36.1 Второй замечательный предел Примеры

Summary

В этом видеоуроке объясняется, как применять формулу второго замечательного предела для решения примеров с неопределенностью вида 1 в степени бесконечность. Рассматриваются различные примеры, включая пределы с выражениями, стремящимися к единице, а также более сложные случаи. Преподаватель демонстрирует, как преобразовать выражения с помощью подстановок и как применять формулу для раскрытия неопределенности. В конце урока обсуждаются также другие примеры, требующие вычислений пределов, и завершается тем, что нужно помнить о специфике второго замечательного предела при решении таких задач.

Takeaways

• 😀 Важность применения формулы второго замечательного предела при решении неопределенности вида 1 в степени бесконечность.
• 😀 При расчете предела важно учитывать, что при стремлении X к бесконечности выражение 1/X становится бесконечно малым.
• 😀 Неопределенность вида 1 в степени бесконечность требует применения формулы второго замечательного предела для ее разрешения.
• 😀 Формула второго замечательного предела может быть применена даже если X в дроби не записан явно, если эта величина стремится к бесконечности.
• 😀 Преобразования, такие как введение дополнительных знаков минус или плюса в выражение, помогают привести его к нужному виду для применения формулы.
• 😀 Важно учитывать, что при подставлении X, стремящегося к бесконечности, в числитель и знаменатель дроби, важно сохранить согласованность всех элементов (например, знак минус и минус в экспоненте).
• 😀 Для решения пределов с неопределенностью вида 1^∞ может быть полезно сделать замену переменной (например, X заменить на t).
• 😀 Пример с выражением (1 - 2/3X)^4X демонстрирует, как важно правильно трактовать выражение, где обе части (база и степень) стремятся к бесконечности.
• 😀 При решении предела для выражений, где экспонента зависит от X, важно внимательно следить за степенью этого выражения при X стремящемся к бесконечности.
• 😀 Пример с выражением (2 + x)/(3 - x) ^ X продемонстрировал, что при X стремящемся к нулю не всегда требуется использовать вторую замечательную формулу, если базовое значение не вызывает неопределенности.

Q & A

Что такое вторая замечательная формула предела?

Вторая замечательная формула предела используется для разрешения неопределенности вида 1 в степени бесконечность. Формула гласит, что предел выражения вида (1 + 1/x)^x при x, стремящемся к бесконечности, равен числу e.

Что означает неопределенность вида 1 в степени бесконечность?

Неопределенность вида 1 в степени бесконечность возникает, когда основание стремится к единице, а показатель степени стремится к бесконечности. Это вызывает неопределенность, которую нужно разрешать с помощью специальных математических методов, например, второй замечательной формулы предела.

Как применяется вторая замечательная формула при решении предела?

Чтобы применить вторую замечательную формулу, нужно преобразовать выражение, чтобы оно имело вид (1 + 1/x)^x. После этого можно использовать формулу, которая говорит, что такой предел равен числу e.

Как преобразовать выражение 1 - 1/x в форму для использования второй замечательной формулы?

Для того чтобы использовать вторую замечательную формулу для выражения 1 - 1/x, необходимо изменить знак в основании и ввести отрицательное значение в числитель, чтобы получить форму, аналогичную (1 + 1/x)^x, где x стремится к бесконечности.

Что происходит, если в базе выражения появляется отрицательное число?

Когда в базе выражения появляется отрицательное число, важно обратить внимание на знаки в числителе и знаменателе. Если преобразовать выражение должным образом, можно использовать вторую замечательную формулу для вычисления предела.

Как рассчитать предел выражения, если база стремится к 1, а показатель степени — к бесконечности?

Когда база стремится к 1, а показатель степени к бесконечности, возникает неопределенность 1 в степени бесконечность. В этом случае можно использовать вторую замечательную формулу предела для вычисления значения предела, который будет равен числу e или его производным в зависимости от преобразований.

Как проверить, что выражение подходит для применения второй замечательной формулы?

Для того чтобы удостовериться, что выражение подходит для применения второй замечательной формулы, нужно убедиться, что оно принимает вид (1 + 1/x)^x или схожий с ним, где x стремится к бесконечности.

Как решается предел вида 1 + 2/(3x) в степени 4x?

Для решения такого предела нужно начать с анализа предела базы (1 + 2/(3x)), которая при x стремящемся к бесконечности будет стремиться к 1. Затем, в показателе степени 4x, который также стремится к бесконечности, возникает неопределенность, и снова применяется вторая замечательная формула.

Как разрешить неопределенность вида бесконечность делить на бесконечность при вычислении предела?

Для разрешения неопределенности вида бесконечность делить на бесконечность нужно применить правило Лопиталя, разделив числитель и знаменатель на высшую степень x. Это позволит упростить выражение и вычислить предел.

Что происходит, если выражение имеет предел вида (x + 3)/(x + 3) при x, стремящемся к бесконечности?

Если выражение имеет вид (x + 3)/(x + 3) при x, стремящемся к бесконечности, то результат этого предела будет равен 1, так как числитель и знаменатель стремятся к одинаковому значению, и дробь упрощается до 1.