdo a
la suma también de las posiciones de
ella entonces si no sabemos hacer esto
vamos ahora con la suma de estos
vectores lo que tenemos que hacer paso
por paso aquí es hacerlo tal como nos
dice nuestra indicación en fórmula
sumamos las coordenadas de x que son 3 y
2 entonces sería 3 + 2
y la otra coordenada la va a sacar las
villas que son menos 4 y 7 entonces hay
que respetar los signos y pondremos
menos 47 de esta manera la coordenada
nueva total sería tres más dos se me
daría 5 menos 47 y me daría más 3
entonces el vector resultante de la suma
de estos dos sería el 53
ahora vamos aquí con este 51 y vamos a
hacerlo sería 5 menos 5,1 más 1
cada uno sumándose con su respectiva
posición x con xy con 55 m 2011 mediados
entonces el nuevo vector se quedaría en
la posición 0,2
de esta manera
en las operaciones básicas también
tenemos lo que se le conoce múltiplo
escalar de un vector un escalar es una
cantidad diferente al vector un escalar
solamente un número un vector es una
cantidad de expresión que tiene una
dirección una magnitud y un sentido
entonces es un poco más complejo el
escalar se representa normalmente como m
y si yo tengo en escalar multiplicando
una cantidad vectorial con las
coordenadas ya sabemos x como el único
que hay que hacer es muy simple
multiplicar el escalar por cada una de
las dos coordenadas de tal manera que
nos quede así entonces eso me dará el
múltiplo del vector vamos con los
ejemplos si acá tengo 1 escalar estoy
aquí en mi escalar los que sean afuera y
adentro tenemos nuestro vectorial de que
tiene la posición en coordenadas todo lo
que hacemos es multiplicar para formar
un nuevo múltiplo vector 2 por menos 3
me daría menos 6,2 por 4 me daría 8 ahí
está ya quedó menos dos por menos 3 me
daría más 6 y menos 2 por 4 me daría
menos 8
y luego podemos tener uno aquí uno ya
sabemos que es una cantidad matemática
que si la multiplicamos por cualquier
cantidad por cualquier expresión no se
manipula no sé no sé qué no cambia uno
por cinco me das 5 1 por 2 me da 2 de
tal manera que no cambia permanecen
idénticas
podemos introducir ahora las expresiones
y j como expresiones que nos ayudan a
expresar a los vectores como cantidades
o magnitudes unitarias ahora que es un
vector unitario bueno un vector unitario
es todo aquel vector donde su magnitud
es igual a 1 de tal manera que y
instalada como 10 y acaso magnitudes 1 y
jotas tablada como 0 1 y su magnitud
también es 1 si nos damos cuenta y
simboliza la representación de la equis
y jota simbolizará la representación de
la y en el plano cartesiano muchas veces
el cambio de i j se da en la parte de la
física y esto al conocer esto podemos
cambiar la anotación vectorial ya no la
podemos poner entre paréntesis
ahora la ponemos así tenemos ya el
vector es representado como 5 y más jota
lo cual ya sabemos de antemano que sería
la coordenada 5
mientras que el vector b está
representado como 4 y menos 7 j
esto significa que hay un vector 4 en x
y menos 7 en 11 ya nosotros conocemos
esta anotación ahora y vamos a expresar
3 - 2 b entonces qué quiere decir vamos
a multiplicar el doctor a por un escalar
que es 3 y el doctor ve por un escalar
que es 2 al final restamos este
resultado menos este resultado entonces
vamos a ver primero vamos a ponerle 3 y
cómo quedaría esto sería a poner 3 por
el vector que tenemos aquí entonces
cuánto me quedaría 3 por 5 me quedaría
15 y 3 por 1 j me quedaría más 3 j luego
el otro vector es 2 aplicado hacia la
expresión 4 y menos siete tantos voy a
poner aquí 2 b
sería 2 por 4 me daría 8 y y 2 por menos
7 me daría menos 14 y no olvidamos
respetar los ciclos ya que tenemos esto
ahora sí vamos a expresar esto de aquí
que sería 3 a -2 de
entonces cuánto vale 3 a 3 equivale a
esto lo voy a poner aquí 15 y más 3 j y
cuánto vale vamos a restarle cuánto vale
2 p
2 le vale todo esto estos voy a poner un
paréntesis y voy a colocar el 8 y
-14 j hongos entre paréntesis porque
vienen aquí dos cantidades y lo demás es
simple hay fibra
de términos semejantes entonces por esto
me quedaría menos 8 y y menos por menos
me quedaría más 14 j de tal manera que
el vector
3 - 2 b es expresado como ya las
semejantes y con 15 y menos 8 y esto es
