RECURRENCIA

Summary

Este video explica los conceptos fundamentales de las relaciones de recurrencia, abordando cómo clasificar y resolver ecuaciones tanto homogéneas como no homogéneas. Se enseña cómo identificar el orden y el grado de una relación de recurrencia, y cómo clasificarla según estos parámetros. Además, se profundiza en las soluciones homogéneas y no homogéneas, brindando ejemplos detallados para explicar cómo se resuelven estas ecuaciones mediante métodos específicos, como el uso de condiciones iniciales y soluciones particulares. El video también cubre la resolución de relaciones de recurrencia de primer y segundo orden.

Takeaways

• 😀 El primer paso para resolver relaciones de recurrencia es clasificarlas, identificando el orden, el grado y si son homogéneas o no homogéneas.
• 😀 El orden de una relación de recurrencia se determina por la mayor diferencia entre los subíndices de los elementos de la sucesión.
• 😀 El grado de la relación de recurrencia se refiere al mayor exponente al que están elevados los elementos de la sucesión.
• 😀 Una relación de recurrencia es homogénea si no tiene términos que no involucren elementos de la sucesión.
• 😀 El orden de una relación de recurrencia también puede determinarse por la cantidad de términos anteriores necesarios para calcular un término particular.
• 😀 Las relaciones de recurrencia homogéneas pueden ser de orden 1 o 2, y se resuelven mediante ecuaciones características.
• 😀 Para las relaciones de recurrencia de orden 1, la forma general es: a_n = c * a_(n-1), donde c es un valor constante.
• 😀 Las relaciones de recurrencia de orden 2 tienen la forma a_n = c1 * a_(n-1) + c2 * a_(n-2), y se resuelven usando una ecuación cuadrática para encontrar las raíces.
• 😀 Si las raíces de la ecuación característica son diferentes, la solución recursiva será una combinación de términos exponenciales. Si son iguales, la solución incluirá un término adicional con 'n'.
• 😀 Para las relaciones de recurrencia no homogéneas, la solución general se compone de la solución homogénea más una solución particular que depende del término no homogéneo.
• 😀 La solución particular se selecciona según la forma del término no homogéneo, utilizando una tabla para determinar su estructura y encontrar la expresión adecuada.

Q & A

¿Qué es el orden de una relación de recurrencia?

El orden de una relación de recurrencia es la mayor de las diferencias entre los subíndices de los elementos de la sucesión. También puede determinarse como la cantidad de términos anteriores necesarios para calcular un término particular de la sucesión.

¿Cómo se determina el grado de una relación de recurrencia?

El grado de una relación de recurrencia se determina observando el mayor exponente al que están elevados los elementos de la sucesión. Es decir, el mayor exponente de los términos involucrados en la relación.

¿Qué significa que una ecuación de recurrencia sea homogénea?

Una ecuación es homogénea cuando no tiene términos en los que no aparezcan elementos de la sucesión. Es decir, si hay un término en el que no esté involucrado ningún elemento de la sucesión, se considera no homogéneo.

¿Cómo se clasifica una relación de recurrencia de orden 1?

Una relación de recurrencia de orden 1 tiene la forma a_n = c * a_{n-1}, donde c es una constante distinta de cero. En este caso, la solución no recursiva de la relación es a_n = a_0 * c^n, donde a_0 es el valor inicial dado.

¿Qué diferencia existe entre una relación de recurrencia de orden 1 y una de orden 2?

Una relación de recurrencia de orden 2 involucra dos términos anteriores, como a_n = c_1 * a_{n-1} + c_2 * a_{n-2}. En comparación, una de orden 1 solo involucra un término anterior, a_n = c * a_{n-1}.

¿Qué es la ecuación característica de una relación de recurrencia de orden 2?

La ecuación característica de una relación de recurrencia de orden 2 es un polinomio de grado 2, de la forma x^2 + c_1 * x + c_2 = 0. Al resolverla, se obtienen las raíces, que determinan la forma general de la solución no recursiva.

¿Cómo se determina la solución no recursiva cuando las raíces de la ecuación característica son distintas?

Cuando las raíces de la ecuación característica son distintas, la solución no recursiva tiene la forma a_n = c_1 * r_1^n + c_2 * r_2^n, donde r_1 y r_2 son las raíces de la ecuación y c_1 y c_2 son constantes determinadas por las condiciones iniciales.

¿Qué ocurre cuando las raíces de la ecuación característica son iguales?

Cuando las raíces de la ecuación característica son iguales, la solución no recursiva tiene la forma a_n = c_1 * r^n + c_2 * n * r^n, donde r es la raíz repetida y c_1 y c_2 se determinan utilizando las condiciones iniciales.

¿Cómo se resuelven las relaciones de recurrencia no homogéneas?

Para resolver relaciones de recurrencia no homogéneas, primero se resuelve la parte homogénea, y luego se encuentra una solución particular basada en el término no homogéneo. La solución general es la suma de la solución homogénea y la particular.

¿Cómo se selecciona la forma de la solución particular para una relación de recurrencia no homogénea?

La forma de la solución particular se selecciona según el tipo de término no homogéneo. Si es una constante, se propone una solución constante. Si es un polinomio, se propone una solución polinómica. Dependiendo de la forma del término no homogéneo, se elige la forma adecuada para la solución particular.