DIFERENCIALES. INCREMENTOS Y APROXIMACIONES. Ejemplo 4. Calculo del incremento de volumen (esfera)

Summary

En este video, se explica una de las aplicaciones principales del cálculo diferencial: el cálculo del incremento aproximado en una función mediante diferenciales. A través de un ejercicio, se muestra cómo calcular el aumento en el volumen de una esfera cuando su radio incrementa ligeramente. Utilizando la fórmula del volumen de una esfera, se demuestra cómo los diferenciales aproximan este cambio, con resultados muy cercanos al incremento real. La diferencia es mínima, lo que resalta la efectividad de los diferenciales en cálculos de pequeñas variaciones.

Takeaways

• 😀 El cálculo diferencial es útil para aproximar los pequeños aumentos en una función, como en el caso del volumen de una esfera.
• 😀 La fórmula para calcular el volumen de una esfera es V = (4/3)πr³, donde r es el radio de la esfera.
• 😀 El diferencial de una función se calcula con la fórmula dy = f'(x) * dx, donde dx es el incremento en la variable independiente.
• 😀 Para calcular el incremento en el volumen, se deriva la fórmula del volumen con respecto al radio, obteniendo dy = 4πr² * dx.
• 😀 El radio inicial de la esfera es 3 cm, y el aumento en el radio es de 0.005 cm.
• 😀 Usando el diferencial, el aumento aproximado en el volumen de la esfera es de 0.5654 cm³.
• 😀 Para el volumen inicial de la esfera, el cálculo da un valor de 113.0973 cm³.
• 😀 Después de aumentar el radio a 3.005 cm, el volumen de la esfera es 113.6637 cm³.
• 😀 La diferencia real en el volumen, calculada como ΔV = V₂ - V₁, es de 0.5664 cm³.
• 😀 La diferencia entre el valor calculado con el diferencial y el valor real es mínima (solo 0.0001 cm³), lo que demuestra la precisión de los diferenciales en pequeños cambios.
• 😀 A pesar de que el valor calculado por el diferencial no es exactamente igual al valor real, la diferencia es tan pequeña que los diferenciales se muestran muy efectivos en estos cálculos.

Q & A

¿Qué aplicación principal se aborda en el video?

El video aborda la aplicación principal del cálculo diferencial, que es la aproximación del aumento de una función utilizando diferenciales.

¿Qué ejercicio resuelven en el video?

El ejercicio consiste en calcular el aumento aproximado en el volumen de una esfera cuyo radio aumenta de 3 cm a 3.005 cm.

¿Por qué los diferenciales son efectivos en este ejercicio?

Los diferenciales son efectivos porque el aumento en el radio es muy pequeño, y los diferenciales nos permiten aproximar ese incremento de manera eficiente.

¿Cuál es la fórmula para calcular el volumen de una esfera?

La fórmula para calcular el volumen de una esfera es V = 4/3 * π * r³, donde 'r' es el radio de la esfera.

¿Cómo se realiza el cambio de variable en el ejercicio?

En el ejercicio, se hace un cambio de variable sustituyendo 'V' por 'y' (el volumen) y 'r' por 'x' (el radio), con el objetivo de aplicar el cálculo diferencial.

¿Qué fórmula se utiliza para calcular el diferencial de 'y'?

La fórmula utilizada es: dy = f'(x) * dx, donde f'(x) es la derivada de la función y dx es el incremento en el valor de 'x'.

¿Cómo se deriva la función del volumen con respecto al radio?

Para derivar la función del volumen con respecto al radio, se usa la regla del poder. Al derivar 4/3 * π * x³, el resultado es 4πx².

¿Cuál es el valor de 'dx' en este ejercicio?

El valor de 'dx' es 0.005 cm, que representa el incremento en el radio de la esfera.

¿Cuál es el resultado del cálculo del diferencial de 'y' en este caso?

El cálculo del diferencial de 'y' da un valor aproximado de 0.5654 cm³, lo que representa el aumento en el volumen de la esfera según el cálculo diferencial.

¿Cómo se calcula el aumento real en el volumen de la esfera?

El aumento real en el volumen de la esfera se calcula como la diferencia entre el volumen de la esfera con el radio de 3.005 cm y el volumen de la esfera con el radio inicial de 3 cm, obteniendo un aumento de 0.5664 cm³.

¿Qué tan precisa es la aproximación del cálculo diferencial con respecto al aumento real?

La aproximación del cálculo diferencial es muy precisa, con una diferencia de solo 0.0001 cm³ entre el aumento real del volumen y el incremento calculado usando diferenciales.