para que lo veamos de manera más fácil
las combinaciones de las jornadas x y ya
entonces 15 menos 8 me darían 7 y 3 más
14 me daría más 17 jota y
automáticamente ya tengo la expresión
que sea 3 a -2 b de tal manera que el
nuevo vector es 7 y más 17 j
algo importante en los vectores es
conocer ahora las componentes verticales
u horizontales pero si tenemos nada más
la magnitud y ángulo del vector se le
conoce como representación polar en este
caso magnitud y ángulo se pueden
expresar en términos de coordenadas
rectangulares con la coordenada a1 a2
que vimos anteriormente y se obtienen
por medio de las fórmulas siguientes la
coordenada de x se sacará como magnitud
por coseno del ángulo la magnitud de gé
se sacará como magnitud por el seno del
ángulo ahora qué ángulo estamos hablando
vamos a ver un ejemplo nos dice si el
viento sopla a 12 millas por hora en la
dirección norte 40 grados oeste
representa su velocidad como vector v
entonces la velocidad aquí lo primero
que hay que reconocer es que cantidades
son vectoriales siempre que hablemos de
velocidad en este caso será una cantidad
vectorial entonces como nos quedaría
este vector
bueno vamos a dibujarlo primero la
dirección va a estar en la dirección
norte oeste entonces tenemos aquí
nuestra dirección norte oeste y vamos a
tratar de entonces en esta dirección me
dice que son 40 grados en esta dirección
entonces significa que aquí está el
vector nivel por aquí así y me dice que
entre el norte y el oeste es donde
existen los 40 grados
ahí está entonces ya tenemos ahora si
nuestro vector vamos a ponerle a este
vector pues v cuánto mide este vector
mide 12 millas
ahora vamos a ponerlo ahí está 12 millas
por hora
ahí está la magnitud del vector lo que
me interesa conocer es que vamos a
expresar lo como un vector v con las
componentes unitarias y hijos para eso
necesitamos calcular las componentes
rectangulares entonces cómo lo hacemos
bueno el ángulo así viene lo importante
el ángulo siempre lo vamos a considerar
con respecto a la horizontal siempre con
respecto a esta horizontal a la
horizontal de x entonces la pregunta que
me voy a hacer es desde aquí hasta dónde
está la flecha cuántos ángulos en grados
recorre de aquí hasta acá
cuánto hay realmente vamos a ver sabemos
que de aquí al eje de lasieso en 90
grados es decir aquí en 90 y luego del
eje del área haciendo está la posición
del vector son 40 grados tanto si nos
damos cuenta tendríamos 90 más 40 grados
entonces esto me daría una posición
exacta de 130 grados
y ahora sí ya tenemos nuestro vector voy
a ponerlo aquí
el doctor huber tiene la magnitud que
son dos semillas ángulo de 130 grados
bueno ya sabemos que son millas ahora
representando a la velocidad
ahora vamos a obtener sus componentes
rectangulares para eso necesitamos la
jornada v 1
que sería la coordenada en x que sería
justo esta de aquí que se proyecta hacia
acá es decir esta magnitud cuánto mide
de aquí hasta acá entonces la jec la
magnitud vector 1 o coordenada de aquí
sería aplicando mi fórmula sería esta
magnitud que es 12 por el coseno del
ángulo que en este caso son 130 grados y
la magnitud de sub 2 que sería la
magnitud en la sacamos así magnitud y
cambiamos la función trigonométricas por
el seno del mismo ángulo 130 grados
entonces esto de aquí ya lo pueden sacar
con un calculadora vamos a ver cuánto
nos equivale
el primero me daría que la posición y
7.7
107 y la siguiente me daría 9.2
aproximados ahí está
ahora ya que tengo eso lo representamos
solamente con la fórmula de la forma de
los vectores unitarios en este caso me
quedaría el magnitud b tal como me lo
pide aquí
nuestro vector quedaría como el
componente de x me quedaría menos 7.7
recuerden que la equis va acompañado con
la i y luego la montura en yes sería un
9.2 positivo entonces serían más 9.2 en
j
ahí está tengo ya los componentes de mi
vector
en los vectores muchas veces las
operaciones que hemos visto nos sirven
para poder encontrar determinados
problemas soluciones por ejemplo de este
encuentro un vector va en la dirección
opuesta de a que tiene magnitud 6
entonces este vector es a aquí lo tengo
graficado aproximadamente en la
coordenada menos 12 5 15 menos 12 mejor
dicho xy ya íbamos a encontrar un vector
