Término n-ésimo Sucesión - Progresión Geométrica
Summary
TLDREl script del video ofrece una explicación detallada sobre cómo encontrar el término enésimo de una sucesión exponencial o progresión geométrica. El instructor ilustra cómo identificar una progresión geométrica, donde cada término es el resultado de multiplicar el anterior por una constante, llamada razón. Seguidamente, se presenta la fórmula general para calcular cualquier término de esta sucesión: \( a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)} \), donde \( a_1 \) es el primer término y \( r \) es la razón. El video incluye ejemplos prácticos y verifica la fórmula con distintos términos para asegurar que los espectadores comprendan el concepto. Finalmente, el instructor invita a la audiencia a practicar con ejercicios adicionales y a suscribirse al canal para más contenido educativo.
Takeaways
- 🌟 El curso trata sobre sucesiones exponenciales, también conocidas como progresiones geométricas.
- 🔍 Para identificar una progresión geométrica, se observa si los términos se multiplican por una constante, la razón.
- 📚 Se proporciona una fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión geométrica: a_n = a_1 · r^{(n-1)}, donde a_1 es el primer término y r es la razón.
- 📝 El primer término de la progresión geométrica siempre se multiplica por la razón, elevada a la potencia de n-1.
- 👉 Se ejemplifica el proceso de encontrar el término enésimo mediante la multiplicación de potencias de la razón, mostrando cómo se relaciona con el exponente.
- 🔢 Se enfatiza la importancia de comprobar la fórmula con varios términos para asegurar su corrección.
- 📉 Se muestra cómo simplificar la fórmula cuando la base y la razón son iguales, sumando los exponentes.
- 📚 Se da una práctica con diferentes ejemplos para aplicar la fórmula y comprender mejor el concepto.
- 👨🏫 El profesor motiva a los estudiantes a practicar y a suscribirse al canal para obtener más información y ejercicios.
- 🎓 Se invita a los estudiantes a dejar comentarios, compartir el contenido y agradece su tiempo de vista.
Q & A
¿Qué es una sucesión exponencial también conocida como progresión geométrica?
-Una sucesión exponencial o progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante llamada razón.
¿Cómo se identifica si se está trabajando con una progresión geométrica?
-Se identifica una progresión geométrica cuando entre cada par de términos se observa una multiplicación constante, es decir, cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo número.
¿Cuál es el primer paso para encontrar el término enésimo de una progresión geométrica?
-El primer paso es identificar el primer término y la razón de la progresión geométrica, y luego aplicar la fórmula para encontrar el término enésimo.
¿Cómo se representa matemáticamente el término enésimo de una progresión geométrica?
-El término enésimo de una progresión geométrica se representa como 'a_n = a * r^(n-1)', donde 'a' es el primer término, 'r' es la razón y 'n' es el número del término que se busca.
¿Por qué es importante multiplicar el primer término por la razón en la fórmula de la progresión geométrica?
-Es importante porque esta multiplicación refleja la relación exponencial entre los términos de la sucesión, y es la base para encontrar cualquier término en particular en la secuencia.
¿Cómo se puede simplificar la fórmula del término enésimo cuando la base y la razón son el mismo número?
-Cuando la base y la razón son el mismo número, la fórmula se simplifica a 'a_n = a^n', ya que la razón (a) se eleva al exponente (n-1), y al ser iguales, se suman los exponentes.
¿Cómo se verifica si la fórmula del término enésimo de una progresión geométrica es correcta?
-Se verifica sustituyendo el valor de 'n' por 1, 2, 3, etc., en la fórmula y comparando los resultados con los términos correspondientes de la progresión geométrica dada.
¿Qué sucede si en una progresión geométrica la razón es 1?
-Si la razón es 1, todos los términos de la progresión geométrica serán iguales al primer término, ya que cualquier número elevado a cualquier potencia仍然是ese número mismo cuando se multiplica por 1.
¿Cómo se determina si una sucesión no es una progresión geomética?
-Una sucesión no es una progresión geomética si no se cumple la condición de que cada término se obtenga multiplicando el anterior por una constante, es decir, si no hay una razón constante.
