Ecuaciones diferenciales | Introducción
Summary
TLDREste script de video ofrece una introducción al curso de ecuaciones diferenciales, explicando qué son y cómo reconocerlas. Se mencionan las variables independientes y dependientes, y se enfatiza la importancia de las derivadas en su definición. El video también contrasta ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales, y se menciona la necesidad de encontrar una función que satisfaga una ecuación diferencial en lugar de un valor específico. Se invita a los espectadores a ver más contenido del curso para comprender mejor cómo verificar soluciones y explorar diferentes tipos de soluciones.
Takeaways
- 😀 Un curso de ecuaciones diferenciales se presenta, enfocado en enseñar sobre este tipo de ecuaciones matemáticas.
- 🔍 La definición de una ecuación diferencial se centra en que es una ecuación que incluye derivadas de una o más funciones.
- 📚 Se menciona que las ecuaciones diferenciales son reconocidas por tener variables y derivadas dentro de la misma.
- 📝 Se da un ejemplo de cómo escribir funciones, usualmente con una letra como 'x' o 't', y cómo se representan sus derivadas.
- 👉 Se destaca que resolver una ecuación diferencial implica encontrar una función que satisfaga la ecuación, en lugar de un valor numérico como en ecuaciones algebraicas.
- 🧐 Se describe el proceso de verificar si una función es solución de una ecuación diferencial, a través de la sustitución y comparación.
- 📉 Se introduce la idea de las ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales involucran derivadas con respecto a una sola variable independiente.
- 📈 También se mencionan las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que incluyen derivadas parciales con respecto a múltiples variables independientes.
- 📚 Se enfatiza la importancia de entender las diferencias entre ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales.
- 👨🏫 El guión invita a los espectadores a seguir aprendiendo sobre ecuaciones diferenciales a través de futuras lecciones y videos.
- 👋 El guión termina con un mensaje de despedida y animación a suscribirse, comentar, compartir y dar like al video.
Q & A
¿Qué es una ecuación diferencial y cómo se reconoce?
-Una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función con sus derivadas. Se reconoce por tener una o más derivadas de una función dentro de la ecuación, generalmente escritas como 'f'(x)', 'f''(x)', etc., donde 'f' representa la función y 'x' es la variable independiente.
¿Cómo se diferencia una ecuación de una ecuación diferencial?
-Una ecuación diferencial siempre incluirá derivadas de una función, mientras que una ecuación en general puede no tener derivadas. Por ejemplo, 5x = 7 es una ecuación, pero no es una ecuación diferencial porque no incluye derivadas.
¿Cuál es la diferencia entre las variables independientes y las variables dependientes en una ecuación diferencial?
-Las variables independientes son las que no están definidas en términos de otras variables en la ecuación, como 'x' o 't'. Las variables dependientes, por otro lado, son funciones de las variables independientes y suelen aparecer junto con sus derivadas en la ecuación diferencial.
¿Cómo se escribe la derivada de una función en matemáticas?
-La derivada de una función se escribe como la función seguida de una coma, por ejemplo, 'f(x)' se convierte en 'f'(x)' o 'dy/dx' si 'y' es la función dependiente y 'x' es la independiente.
¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria y cómo se identifica?
-Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que contiene derivadas con respecto a una sola variable independiente. Se identifica porque todas las derivadas en la ecuación son de la misma variable, como 'f'(x)', 'f''(x)', etc.
¿Qué son las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y cómo se diferencian de las ordinarias?
-Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales son aquellas que contienen derivadas parciales con respecto a más de una variable independiente. Se diferencian de las ecuaciones diferenciales ordinarias porque incluyen derivadas con respecto a múltiples variables, como '∂²z/∂x∂y'.
¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial?
-Para resolver una ecuación diferencial, se busca encontrar una función que satisfaga la ecuación. Esto implica reemplazar la función propuesta en la ecuación y verificar si las derivadas calculadas coinciden con las del lado derecho de la ecuación.
¿Cómo se verifica si una función es una solución de una ecuación diferencial?
-Para verificar si una función es una solución de una ecuación diferencial, se calcula la derivada de la función y se compara con el lado derecho de la ecuación. Si ambas partes son iguales, entonces la función es una solución.
¿Cuáles son algunos ejemplos de variables independientes comunes en ecuaciones diferenciales?
-Algunas variables independientes comunes en ecuaciones diferenciales incluyen 'x', 't', 'u', 'v', y 'y'. Estas variables generalmente representan el tiempo o una medida de longitud o distancia en diferentes contextos.