opuesto es decir un vector que esté en
posición contraria completamente y que
ese lector tenga magnitud 6 para poder
hacerlo necesitamos forzosamente
encontrar antes el vector unitario de a
entonces o vamos a simbolizar lo como
unitario de a para poder hacerlo
necesitamos encontrar si el doctor
unitario siempre va a ser igual al
vector en este caso al vector a
denominado entre él
la magnitud entonces vamos primero por
la magnitud de a
vamos a ver entonces aquí tenemos que
raíz cuadrada de 5 cuadrados más menos
12 al cuadra entonces cuánto nos da esto
5 al cuadrado me da 25 y 12 al cuadrado
me da 144 así nos quedaría entonces el
vector ua de una magnitud y me queda la
raíz de 24 144 son 169 lo cual tiene
raíces exacta afortunadamente ya es 13
entonces me quedaría la magnitud 13
ahora sí sí quiero encontrar el vector
unitario y esto es para cualquier vector
lo único que hago es el 13 como tal les
sale aquí es como si fuera un treceavo o
va a dividir a los términos de acá lo
puedo poner como un 13 a visualmente es
una escala que va a multiplicar al
vector 5 menos
2 esto me daría un nuevo vector el
doctor unitario d
que sería 5 13 a vos
- 12 13 a vos ahí está este vector
unitario
recordemos que el vector unitario es un
vector de tal manera que al momento de
tener su magnitud me dé una magnitud
unitario decir 1 digamos que es como
este vector pero el más simple de todos
con magnitud unitario ahí está
como lo hacemos para que cambie de
sentido tenemos que multiplicarlo por el
contrario por el inverso en este caso
del número de la magnitud si yo quiero
que tenga magnitud 6 me voy a estar con
multiplicarlo con magnitud de menos 6
entonces sería el vector b va a ser un
contrario entonces tengo que poner la
magnitud que es menos 6 x todo esto que
son 5 treceavos coma menos 12 3 sea por
si esto le va a dar un nuevo vector
sería menos acá serían 30 13 a 2
ahí está coma menos por menos me da más
serían 12 por 6 72
3 seamos ahí están con esto lo que
tenemos hasta aquí es ya el doctor
contrario el vector una posición que va
a estar vamos a aplicar lo visto a un
problema de dos vectores es magnitudes
resultantes dos fuerzas de magnitud de 5
kilogramos y kilogramos respectivamente
actuando en un punto p la dirección de
la primera es norte 20 grados este y la
segunda es norte 65 grados este cálculo
de la magnitud de la dirección de la
fuerza resultante entonces como ambos
están en la dirección norte este otro
plano x y aquí está el sentido que será
el este y aquí ya que será nuestro
sentido norte entonces ambos van a estar
en el primer plano el primer vector que
es cinco kilogramos con ángulo de 20
grados lo voy a dibujar en verde me dice
que son 20 grados con respecto al norte
es decir del norte hacia el este hay 20
grados y mide 5 entonces voy a poner
a ponerlo a algo así entonces de aquí me
está diciendo que son 20 grados y ahora
el siguiente vector es lo voy a poner en
azul serían 65 grados entonces hay que
dar una amplitud mayor de norte a este
entonces aquí son 65 grados no sea algo
así
y me dice incluso que me da más mide 8
no es tener un poquito más grande ahora
para calcular la fuerza resultante
necesitamos descomponer ambos vectores
en sus componentes xy que o mejor dicho
y j
y en términos gráficos la resultante va
a ser para poder hacerlo de esto el
método del paralelogramo igual me dice
que yo tengo los dos vectores ya
trazados de donde inician del origen en
la punta de uno pondré proyectado el
otro es decir éste está aquí lo proyecto
y lo dibujaría más o menos algo así no
supongamos que está proyectado luego el
otro vector el azul lo proyectaría hasta
acá hasta que forme yo un paralelogramo
obviamente tienen que ser paralelos y
entonces así nos quedaría esto lo voy a
poner así punteado para que no lo
convoque se lo voy a poner punteado para
que no nos confundamos con los vectores
iniciales nuestro vector resultante
siempre va a ser desde el inicio
hasta donde termine la punta de los dos
vectores los dos vectores prolongados
entonces la fuerza resultante entonces
lo que importa aquí es primero el vector
uno vamos a poner la fuerza uno
como lo pondría en la manera polar es la
magnitud que es 5 y qué ángulo ángulo
