京都大学 数学・数理科学5研究拠点合同市民講演会「源氏香はクラスタリング～ベル数とその周辺～」間野修平（情報・システム研究機構 統計数理研究所 数理・推論研究系 教授）2021年11月6日

Summary

本講演では、統計学とクラスタリングの概念を源氏香という独特の観点から紹介しています。源氏香は香を組み合わせて香りを競うゲームであり、その組み合わせと確率について分析し、データの分割とクラスタリングを例に、統計学の応用を解説しています。また、整数分割、非可換確率空間、ランダム行列などの数学的概念を通じて、確率構造とクラスタリングの関係を探求。さらに、深層学習におけるネットワークの解析にも言及し、数学と統計学の応用が多岐にわたる様子を興味深く紹介しています。

Takeaways

• 🌟 スクリプトは統計学とクラスタリングに関する講演を紹介しており、源氏香という遊びを通じて数学的概念を説明しています。
• 🎲 源氏香は香を組み合わせて香りを当てるゲームで、その組み合わせは502通りありますが、源氏香コンペでは54通りに限定されています。
• 📚 源氏物語をもとにした源氏香では、各香が物語の場面と対応付けられており、参加者はそれらを記憶して遊ぶ必要があります。
• 🔢 整数分割は、有限集合を分割する際の要素の数を表す数学概念で、源氏香のルールにも応用されています。
• 🎨 源氏香の各組み合わせに対する絵が存在し、それらは河野図を使って表現されていますが、正確な順序は定まっていません。
• 👥 講演では、参加者が答えを提案し、正解に当てた者が賞を獲得するというゲームの様子も紹介されています。
• 📉 クラスタリングは、データに基づいて集合を分割するプロセスであり、同じクラスター内の要素は互いに似ている傾向があります。
• 🤖 深層学習におけるニューラルネットワークの挙動は、結合の強さ（重み）と非線形関数によって決定されますが、ランダム行列の性質も影響を与えます。
• 🧠 非可換確率空間における市場の台数と関連する情報量の概念が、確率変数間の独立性と期待値の関係を数学的に扱っています。
• 🔍 ランダム行列の固有値分布のモーメントを調べることで、深層学習におけるネットワークの自由独立性を研究することができます。
• 🌐 最後に、深層学習におけるネットワークの幅を無限大にすると、その極限が先ほどの交差しない高の頭を考える極限に対応することが示されています。

Q & A

源氏香はどのような遊びですか？

源氏香は、様々な香を組み合わせて香りを競い合う遊びです。

源氏香のルールを簡単に説明してください。

源氏香では、香木を5種類用意し、それらを組み合わせて香りを競います。

源氏香の誤報とは何ですか？

誤報とは、源氏香の遊びで使用する香の組み合わせのうち、実際には存在しないものを指します。

源氏香における「組校」とは何を意味していますか？

組校とは、香を組み合わせる遊びのことを指しており、源氏香はその一種です。

源氏物語と源氏香にはどのような関係がありますか？

源氏香は源氏物語の巻名をもとに香を組み合わせる遊びであり、巻名と香の関連性に基づいて遊びが行われます。

源氏香の記録はどのようにして行われますか？

源氏香の記録では、香の組み合わせとその結果が記録され、誤報の香の組み合わせも含まれます。

整数分割とはどのような概念ですか？

整数分割とは、正の整数を複数の整数の和として表す方法のことを指します。

クラスタリングとはどのようなプロセスですか？

クラスタリングは、データをグループに分割するプロセスであり、同じグループ内のデータは互いに類似しているとされます。

源氏香における「高の頭」とは何を意味していますか？

高の頭とは、源氏香の遊びで選ばれた香の組み合わせを指し、最も優れた香の組み合わせとされるものです。

深層学習におけるニューロンの働きを説明してください。

深層学習では、ニューロンは入力信号を受取り、重みと非線形関数を適用して出力を生成します。これにより学習されたモデルは特定のタスクを実行できます。

ランダム行列とは何ですか？

ランダム行列とは、各要素がランダムに決定された行列のことを指します。これは確率論や統計学の分野でよく使われます。

非可換確率空間とはどのようなものですか？

非可換確率空間とは、確率変数同士の独立性を持たない確率空間のことを指しており、確率変数の相互作用が考慮される空間です。

源氏香における「誤報」と「正解」の違いは何ですか？

誤報は源氏香の遊びで存在しない香の組み合わせを指し、正解は実際に存在し、選ばれた香の組み合わせを指します。

源氏香のルールにおける「52通り」とは何を意味していますか？

52通りとは、香を5種類ずつ選ぶ場合の総数であり、源氏香の組み合わせの総数を表します。

クラスタリングにおける「分割」とはどのような概念ですか？

分割とは、クラスタリングでデータをいくつかのグループに分けることを指し、各グループ内のデータは類似性が高いとされます。

整数分割における「確率」とはどのように計算されますか？

整数分割の確率は、分割の総数に対する各分割が選ばれる可能性を計算することで求められます。

深層学習における「ニューラルネットワーク」の働きを説明してください。

ニューラルネットワークは、入力データを受け取り、重みと非線形関数を適用して層を通過させ、最終的な出力を生成します。これにより複雑なタスクを学習できます。

確率空間における「市場の台数」とは何を意味していますか？

市場の台数は、確率空間における情報の量を表す単位であり、情報の量を測定する際に用いられます。

ランダム行列における「固有値の分布」とはどのような性質を持ちますか？

ランダム行列の固有値の分布は、行列の固有値がどのように分布しているかを表し、確率論や統計学の分野で重要な役割を果たします。