¿Por qué es útil aprender a identificar y trabajar con progresiones geométricas?
-Es útil porque las progresiones geométricas son comunes en matemáticas y aplicaciones en la vida real, como en el crecimiento exponencial, la descomposición y en series de pagos, entre otros.
Outlines
📚 Introducción a las sucesiones exponenciales
El primer párrafo presenta el tema del curso, enfocado en las sucesiones exponenciales o progresiones geométricas. Se describe el proceso de identificar una progresión geométrica a través del ejemplo de una sucesión que se multiplica por 2 a cada paso. Se menciona la importancia de la constante multiplicación en lugar de suma, y se introduce la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión geométrica. El instructor propone escribir la sucesión de una forma que resalte la multiplicación y sugiere que la comprensión de esta fórmula es crucial para resolver futuras ejercicios.
🔍 Identificación y fórmula de la progresión geométrica
En el segundo párrafo, se profundiza en la identificación de una progresión geométrica y se explica cómo se relaciona el exponente con el término enésimo. Se ilustra cómo cada término es un múltiplo del primer término (en este caso, 3) por un factor de 2 elevado a un exponente que corresponde a n-1, donde n es la posición del término en la sucesión. Se proporciona una fórmula general para encontrar el término enésimo y se enfatiza la importancia de verificar la fórmula con ejemplos específicos de la sucesión.
📘 Ejemplos y práctica con progresiones geométricas
Este tercer párrafo ofrece más ejemplos y práctica con progresiones geométricas. Se presentan distintas sucesiones y se pide al espectador que identifique si son geométricas y que aplique la fórmula para encontrar el término enésimo. Se discuten casos específicos, como cuando la razón y el primer término son el mismo, lo que simplifica la fórmula. Se enfatiza la importancia de la comprensión y la práctica para dominar el concepto de progresiones geométricas.
🎓 Conclusión y ejercicios para la práctica
El último párrafo concluye la explicación de las progresiones geométricas y presenta un desafío para que el espectador practique lo aprendido. Se sugiere pausar el video para realizar los ejercicios y se anima a los espectadores a suscribirse y a interactuar con el canal si encuentran el contenido útil. Se menciona que, aunque se han cubierto las progresiones geométricas, hay otros tipos de sucesiones que también son importantes y se invita a la audiencia a explorar más al respecto.
Mindmap
Keywords
💡Sucesiones
💡Sucesiones exponenciales
💡Progresión geométrica
💡Término enésimo
💡Razón
💡Exponente
💡Fórmula
💡Multiplicación
💡Potencia
💡Comprobación
Highlights
Bienvenida al curso de sucesiones exponenciales, también conocidas como progresiones geométricas.
Explicación de cómo identificar una progresión geométrica por la multiplicación constante entre términos consecutivos.
Ejemplo práctico de una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por 2.
Introducción a la fórmula para encontrar el término enésimo de una progresión geométrica.
Demostración de la fórmula aplicando la multiplicación sucesiva de la base y la razón.
Clarificación de que en una progresión geomética, la razón puede ser cualquier número, incluyendo fracciones y números negativos.
Procedimiento para escribir una sucesión de forma alternativa para facilitar la comprensión de la fórmula.
Importancia de entender que en una progresión geomética, todos los términos tienen la misma base.
Explicación de cómo el exponente en cada término de la sucesión corresponde al ordinal del término menos uno.
Fórmula general para la sucesión geométrica: primer término multiplicado por la razón elevada a la n-1.
Verificación de la fórmula mediante reemplazo de variables para obtener términos específicos de la sucesión.
Ejemplo de cómo simplificar la fórmula cuando la base y la razón son iguales, sumando los exponentes.
Practicar la aplicación de la fórmula con diferentes sucesiones geométricas y razones.
Ejercicios adicionales para que los estudiantes puedan aplicar y practicar los conceptos aprendidos.
Agradecimiento y promoción del canal, invitando a suscribirse y activar la notificación para no perderse futuros contenidos.
Desarrollo de habilidades para resolver diferentes tipos de sucesiones, no solo geométricas.