recuerden que el ángulo en vectores
siempre hay que tomarlo y esto es de
preferencia no no siempre va a funcionar
hay otra manera pero si no quieren
equivocarse siempre es con respecto al
eje las equis horizontal entonces de
aquí nos preguntamos cuánto hay un
grados de aquí hasta dónde está el
vector en verde si acá son 20 grados
sabemos que todas estos 90 entonces a 90
el restamos 20 y encontramos una
abertura de 70 grados por lo tanto sería
5 ángulo de 70 grados y el doctor 2 el
vector fuerza 2
vale 8 kilogramos ángulo y sería justo
en el azul sabemos que la abertura de
aquí hasta acá me dicen que es de 65
grados
entonces estos 65 grados cuánto le falta
para llegar a 90 grados que le faltan 25
grados entonces pondré esto de aquí son
25 grados vean que estoy tomando los
ángulos con respecto al eje las x
horizontal nunca los ángulos que están
arriba siempre tomamos la abertura
angular con respecto de x hacia donde se
encuentra nuestra flechita veamos que lo
aquí hasta acá son 70 grados de aquí
hasta acá son 25 grados haciendo ya las
cuentas
ahora sí vamos a hacer nuestras dos
composiciones vamos con la primera
fuerza fuerza uno que sería aquí
magnitud que es 512 9 70 grados
esto sería y más en otros sería 5 seno
de 70 grados que sería la magnitud j
ahora nuestra magnitud de la fuerza f 2
descompuesta nos quedaría de la
siguiente manera sería en este caso 8
coseno de 25 grados esto sería y más y
luego 8 aquí vendría el seno de 25
grados
y esto sería aquí y está ahí está
entonces ahora si yo quiero obtener
nuestra fuerza resultante voy a ponerlo
así
habría que hacer con calculadora
obviamente la puerta resultante sería
sumar a estos dos que serían 512 no de
70 grados más 8 coseno de 25 grados
esto es por iu y luego viene los
términos que son de jota no que es 50 de
70 grados
a ponerlo así 50 grados más 80 de 25
grados que son los términos de j
ahí está entonces si hacemos esto
cuánto nos va a quedar nos va a quedar
con calculadora si yo hago esto el
aumento cuatro cifras de 8.96 06
06 de iu y luego viene más 8.07 94
07 94 de j
si queremos aproximados si queremos
redondear lo esto me daría 9 y sin
prácticamente x 9
y esto se acabó me quedan 8 es lo más
cercano de hecho sería 8.1 ha sido que
vamos a redondear después de una cifra
del punto decimal
y ahí tendría yo nuestra magnitud
resultante significa que si 92 unidades
en x 8 unidades en 8.1 unidades cenieh y
ahí está ahí tendríamos este vector ya
resuelto
ahora para el ángulo sobre este mismo
problema necesitamos aquí saber que la
función trigonométricas que nos interesa
sería la tangente
entonces aquí nuestra función
trigonométricas que están gente vamos a
ponerle tangente del ángulo theta va a
ser igual a la magnitud en este caso la
parte que corresponde a j sobre la parte
que corresponde allí visto de plano
cartesiano sería la magnitud de con
respecto a la de x acá tenemos ya
sabemos que está el ave que esta es la
ley y esta es la de x entonces si yo
despejó aquí está atrás sería tangente
inversa de la magnitud j sobre la
magnitud y cuánto vale la magnitud jota
vale aproximadamente 8.1 y la magnitud y
vale 9 así nos quedaría 8.1 entre 9
esto de aquí me sigue dando voy a
ponerlo aquí tangente inversa y lo que
verdad es punto 90 17 aproximadamente
y finalmente ahora si el ángulo que nos
dé si no aplicamos tangente inversa de
esto me da aproximadamente 42 grados
no tengo ya redondeado conforme nos da
máximo un grado de diferencia no hay
ningún problema está bien esto es de
acuerdo a los puntos decimales que
queremos ahí especificar y listo ahí
está nos quedaría de esta manera ya
ahora sí ubicado completamente todos los
datos de nuestro vector resultante
crítica ahora el producto punto es una
operación importante el producto punto
se denomina como si los vectores
iverson cantidades vectoriales a punto b
esto es igual a la representación de los
dos vectores y las operaciones que hay
que hacer son muy fáciles hay que
multiplicar la coordenada x por la
coordenada de x y luego sumarán sobre
cam en que la coordenada de ayer por la
coordenada de ella y así sucesivamente
vamos a clarificar un poquito más con
algunas ideas de estos ejemplos vamos
con el producto aquí encuentre a punto
