Circuncentro de un triángulo

KhanAcademyEspañol

7 Sept 201311:42

Summary

TLDREl video ofrece una explicación detallada sobre la construcción y propiedades de las medianas en un triángulo. Comienza trazando una segmento de línea y su respectiva mediana perpendicular, demostrando que cualquier punto en la mediana equidista los extremos del segmento. Luego, aplica este concepto a un triángulo, donde las tres medianas se intersectan en un punto conocido como el centro de la circunferencia circunscrita, también llamado el círculo un centro. El video concluye con la introducción de la circunferencia circunscrita, una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, y su relación con el centro de la circunferencia circunscrita.

Takeaways

📏 El video comienza explicando cómo trazar una mediana 'l' de un segmento 'ave', que es una recta perpendicular que pasa por el punto medio del segmento.
📐 Se denomina 'l' a la mediana y se busca probar que cualquier punto sobre 'l' equidista de 'a' y 'b', es decir, la distancia 'aa' es igual a la distancia 'ab'.
📍 Se utiliza el punto 'c' sobre la mediana 'l' para demostrar la equidistancia mediante la construcción de segmentos y la observación de triángulos del ángulo recto.
🔍 Se establece la congruencia de dos triángulos rectángulos, 'AMC' y 'BMC', por el criterio de lado-ángulo-lado, para concluir que 'AC' es congruente a 'BC'.
🔄 Se intenta probar la afirmación al revés: si un punto equidista de 'a' y 'b', entonces está sobre la mediana del segmento 'ab', utilizando la construcción de alturas y triángulos congruentes.
📐 Se demuestra que si un punto 'c' está sobre la mediana 'l', entonces 'b' es igual a 'm', lo que confirma que 'm' es una mediana.
🤔 Se plantea la idea de que el argumento es aplicable independientemente de la ubicación del punto 'c' sobre la mediana.
🔶 Se utiliza el conocimiento recién descubierto sobre puntos equidistantes y medianas para trabajar con triángulos, iniciando con la construcción de las tres medianas en un triángulo 'ABC'.
🔄 Se observa que las tres medianas de un triángulo se intersectan en un solo punto, denominado 'O', el cual cumple ser equidistante de los vértices 'A', 'B' y 'C'.
🌐 Se introduce el concepto del 'círculo circumscribedo' o circunferencia circunscrita, que es una circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo y tiene como centro el punto 'O', el círculo un centro del triángulo.

Q & A

¿Qué es un segmento de ave y cómo se define?
-Un segmento de ave es una parte de un triángulo que une a dos vértices. Se define como el segmento de línea recta que une dos puntos (vértices) de un triángulo.
¿Cómo se traza la mediatriz de un segmento de ave y cuál es su importancia?
-Para trazar la mediatriz, se dibuja una recta perpendicular al segmento que pase por su punto medio. La mediatriz es importante porque equidista a los extremos del segmento, cumpliendo con la propiedad de ser un segmento perpendicular y de punto medio.
¿Qué es un ángulo recto y cómo se identifica en el script?
-Un ánglo recto es un ángulo de 90 grados. En el script, se identifican ángulos rectos al mencionar que la mediatriz es perpendicular al segmento de ave, lo que implica ángulos rectos en las intersecciones.
¿Cómo se demuestra que cualquier punto sobre la mediatriz equidista los puntos a y b?
-Se toma un punto c sobre la mediatriz y se trazan los segmentos ac y bc. Se demuestra que los triángulos amc y bmc son congruentes por el criterio lado-ángulo-lado, lo que implica que ac es igual a bc, probando así que el punto c equidista a y b.
¿Qué es un triángulo congruente y cómo se demuestra que dos triángulos son congruentes en el script?
-Un triángulo congruente es uno que tiene las mismas medidas de lado y ángulos que otro triángulo. En el script, se demuestra la congruencia de los triángulos amc y bmc utilizando el criterio lado-ángulo-lado, donde los lados y ángulos correspondientes son iguales.
¿Qué es el punto o y cómo se relaciona con las mediatrices de un triángulo?
-El punto o es el punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Se relaciona con las mediatrices porque es equidistante a los tres vértices del triángulo y está sobre cada una de las mediatrices.
¿Qué se llama al círculo que tiene como centro al punto o y pasa por los tres vértices del triángulo?
-El círculo que tiene como centro al punto o y pasa por los tres vértices del triángulo se llama círculo circunscrito o circunferencia circunscrita.
¿Cómo se demuestra que el punto o está sobre la mediatriz de bc?
-Se traza la altura de c a la mediatriz de ave, se llama a este punto m y se demuestra que cm es igual a bm, lo que implica que el punto m es la mediatriz. Al demostrar que bm es igual a mc, se concluye que el punto o está sobre la mediatriz de bc.
¿Qué propiedades cumple el punto o y cómo se deduce que es el centro del círculo circunscrito?
-El punto o cumple la propiedad de ser equidistante a los tres vértices del triángulo y está sobre las tres mediatrices. Se deduce que es el centro del círculo circunscrito porque toda circunferencia con centro en o y radio oa, ob o oc, pasa por los vértices del triángulo.
¿Cuál es la relación entre el círculo circunscrito y el punto o en el triángulo abc?
-El círculo circunscrito es una circunferencia que tiene como centro al punto o y radio igual a la distancia de o a cualquier vértice del triángulo abc, y pasa por todos los vértices del triángulo.