Conclusión del curso con una invitación a explorar más contenido y a practicar con ejercicios adicionales.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de sucesiones y
ahora veremos cómo encontrar el término
enésimo de una sucesión exponencial
también llamada progresión geométrica
[Música]
cómo
i
y en este vídeo vamos a ver varios
ejemplos de sucesiones de este tipo si
no han visto los otros vídeos los invito
a que los miren en cada vídeo estamos
viendo cómo encontrar el término enésimo
de todos los tipos más conocidos de
sucesiones bueno en este caso vamos a
hablar de las sucesiones exponenciales
también llamadas progresiones
geométricas primero que todo cómo se
identifica que estamos haciendo un
ejercicio de progresión geométrica en
este caso lo que sucede es lo siguiente
miren que entre el 3 y el 6 para que el
3 se convierta en 6 se multiplica por 2
en este caso del 6 al 12 también estamos
multiplicando por 2 del 12 el 24 12 por
2 24 del 24 al 48 48 por 2 perdón 24 por
2 48 y así sucesivamente miren que en
este caso la diferencia de los vídeos
anteriores no se suma si no se está
multiplicando cada vez el mismo número
no importa cuál número sea en este caso
era el 2
es el 5 el 10 puede ser una fracción
puede ser un número negativo no importa
lo importante es que siempre de un
término del término anterior para
conseguir el siguiente estamos
multiplicando listos entonces primero
que todo aquí vemos que estamos
multiplicando por 2 voy a escribir esta
sucesión de otra forma para explicarles
de dónde es que sale la fórmula bueno
hay una fórmula que me permite encontrar
el término enésimo de cualquier
progresión geométrica o sucesión
exponencial entonces pues la idea es que
sepamos de dónde es que sale la fórmula
bueno entonces miren que aquí pues aquí
es como si dijera 3 por 1
ese va a ser el primer término si esto
es para explicarles la fórmula ya en los
siguientes ejercicios no vamos a
explicar todo sino simplemente vamos a
aplicar la fórmula bueno entonces el
segundo número seis ese de que resultó
del término anterior multiplicarlo por
dos o sea este 3 lo multiplicamos por 2
o sea tres por dos y tres por uno por
dos y tres por uno que era tres y ese
tres por dos y miren que aquí esto estoy
escribiendo de otra forma no el primer
término 3 se puede escribir como 3 por 1
el segundo término 6 que se puede
escribir como 3 por 2 porque 3 por 2 es
6 el tercer término ese término es igual
miren qué dice el número 12 no el 12 es
igual a 6 por 2 voy a escribirlo aquí 6
por 2 pero miren que el 6 era igual a 3
por 2 o sea aquí en lugar del 6 escribo
3 por 2 y eso por 2 sí bueno es una
explicación muy larga pero la idea es
que comprendamos de dónde sale esto
miren que el 12 lo puedo escribir como 3
por 2 por 2 o sea miren que este 2 y
este 2 si para que nos dé 12 el 12 es
dos por dos por tres si obviamente 3 por
2 6 por 2 12 este 2 por 2 lo podemos
escribir como 2 al cuadrado entonces
miren que aquí vivían 3 por el 2 al
cuadrado para el siguiente término que
es el número 24 hacemos exactamente lo
mismo no el 24 lo podemos escribir
dos por dos por dos por tres obviamente
miren que si multiplicamos todo esto me
da 24 mil 2 por 2 4 por 2 8 y 8 por 3 24
pero no lo escribe como tres por dos por
dos por dos si no voy a escribirlo como
tres por y el 2 x 1 2 y 3 veces o sea
sería 2 al cubo espero que ya se estén
dando cuenta que sucede y por último el
cuarto término que sería el 48 que ya
sería el resultado de todo esto no sé
hacer y a 3 bueno que era 2 al cubo
sería 3 por 2 elevado a la 1 2 3 y 4 así
porque 3 por 2 6 6 por 2 12 12 por 2 24
y 24 por 248 aquí terminamos colocando
pues la coma y los puntos sus precios
simplemente lo que hice fue escribir la
sucesión de otra forma para que veamos
qué es lo que sucede con estas
sucesiones en lo que sucede con estas
sucesiones pero ahora miren que todos