de estudio con el back y del inciso b el
inciso perdón apuntó b tenemos que la
representación son estos vectores
entonces lo que voy a hacer es la
primera coordenada bueno nuestro primer
vector como tal
va a ser multiplicado por el segundo
vector así entonces lo único que hay que
hacer es esto de manera muy simple voy a
tratar aquí los flechas lo que estamos
haciendo son estas son las
multiplicaciones que estamos haciendo
esto sería menos 5 por 2 me quedarían
menos 10
esto prácticamente tres por seis me da
18
y entonces tenemos menos 10 más 18 que
hace una suma algebraica para que me es
de 8 el producto punto siempre nos va a
dar no un vector sino una cantidad
escalar donde queramos que escalar es un
número a diferencia del vector que tiene
el vector recordamos tiene posición
tiene sentido y también tiene magnitud
ahora vamos con el inciso b
tenemos aquí dos vectores de este tipo
entonces vamos a hacerlo sería para el
inciso este sería el inciso ahora vienen
los del inciso me apunto vez entonces
únicamente hacemos esto por la cantidad
de i y la cantidad de jota por la
cantidad de hot algebraica mente nada
más los números 4 por 3 y me da 12 +
cual 6 x menos 7 me da menos 42 entonces
tendría que meter el menos 42 así hay
que respetar signos siempre entonces me
quedaría 12 más x menos me da menos 42
12 menos 42 me queda menos 30
gaines también resultado también una
cantidad escalar
el producto punto también nos puede
ayudar para otras situaciones como
pueden ser en este caso en este ejemplo
tenemos escrito ducto y punto tiene otra
fórmula lo que es apuntó b es igual a la
magnitud de a por la magnitud debe por
el cosiendo del ángulo que se forma
entre los dos vectores
entonces vamos a ver nos dicen hallar el
ángulo que se encuentra entre este
vector
y este vector de aquí entonces vamos a
comenzar a hacerlo
para esta situación necesitamos primero
lo que son las magnitudes vectoriales
dado como vamos encontrar el ángulo
bueno pues con esta fórmula si nosotros
despejamos coseno ponerlo aquí usted no
detecta sería apuntó b
entre la magnitud de a por la magnitud
debe entonces tamos las magnitudes vamos
a ver sería magnitud aquí sería la raíz
cuadrada de 4 al cuadrado más menos 3 al
cuadrado esto nos daría 16 más 9 lo cual
me quedaría raíz de 25 entonces la
magnitud de a vale 5
ahora vamos con la magnitud del vector b
tengo que es 1 al cuadrado más 2 al
cuadrado
esto me daría aquí uno más 4 lo cual me
da raíz de 5 ahí tengo la magnitud del
vector b
ahora en la fórmula si nos damos cuenta
arriba aparece el producto punto
entonces necesita obtener el producto
punto a punto b recordamos del producto
punto es muy fácil multiplicamos cada
coordenada por su correspondiente en la
posición de x son la posición ya
entonces sería 4 por 14 más menos 3 x
más 2 me daría menos 6 y esto me quede
aquí 4 menos 6 lo cual me da menos 2
así nos quedaría
ahora ya que tenemos eso podemos ahora
sí con todos los datos que requiere
nuestra fórmula
vamos a ver entonces vamos a poner coste
no de teta
adjuntó ve cuánto me da menos yo ya no
tenemos el resultado abajo magnitud de a
5 magnitud de raíz de 5 me queda así
esto se puede regionalizar multiplicando
tanto arriba como abajo por la raíz de 5
entonces me quedaría menos dos raíz de 5
sobre 5 raíz de 5 por raíz de 5 me
quedaría así raíz de 5 elevado al
cuadrado pero esto obviamente se
simplifica cuadrado con raíz se cancelan
y me queda nada más 5 5 por 5 nos queda
25 simplificado y esto ahora si quiero
encontrar el ángulo vamos a ponerlo aquí
te estás sería igual al costo no inverso
porque vamos a pasar el coste de la
función cocción vamos a pasar del otro
lado para poder evaluar lo que queda de
este lado que es dos reis de 5 sobre 25
si lo ponemos así justo así como lo
tenemos en la calculadora podemos
obtener el aproximado del ángulo theta
que deseamos en los dos vectores
y podemos y la película y pondríamos ya
sea que pongamos arco siendo ocasional o
menos 1 esta cantidad en paréntesis y me
da 100.3 grados
nos quedan 100 puntos 3 grados ahí está
tenemos ahora si el ángulo que
requerimos
ahora en muchas situaciones podemos
demostrar que los vectores ocupar de
lectores es ortogonal ortogonal quiere