Outlines

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📏 Construcción de la mediana y demostración de congruencia

En este primer párrafo, se describe el proceso de trazado de una mediana 'l' en un segmento 'ave'. Se establece que 'l' es perpendicular y pasa por el punto medio del segmento. Se argumenta que cualquier punto sobre 'l' equidista de 'a' y 'b'. Para demostrar esto, se toma un punto 'c' sobre 'l' y se trazan los segmentos 'ac' y 'bc', formando dos triángulos congruentes por el criterio lado-ángulo-lado. Esto lleva a la conclusión de que 'ac' es congruente a 'bc', independientemente de la posición de 'c'. Además, se intenta probar la afirmación en sentido inverso, es decir, si un punto está en la mediana, entonces es equidistante de los extremos del segmento.

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📐 Propiedades de los puntos equidistantes y la mediana en un triángulo

El segundo párrafo explora las propiedades de los puntos equidistantes en un triángulo, utilizando los conocimientos previamente descubiertos. Se dibuja un triángulo ABC y se trazan sus medianas, encontrando un punto de intersección 'O'. Se argumenta que 'O' está equidistante de los vértices 'A', 'B' y 'C', y que está sobre las tres medianas. Se concluye que 'O' es el centro circunferencia del triángulo, que es el punto donde se intersectan las medianas y es equidistante de los vértices, lo cual se demuestra a través de la construcción de triángulos congruentes y la utilización del criterio recto-recto-lados.

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🌐 Introducción al círculo circumscrito y su relación con el centro circunferencia

En el tercer párrafo se introduce el concepto del círculo circumscrito, que es una circunferencia que pasa por los tres vértices de un triángulo. Se menciona que el centro de este círculo es el punto 'O', el centro circunferencia, y que el radio del círculo es la distancia de 'O' a cualquiera de los vértices. Aunque el dibujado del círculo no es detallado, se establece la importancia de este concepto en la geometría y cómo el centro circunferencia 'O' es el punto de intersección de las medianas, lo que es una propiedad clave en el estudio de los triángulos.

Mindmap

Keywords

💡Segmento

Un segmento es una parte de una línea recta que comienza y termina en dos puntos específicos llamados extremos. En el video, el segmento es utilizado para construir una media triz, y se menciona que se traza un segmento 'ave' y se llaman a sus extremos 'a' y 've'. El segmento es fundamental para entender la construcción de triángulos y la creación de la media triz.

💡Media triz

La media triz es una recta que es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio. En el video, se traza la media triz del segmento 'ave' para demostrar propiedades de puntos equidistantes y para encontrar el centro del triángulo. La media triz es crucial para el desarrollo de la teoría geométrica presentada.