los términos de esta sucesión son igual
al número 3 el 3 el 3 el 3 sí o sea
todos los términos tienen el número 3 y
van a ser 3 x algo en este caso porque
sería multiplicado miren que todos bueno
este 1 lo voy a escribir como para
aclarar un poquito lo voy a escribir
como todos elevado a la cero si porque
acuérdense que cualquiera de base con
exponente 0 es 1 no sea aquí dice 3 por
1 pero después el 1 lo escribí como dos
a la 0 como para que veamos aquí aquí
dice 2 a la 1 si entonces miren que en
el primer término dice 2 elevado a la
en el segundo también dice dos en el
tercero dos en el cuarto dos en el
quinto dos pero cuál sería el exponente
de cada término miren que para el primer
término miren que lo único que cambia en
todos los términos es el exponente para
el primer término el exponente fue cero
para el segundo término el exponente fue
uno para el tercer término el exponente
fue dos para el cuarto término el
exponente fue tres y para el quinto
término el exponente fue 4 osea que
miren que cuál es el exponente es el
valor de n si pero restándole 1 si miren
que para el primero pues sería 1 menos
10 para el segundo sería 2 menos 11 para
el tercero a ese 3 los estamos unos
dados y entonces esta es la forma
general de esta sucesión ahora para
encontrar una que es lo que sucede
siempre miren que el 3 es el primer
término entonces lo vamos a escribir de
la siguiente forma aquí como un resumen
para ver qué es lo que vamos a hacer con
cualquier sucesión geométrica o
progresión geométrica verdad
la que es la es el primer término
entonces aquí el primer término cuál era
el 3 siempre ese 3 se multiplica
entonces vamos a dejarlo como una
fórmula la que es el primer término de
cualquier sucesión x esto que es la
razón
o le el número que se multiplica en este
caso se escribe como r que es la razón
simplemente porque esos son las letras
que se utilizan generalmente por la
razón y siempre va a estar elevada a la
n menos 1 entonces ya vamos a practicar
con esta fórmula está encontrando el
término enésimo de cualquier sucesión de
este tipo no sucesiones exponenciales o
también llamadas progresiones
geométricas entonces siempre se hace el
primer término multiplicado por la razón
miren que aquí el primer término era 3
multiplicado por la razón que es este
número del número que siempre se
multiplica multiplicado por la razón y
siempre va a estar elevado a la n 1
porque ya lo observamos pero bueno ya
encontramos el término enésimo de esta
sucesión entonces vamos a comprobarlo
porque siempre la idea es que
verifiquemos sí si nos quedó bien
entonces este es el primer término
segundo tercero cuarto y quinto ya
sabemos que si reemplazamos la n con el
número uno en el término n decimos nos
va a dar tres si reemplazamos con el dos
nos va a dar seis si reemplazamos con el
tres tiene que dar doce y así
sucesivamente vamos a comprobarlo para
comprobarlo pues verificamos con
cualquiera yo voy a escoger por ejemplo
bueno primero el primer término voy a
verificar a reemplazar la n con uno en
mi término enésimo y ya sé que tiene que
dar el primer término de la sucesión que
es 3
entonces si reemplazamos aquí nos
quedaría 3 por 2
solamente se cambia la n que en este
caso lo voy a cambiar por el número 1
entonces aquí diría de una vez hago esta
operación si aquí diría 1 menos uno que
eso es
y hacemos las operaciones cuidado porque
siempre que haya potencia y
multiplicación no se hace la
multiplicación hasta que se haga la
potencia o sea primero se tiene que
resolver la potencia acuérdense que no
puedo multiplicar 3 por 2 6 porque aquí
primero tengo que elevar entonces
siempre que dejaremos ese número ahí
multiplicado y resolvemos la potencia 2
elevado a la cero es 1 y 3 por 1 es
efectivamente 3 pero como siempre les
aconsejo es mejor comprobarlo con varios
números entonces voy a comprobarlo por