decir que los dos vectores aumentos de
graficar se sean paralelos y esto se
logra gracias al producto punto cuál es
otro el teorema de la ort orgánica
ortogonalidad sería que si yo tengo el
producto punto de dos vectores y éste me
da cero automáticamente sabemos que son
ortogonales entonces vamos a hacerlo
vamos aquí con el primer inciso el
inciso a lo voy a poner en azul sería el
vector i y el vector j como sé el vector
y qué componente tienen y pues tiene uno
y en jota no tiene entonces cero puede
multiplicar este vector punto el vector
jota el doctor jota tiene componente en
y no tiene y componente en j pues si
tiene que vale uno de esta manera
entonces justo así nos quedaría ahora sí
vamos a hacer lo multiplicamos como lo
hemos venido haciendo respectivo por
respectivo que es uno por cero y cero
por uno y si nos damos cuenta pues en
los dos casos me hace me queda x 0 +
esféricamente 0 y listo
tengo el resultado ser el producto punto
me da cero significa que estos dos son
ortogonales ahora comprobemos para el
inciso b
tengo yo el vector aquí lo voy a poner
sería posición en y sería 2 posición en
j
sería más 3 un punto posición en y sería
6 posición en jota vale menos 4
ahí está y de igual manera fría 2 por 2
2 por 6 sería 12 más 3 por menos 4 me
daría menos 12 y nos damos cuenta más 12
menos 12 pues nos da automáticamente 0
comprobamos que hay ortogonalidad entre
los dos pares de vectores
en algunos casos los vectores nos pueden
ayudar también para poder enfrentarnos a
situaciones de física como en este caso
veremos como ya el trabajo realizado por
una fuerza constante tenemos el problema
que es encuentra el trabajo realizado al
empujar un auto por un camino a nivel
desde a a 40 pies debe cuando se ejerce
una fuerza constante de 90 libras aquí
tenemos un bosquejo del dibujo la
distancia entre iverson los 40 pies y me
dice que la fuerza con la cual pueda
ejercer el empuje del auto entonces la
fuerza tendrá esta dirección y será una
fuerza constante de 90 libras ojo aquí
constante es importante constante la
palabra constante nos hace referencia a
que la fuerza no cambie es decir si
nosotros no pudiéramos cansarnos nunca
mantendríamos la misma fuerza en la
práctica de aumento esto es imposible
pero cuando se dan problemas de este
tipo nos afrontamos a que podemos
realizarlo de esta forma entonces vamos
a ver cómo nos queda bien
usualmente el trabajo
qué es lo que tenemos justo aquí
nuestro trabajo se realizan de manera
muy fácil
tenemos aquí que el trabajo es siempre
en fuerza por distancia donde usualmente
la fuerza y la distancia son componentes
vectoriales entonces vamos ahora a pasar
a un dibujo del vector
aquí tenemos nuestro plano cartesiano y
aquí voy a poner nuestra fuerza que
viene la dirección la fuerza si nos
damos cuenta la dirección de la fuerza
viene así y cuánto mide la fuerza mide
90 libras de magnitud como bien en este
sentido si se da en cuenta estar justo
sobre el eje de las equis entonces como
representaríamos vectorial mente agua no
por vector realmente nos quedaría muy
fácil si la fuerza viene hacia allá
entonces la componente en x sería justo
a 90 y si no la encuentra no tiene
componente ya porque no va para arriba
ni en diagonal y nada entonces la
componente sería cero entonces ya
tendría yo mi vector fuerza que sería
90,0 punto ahora el vector distancia
ahora hagamos un bosquejo aquí de cómo
va a quedar nuestra distancia
ahí está si se dan cuenta tanto la
fuerza como la distancia tienen la misma
dirección voy a poner la distancia con
otro color
cuanto tenemos de distancia el plano
cartesiano desde aquí 0 hasta 40
entonces tendremos de aquí hasta acá
entonces dan cuenta tenemos aquí la
coordenada 0 y la coordenada 40 en x
como representaríamos también vectorial
mente ya en cuenta el vector como tal
nada más acá sobre x entonces tiene 40
unidades ahí y ello no pasa nada porque
no está en diagonal ni está para arriba
entonces pondría yo sea
de esta manera lo más correcto sería
representar los dos vectores así 40 0 y
ahora si el producto punto que nosotros
ya sabemos cómo hacer pues es muy fácil
es su posición respectiva multa y cada
por la evolución respectiva y luego