💡Punto medio

El punto medio de un segmento es el punto que divide el segmento en dos partes iguales. En el script, el punto medio se usa para trazar la media triz y se marca con un punto específico, el cual es crucial para demostrar que cualquier punto sobre la media triz equidista los extremos del segmento.

💡Punto equidistante

Un punto equidistante es aquel que está a la misma distancia de dos o más puntos. En el video, se utiliza el concepto de punto equidistante para demostrar que cualquier punto sobre la media triz es equidistante de los extremos del segmento base, como se muestra en el ejemplo donde se toma el punto 'c' sobre la media triz 'l'.

💡Triángulo

Un triángulo es una figura geométrica compuesta por tres lados y tres ángulos. El video trata sobre la construcción de triángulos y la demostración de propiedades como la congruencia de triángulos y la existencia del centro del triángulo. Se menciona el triángulo 'abc' y se construyen sus medias trizas.

💡Congruente

Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, y por lo tanto, pueden superponerse exactamente. En el video, se utiliza el criterio de congruencia 'lado ángulo lado' para demostrar que dos triángulos formados por puntos equidistantes son congruentes, lo cual es clave para entender la propiedad de la media triz.

💡Ángulo recto

Un ángulo recto es un ángulo de 90 grados. En el script, se mencionan ángulos rectos en la construcción de la media triz y en la demostración de triángulos congruentes, como en el caso del triángulo 'amc' y 'bmc', donde los ángulos rectos son parte de la demostración.

💡Círculo circunscrito

El círculo circunscrito de un triángulo es el círculo que pasa por todos los vértices del triángulo. En el video, se habla del círculo circunscrito como una consecuencia de la existencia del centro del triángulo, el cual es el centro del círculo que pasa por los tres vértices.

💡Centro del triángulo

El centro del triángulo, también conocido como el centro circunscrito, es el punto donde se intersectan las medias trizas de un triángulo. En el script, se encuentra el centro del triángulo 'abc' al punto de intersección de sus medias trizas y se le llama 'o', siendo este punto equidistante de los vértices del triángulo.

💡Criterio de congruencia

Los criterios de congruencia son reglas que se utilizan para determinar si dos figuras son congruentes. En el video, se utiliza el criterio 'lado ángulo lado' (lado de un triángulo es igual al lado correspondiente del otro triángulo, y ambos tienen un ángulo correspondiente en común) para demostrar la congruencia de triángulos relacionados con la media triz.

Highlights

El video comienza explicando cómo trazar un segmento de ave y nombrarlas en sus extremos.

Se procede a trazar la media triz de un segmento, que es una recta perpendicular que pasa por su punto medio.

Se establece que cualquier punto sobre la media triz equidista de los extremos del segmento.

Se toma un punto C sobre la media triz para demostrar la equidistancia mediante la trayectoria de segmentos.

Se forman dos triángulos y se argumenta que son congruentes por el criterio lado ángulo ángulo lado.

Se concluye que los lados correspondientes de los triángulos congruentes son iguales.

Se intenta probar la afirmación al revés, es decir, si un punto equidista de los extremos de un segmento, entonces está sobre la media triz.

Se dibuja un segmento y se muestra cómo trazar la altura perpendicular desde un punto equidistante.

Se demuestra que la altura es una media triz utilizando el criterio recto recto lado hipotenusa.

Se concluye que si un punto está sobre la media triz, entonces es equidistante de los extremos del segmento.

Se utiliza el conocimiento recién obtenido para aplicarlo en un triángulo, dibujando las medias tristes.

Se dibuja un triángulo ABC y se trazan sus tres medias tristes.

Se identifica el punto de intersección de las medias tristes como el punto O.

Se argumenta que el punto O es equidistante de los vértices del triángulo ABC.

Se nombra al punto O como el centro circunferencial del triángulo.

Se explica que un círculo con centro en O y radio OA, OB o OC, pasa por los vértices del triángulo.

Se menciona que este círculo se llama círculo circunscrito o círculo circumferente.

Se concluye que el círculo circunscrito es una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.