ejemplo con el tercer término voy a
reemplazar la n con 3 y ya se sabe que
tiene que el resultado al reemplazar con
3 darme como resultado 12 puede
reemplazar con 3 entonces aquí diría 3
por 2 elevado a la n 1 estoy
reemplazando a la n con 3 o que sea aquí
sería 3 - 1 s 3 menos uno es 2
resolvemos las operaciones primero la
potencia entonces aquí nos quedaría 3
por 2 al cuadrado que es 2 por 2 4 y 3
por 4 es 12 o sea que es correcto y por
último vamos a comprobar con otro
término por ejemplo con el cuarto
entonces
el cuarto término de la sucesión y ya se
sabe que me tiene que dar el número 24
entonces el cuarto término como ustedes
se dan cuenta miren que lo que estamos
haciendo fue lo que les expliqué al
comienzo el 3 por 2 elevado a la tantas
no entonces aquí sería 3 por 2 elevado a
la n 1 estoy reemplazando la n con 44
menos 1 es 3 primero la potencia
entonces aquí nos quedaría 3 por 2 al
cubo 2 por 2 4 por 2 8 y 3 por 8 es
efectivamente 24 entonces ya ahí sí
quedó verificado que este sí es el
término n décimo de nuesta sucesión aquí
les deje la formulita que vamos a
utilizar siempre que sea una sucesión
exponencial también llamada progresión
geométrica pero bueno vamos a practicar
ahora con otros ejercicios ya si ustedes
quieren pueden pausar el vídeo tomar
estos ejercicios que siguen como una
práctica para que mejor dicho vuelen en
este tema y lean pausa y le dan play
cuando termine su ejercicio entonces
aquí primero verificar si si es una
sucesión
exponencial perdón o progresión
geométrica en este caso miren que el 2
por 2 de 44 por 2 de 8 8 por 2 16 y 16
por 2 32 siempre se estaba duplicando
vuelvo a decirles no siempre se
multiplica por 2 ya vamos a ver más
ejemplos no entonces aquí ya que
conocemos este numerito de aquí es la
razón la razón es el número 2 porque se
está multiplicando siempre por 2 y
acordémonos que este numerito se llama a
el primer término es a entonces lo único
que hacemos es reemplazar en la fórmula
siempre es así entonces qué es lo que me
dice la formulita para el término
enésimo a que es el primer término en
este caso es 2 siempre multiplicado por
la razón que en este caso también es 2 y
eso siempre este número la razón siempre
va elevada a la n menos 1 como siempre
al final la recomendación es que
verifiquemos no este es el término
enésimo entonces aquí tenemos primer
término segundo
tercero cuarto y quinto si miren que
incluso aquí se veía este término era
igual
este número es igual a 2 por 2 por 2 x 2
por 2 que es esto si algo que les quiero
aclarar aquí esto es correcto la
respuesta sería 2 por 2 elevado a la n
menos 1 pero los que quieren practicar
un poquito más miren que aquí en este
caso es en este caso porque los dos
números son iguales miren que en este
caso aquí dice 2 elevado a la 1 por 2
elevado al adn menos 1
acordémonos que cuando multiplicamos
potencias con bases iguales por ejemplo
cuando tenemos 5 al cubo por 5 a la 4
acordémonos que como son potencias con
bases iguales queda la base y se suman
los exponentes 347 si esto como para
simplificar un poquito la respuesta
cuando estos dos números sean iguales
entonces el término enésimo es este y
está correcto pero lo podríamos
simplificar escribiendo lo de la
siguiente forma vienen que son bases
iguales entonces queda la misma base y
se suman los exponentes al número uno le
sumamos el otro exponente que es n
-1 miren que aquí lo que sucede es que
hay términos semejantes está la n solita
pero además dice uno menos 111 es 0 o
sea el exponente sería n entonces
podemos decir que este es el término
enésimo pero como es igual a éste pues
entonces digámoslo así que es un poquito
más correcto escribir esta respuesta no
este es el término enésimo que es lo
mismo cualquiera de las dos es una
respuesta válida y lo podemos verificar
con cualquiera de los dos por ejemplo
voy a verificar con el segundo término