sumado al fabricante lote producto
entonces me quedaría aquí 90 por 40 90
por 40 son 3600
entonces me quedaría 3600 más 0 por 0
pues de 0 sin embargo pues esto ya no
cuenta y por eso en muchos libros son
muchas aplicaciones la física únicamente
encuentra que hay que multiplicar la
fuerza por la distancia para encontrar
el trabajo porque viene exactamente del
producto punto las unidades en este caso
serían libra pie ya que estamos en el
sistema inglés de esta manera ésta nos
queda desarrollado este problema de
aplicación
vamos un segundo problema de lo mismo
haya una fuerza o un trabajo mejor dicho
realizado por la fuerza constante y
ahora tenemos un poco ya ha cambiado
encuentra el trabajo si nuestra fuerza
que tiene esta magnitud vectorial de
esta forma del vector y la esta fuerza
se lo aplica desde el origen hasta un
punto en la coordenada 4 común entonces
vamos a dibujar primero los dos vectores
n dibujar el vector de la fuerza en azul
serían dos y cinco jota recordamos que
esto simboliza y esto simboliza jote
entonces sería avanzar doce mil y cinco
de j
más o menos como algo así por aquí
entonces este sería nuestro vector de
fuerza
ahí está luego viene el doctor de
posición no voy a dibujar en verde el
vector de posición que viene desde el
origen hasta la coordenada 41 entonces
ya 4 en x 1 2 3 4 y 1 en algo así
así nos quedaría nuestra fórmula de la
nuestra a nuestro rector de distancia de
posición entonces ya tengo un vector
posición y un vector fuerza necesitamos
forzosamente hallar el producto pronto
para encontrar la el trabajo realizado
como lo vimos en la fórmula anterior el
trabajo sería la fuerza en vector x como
dicho punto el vector de posición vamos
a ver cómo nos quedaría podemos el
vector fuerza que sería 25 punto y el
doctor posición que sería aquí yo tengo
41
y ya sabemos cómo hacer esto sería de 2
x 4 8 + 5 por una humedad 5 entonces
tengo el trabajo en tramos son 85 me
that 13 las unidades de la fuerza vamos
a ver si el problema nos da las unidades
la fuerza para sobren que tenemos que
dar el trabajo de hecho no nos da nada
vamos a suponer que la fuerza está en
newtons
esto de acá que se da en la fuerza que
la tenemos en youtube y en la posición
que es posición mx se trata como tal o x
como tal se trata en metros entonces
esto me daría newton por metro
y la unidad newton por método siempre
habla de lo que es la unidad de trabajo
que son jules en este caso
entonces el trabajo serían 13 jules
efectuados
ahora en este tercer ejemplo veremos
también cómo aplicarlo pero ahora vamos
a ver otra condición diferente en este
problema tenemos un carro que pesa 100
libras es empujado hacia arriba en un
plano inclinado entonces aquí
necesitamos el plano inclina básicamente
buenos bosquejos serían los siguientes
tenemos aquí un plano inclinado que
viene aquí así y nuestro carro voy a
ponerlo así como un molde bien aquí va a
ser empujado hacia la parte de arriba él
también que no me dice que tiene una
horizontal una angulación de 30 grados
encuentre el trabajo realizado contra la
gravedad de nuestro es importante vamos
a encontrar el trabajo pero con respecto
a la fuerza de atracción que es la
gravedad entonces tengo que encontrar el
trabajo que ejerce la gravedad como tal
para poder hacerlo en el sentido
contrario y me dice que la distancia que
recorre el auto son 80 pies es decir de
este punto hasta aquí vamos a poner ahí
toda esta distancia que recorre serán 80
pies nos vamos primero con el trazo de
los vectores
el vector de distancia o de posición que
si nos damos cuenta es este 80 entonces
tiene que trazar aquí
un vector que viene más o menos así que
vale de magnitud 80
y su angulación es de 30 grados entonces
en verde voy a poner lo que es mi vector
posición luego vamos ahora con
la fuerza que está ejerciendo si aquí lo
que me interesa es que el trabajo va a
ser sobre la gravedad se necesitó
forzosamente la fuerza de gravedad
sabemos por la física que la fuerza de
gravedad siempre viene hacia abajo
entonces al venir hacia abajo la fuerza
de gente que se ejerce es prácticamente
en este sentido hacia acá
de esta forma entonces vas a ver cuánto
equivale la fuerza de gravedad de hecho
aquí una fuerza de gravedad me dice que
