Vasicek Portfolio Loss Model: Distribution and Quantile

Summary

En este video, se deriva la fórmula para la distribución y el cuantil de la tasa de pérdida de un portafolio bajo opciones de Vassar-Texas. Esta fórmula es fundamental para el cálculo de los activos ponderados por riesgo de Basilea y se presenta como el equivalente de Black-Scholes en el modelado de portafolios de crédito. A través de una explicación detallada, se describe cómo los factores como la probabilidad de incumplimiento, el riesgo idiosincrático y el factor sistémico influyen en el cálculo de las pérdidas, estableciendo una relación entre la distribución condicional y no condicional de la tasa de pérdida.

Takeaways

• 😀 La fórmula para la distribución y el cuantíl de la tasa de pérdida de una cartera bajo opciones Vassar-Texas es fundamental para calcular los activos ponderados por riesgo de Basilea.
• 😀 El riesgo de crédito se modela utilizando la probabilidad de incumplimiento (PD) y la pérdida dada la morosidad (LGD), que dependen de las condiciones económicas y del individuo.
• 😀 El proceso de incertidumbre en el valor de los activos sigue una distribución normal, lo que permite modelar la probabilidad de incumplimiento de una persona.
• 😀 En el modelo, se supone que los individuos son homogéneos, es decir, tienen la misma cantidad prestada, la misma LGD y la misma PD, lo que simplifica los cálculos.
• 😀 El número de incumplimientos en una cartera sigue una distribución binomial, que para un número grande de individuos puede aproximarse con una distribución normal.
• 😀 La tasa de pérdida condicional se representa por una función escalón, que devuelve 0 si la tasa de pérdida es menor que la tasa de pérdida esperada y 1 si es mayor.
• 😀 El modelo hace uso de la ley de los grandes números, que establece que, con un número grande de individuos, la tasa de pérdida promedio se acercará al valor esperado.
• 😀 La probabilidad de pérdida inferior a un umbral se determina mediante simulaciones, lo que resulta en una probabilidad acumulada de 0 o 1 dependiendo del escenario.
• 😀 Para calcular la distribución de pérdida incondicional, se toma la expectativa de la pérdida condicional, eliminando la dependencia de la variable aleatoria s.
• 😀 El cuantil, que se refiere a un percentil de la distribución de pérdidas, se calcula utilizando la fórmula clásica de Basilea, lo que permite determinar un umbral de pérdida específico, como el percentil 99.

Q & A

¿Qué es la probabilidad de incumplimiento (PD) en el contexto de préstamos?

La probabilidad de incumplimiento es la probabilidad de que un prestatario no pague un préstamo en la fecha de vencimiento. Varía según las circunstancias personales del prestatario y las condiciones económicas generales.

¿Qué significa LGD y cómo se calcula la pérdida condicional?

LGD significa 'Loss Given Default' o pérdida dado el incumplimiento. La pérdida condicional se calcula como el producto del monto del préstamo, la probabilidad condicional de incumplimiento y el LGD.

¿Qué supone la hipótesis de homogeneidad en un portafolio de préstamos?

La hipótesis de homogeneidad supone que todos los prestatarios son similares, con el mismo monto de exposición, la misma probabilidad de incumplimiento y el mismo LGD. Esto simplifica los cálculos, permitiendo que la suma de pérdidas se exprese como M veces una pérdida individual.

¿Cómo se define la tasa de pérdida (loss rate) en el portafolio?

La tasa de pérdida se define como la pérdida total del portafolio dividida por la exposición total. Para M prestatarios con exposición e, la tasa de pérdida L = (pérdida total) / (M * e).

¿Qué modelo utiliza Vasicek para explicar los incumplimientos individuales?

El modelo de Vasicek supone que un individuo incumple cuando el valor de sus activos financieros cae por debajo de un umbral debido a choques adversos. La variación del valor del activo se modela como combinación lineal de un factor sistémico (S) y un factor idiosincrático (ε), ambos distribuidos normalmente.

¿Qué distribución sigue el número de incumplimientos en un portafolio grande según Vasicek?

Condicional al factor sistémico S, el número de incumplimientos sigue una distribución binomial. Para un portafolio muy grande, se puede aproximar con una distribución normal mediante el Teorema Central del Límite.

¿Qué representa la función escalón en la distribución condicional de pérdidas?

La función escalón muestra que para un número muy grande de prestatarios, la tasa de pérdida condicional se concentra en su valor esperado: devuelve 0 si la tasa de pérdida está por debajo del esperado y 1 si está por encima. Esto refleja la Ley de los Grandes Números.

¿Cómo se calcula la distribución incondicional de pérdidas?

Se calcula tomando la esperanza de la distribución condicional respecto al factor sistémico S. Esto elimina la dependencia de S y permite obtener la probabilidad de que la tasa de pérdida esté por debajo de un cierto umbral.

¿Qué es el cuantíl de pérdida y cómo se determina?

El cuantíl de pérdida es el valor de pérdida X tal que la probabilidad de que la pérdida sea menor que X es igual a un nivel de confianza α (por ejemplo, 0.99 para el percentil 99). Se determina usando la distribución normal inversa aplicada a la probabilidad condicional de incumplimiento.

¿Cuál es la relación entre la probabilidad incondicional de incumplimiento y el umbral de activo?

La probabilidad incondicional de incumplimiento se obtiene como la esperanza del PD condicional sobre la distribución del factor sistémico. El umbral de activo que define el incumplimiento se puede expresar como la inversa de la distribución normal de la probabilidad promedio de incumplimiento.

¿Por qué el modelo de Vasicek es considerado el equivalente al Black-Scholes para portafolios de crédito?

Porque proporciona una fórmula analítica para la distribución de pérdidas y los cuantiles de un portafolio de crédito, similar a cómo Black-Scholes da precios de opciones, permitiendo calcular riesgos de forma sistemática y cuantitativa.

¿Cómo afecta la correlación entre individuos a la distribución de pérdidas?

La correlación se introduce a través del factor sistémico S. Si S afecta a todos los individuos, los incumplimientos tienden a ocurrir de manera más conjunta, aumentando la varianza del número de incumplimientos y afectando la cola de la distribución de pérdidas.