con el segundo término que ya se sabe
que es el número cuatro o sea así
reemplazo la n con dos me tiene que
quedar 4 miren que aquí bueno aquí es
más larga la comprobación que aquí
porque miren que voy a reemplazar con el
número 2 aquí sería simplemente 2 al
cuadrado 2 a la 2 2 al cuadrado es 4
pero aquí también lo podemos verificar
bueno este 1 ya lo quito porque era para
explicar esto si reemplazamos con el
número 2 en este que también sirve como
término enésimo nos quedaría 2 x 2
elevado a la n-1 estoy remplazando con
el número 22 menos 11 s 1 nos escribe y
nos da 2 por 24 miren que cualquiera de
los dos sirve como terminó en ese y
bueno ya ustedes comprobarían con otros
términos de la sucesión la idea es que
comprueben con los tres terminando en
este caso había dos respuestas las dos
son iguales de válidas si ustedes en una
evaluación escriben esto o escriben esto
eso es correcto y vamos a seguir
practicando entonces aquí tenemos otro
ejercicio lo mismo primero hay que mirar
si es geométrica en este caso miren que
1 por 3 a 3 y si multiplicamos aquí por
3 3 x 39 y 9 por 3 da 27 y 27 por 381
entonces aquí miren que siempre se está
multiplicando el mismo número
ya sabemos que está es
razón y también nos importa el primer
término que es pues la entonces
simplemente escribimos la formulita o
más bien reemplazamos en la fórmula
entonces siempre es el primer término
multiplicado por la razón el primer
término que es el número uno
multiplicado por la razón que es el
número tres y esa razón va a elevada a
la n menos uno en este caso qué sucede
que vienen que dice uno por tres bueno
no importa lo que sea 1 x lo que sea
pues de eso mismo entonces en este caso
el 1 no se escribe no 1 por 5 251 por 20
de 20 y 1 por 3 elevado al adn menos 1
pues da 3 elevado a laverni menos 1
entonces aquí ya tenemos nuestro término
enésimo de esta sucesión ya ustedes
simplemente sería verificarlo no lo voy
a verificar porque pues ya ustedes lo
saben hacer eso ya se lo dejo para que
ustedes lo practiquen con esto termina
mi explicación como siempre por último
les voy a dejar un ejercicio para que
ustedes practiquen ya saben que pueden
pausar el vídeo ustedes van a encontrar
el término enésimo de estas tres
sucesiones van a practicar lo que vimos
en el vídeo y la respuesta va a aparecer
3
2 espera un momento si llegaste hasta
esta parte del vídeo supongo que fue
porque te gustó te sirvió porque
aprendiste algo nuevo porque el profesor
explica muy bien bueno por alguna de
estas razones y si es así te invito a
que apoyes mi canal suscribiéndote y
dándole laica al vídeo
hallaba agua like
bueno ahora sí te dejo para que observes
de la respuesta bueno espero que no se
hayan equivocado pero les dije aquí un
ejercicio como para que practiquemos lo
visto en vídeos anteriores no no todas
las sucesiones el hecho de que estemos
viendo sucesiones geométricas de
exponenciales o progresiones geométricas
no quiere decir que todos los ejercicios
se van a resolver así no ya vimos en los
vídeos anteriores todos los diferentes
tipos de sucesiones que hay no bueno
todos no pero los más usados primero
aquí si es una sucesión exponencial la
progresión geométrica porque porque
estamos multiplicando siempre 3 ya
facilísimo siempre es 2 x 3
estos 2 2 por 3 y a la razón le
colocamos el exponente n - 1 siempre
aquí también era geométrica la
progresión geométrica porque se está
multiplicando por cinco siempre sencillo
son estos dos números 3 por 5 y a la
razón le elevamos elevado
al aire menos 1 esta no era una
progresión geométrica era una progresión
aritmética que es en la que se suma y
pues esto ya lo vimos cómo se suma 3
entonces
x n y no se le agrega nada más porque si
multiplicamos 3 por 1 de a 3 que ya es
el primer término
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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