equivale a 100 libras
entonces estamos en sistema inglés de
ahí partimos no desconociendo este
diagrama vectorial vamos ahora a
establecer por medio de un análisis cómo
va a quedar nuestra solución del
problema tenemos que ver lo que vamos a
poner el vector posición que es este voy
a ponerlo como la posición puede nominar
lo como
estoy aquí va a ser director posición
donde su magnitud es de 80 y son culos
de 30 necesito descomponerlo
forzosamente entonces hagamos por la
descomposición que es magnitud que es 80
coseno de 30 grados esto sería para iu y
luego viene más 80 en seno de 30 grados
y esto sería para j
entonces vamos a encontrar esto
80 coseno de 30 y 80 seno de 30 vamos a
ver el coso de 30 lo podemos encontrar
fácilmente si recordamos las figuras
podemos utilizar calculadora pero si no
queremos podemos utilizar las figuras
trigonométricas recordemos que para un
ángulo de 30 se dibuja un triángulo cada
ángulo idealmente mide lo mismo 60 de
aquí se corta a la mitad con lo que
entonces nos quedaría el ángulo de
arriba cortado por la mitad es decir 30
si a mí me faltó también que cada medida
cada longitud en las que venía si mide 2
es un triángulo equilátero perfecto al
ser cortado por la mitad
entonces nos entrega lo siguiente
obviamente la base al ser cortada por la
mitad ya mide 1 este ángulo que es el
que me interesa es de 30 grados y
control a pitágoras encontramos la
altura que es de raíz detrás si
aplicamos la función de econométrica
cione coseno me doy cuenta que sería
seno de 30 grados aquí hasta 30 grados
que nos recordamos que es cateto puesto
entre hipotenusa entonces el opuesto a
30 es uno y la hipotenusa siempre es la
diagonal que es 2 y entonces el coseno
de 30 grados también lo podemos
encontrar que es el cateto adyacente
entre la hipotenusa el adyacente sobre
donde descansa mi ángulo aquí está que
raíz de 3
y la hipotenusa es 2a y esta tenemos
entonces las funciones trigonométricas
matemáticamente obtenidas entonces esto
sería 80
y cosas de 30 valores raíz de 3 sobre
280 raíz de 3 sobre dos y más 80 por un
medio que sería 80 medios que sería j
así nos quedaría sin embargo esto
obviamente se puede simplificar nuestro
doctor posición quedaría 80 entre 2 se
ser mitad y mitad 80 entre dos me da 40
reyes de tres y más 40 también
simplificado jota y aquí tengo mi vector
posición es éste en sus componentes
rectangulares necesitas ponerlo así
porque necesito conocer cuánto
voy a tener de trabajo realizado por
medio de un producto punto tenemos esto
ahora vamos con la fuerza que está en la
parte de abajo es esto
voy a poner la fuerza de gravedad si no
quiero exponer como vector me doy cuenta
que la única componente que tiene es de
iu y es hacia abajo es decir es negativa
cuanto de negativa por lo mismo que la
magnitud que es de 100 entonces esto
sería
0 y porque no tiene componente en y es
decir en x durán j tiene 100 libras pero
en la parte negativa entonces al menos
100
hasta tengo mis dos vectores ahora si
con esto que tenemos ya podemos realizar
nuestro cálculo vamos a ver nuestro
trabajo realizado en este caso se ve el
trabajo realizado por la fuerza de
gravedad o en contra de la fuerza de
gravedad ahorita vamos a especificar lo
sería el producto de la fuerza de
gravedad un producto junto con la
posición ya tenemos los dos vectores
este es cero y menos 100 jota y el otro
sería 40 raíz de 3 y más 40 j
entonces hacemos nuestros productos este
ser por 43.000 acero pero menos 100 por
más 40 me da menos 4000
ahí está
está menos 4000 ya no tengo la jota
solamente sabemos que esto sería en la
fuerza de gravedad como tal hacia abajo
lo que está jalando entonces esto sería
nuestra fuerza que sería en este caso
libra pie no está parado nuestro trabajo
que es libra pie ahí está entonces ahí
está encontramos ahora si nuestro
trabajo si preguntan en este caso el
trabajo realizado contra la gravedad
decir que va hacia arriba es decir en
contra sería una flecha que iría hacia
arriba lo único que hace es cambiar la
magnitud el sentido pues a cambiar el
sentido en lugar de poner menos cuatro
mil serían cuatro mil libros pie de
trabajo contra la fuerza de gravedad
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