¿Por qué es importante la derivada en la resolución de ecuaciones diferenciales?
-La derivada es crucial en la resolución de ecuaciones diferenciales porque describe cómo cambia una función con respecto a su variable independiente. Conocer las derivadas es esencial para encontrar la función que satisface la ecuación diferencial dada.
Outlines
😀 Introducción a las ecuaciones diferenciales
El primer párrafo introduce el curso de ecuaciones diferenciales y comienza explicando lo que es una ecuación diferencial. Se menciona que una ecuación diferencial es una expresión matemática que relaciona una función con sus derivadas. Se destaca que estas ecuaciones suelen incluir variables como x, t, u, v, y que las derivadas se representan con una letra sobrescrita y una coma. Además, se ofrece un ejemplo de cómo se reconoce una ecuación diferencial y cómo se diferencia de una ecuación común.
😉 Reconociendo y resolviendo ecuaciones diferenciales
Este párrafo continúa la explicación sobre ecuaciones diferenciales y cómo reconocerlas. Se presentan ejemplos de ecuaciones para ilustrar cuáles son y cuáles no son ecuaciones diferenciales. Además, se discute la idea de resolver una ecuación diferencial, lo cual implica encontrar una función que satisfaga la ecuación en lugar de encontrar un valor específico para una variable. Se utiliza un ejemplo para demostrar cómo verificar si una función es una solución a una ecuación diferencial, y se menciona que se profundizará en el proceso de verificación en un video subsiguiente.
🎓 Clasificación de ecuaciones diferenciales
El tercer párrafo se enfoca en la clasificación de las ecuaciones diferenciales. Se diferencia entre ecuaciones diferenciales ordinarias, que contienen derivadas con respecto a una sola variable independiente, y ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, que incluyen derivadas parciales con respecto a más de una variable independiente. Se proporcionan ejemplos de ambos tipos de ecuaciones y se invita al espectador a ver el siguiente video para aprender cómo verificar soluciones de ecuaciones diferenciales y para obtener más información sobre diferentes tipos de soluciones.
Mindmap
Keywords
💡Ecuación diferencial
💡Variable dependiente
💡Variable independiente
💡Derivada
💡Función
💡Ecuación
💡Resolución de ecuaciones
💡Ecuación diferencial ordinaria
💡Ecuación diferencial en derivadas parciales
💡Solución de ecuaciones
Highlights
Bienvenida al curso de ecuaciones diferenciales.
Definición de una ecuación diferencial y su reconocimiento.
Importancia de las variables y derivadas en las ecuaciones diferenciales.
Ejemplo de cómo no todas las ecuaciones son diferenciales.
Funciones y sus representaciones comunes en matemáticas.
Explicación de la equivalencia entre notación de funciones y variables.
Introducción a las derivadas y su representación algebraica.
Cómo identificar una ecuación diferencial por la presencia de derivadas.
Diferenciación entre ecuaciones de primer grado y ecuaciones diferenciales.
Proceso de resolver una ecuación diferencial en comparación con ecuaciones sencillas.
Ejemplo práctico de cómo verificar si una función es solución de una ecuación diferencial.
Concepto de ecuación diferencial ordinaria y sus características.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Introducción a las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
Diferencia entre derivadas parciales y totales en ecuaciones diferenciales.
Invitación a los espectadores a seguir el curso para un aprendizaje más profundo.
Espera de que los espectadores tengan éxito en tareas o evaluaciones relacionadas con el tema.
Transcripts
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de ecuaciones
diferenciales y ahora veremos una
pequeña introducción a este curso
i
i
[Música]
y obviamente lo primero de lo que
tenemos que hablar en este curso pues es
de que es una ecuación diferencial que
es lo primero que tenemos que ir
reconociendo una ecuación diferencial
obviamente primero que todo es una
ecuación acordémonos que una ecuación es
una expresión en la que hay un igual por
ejemplo si tenemos 5x igual a 7 esto es
una ecuación no es una ecuación
diferencial pero es una ecuación porque
porque todas las ecuaciones tienen el
signo igual y tienen variables o sea
tienen letras al igual que la ecuación
diferencial entonces es una ecuación que
relaciona una función o sea dentro de
esa ecuación diferencial bueno ésta no
es diferencial pero dentro de la
ecuación diferencial vamos a encontrar
funciones que la función es la variable
dependiente además vamos a encontrar su
variable o sea las letras ya les voy a
hacer un ejemplo o variables porque
acordémonos que se puede trabajar con
una o varias variables que son las
variables independientes y además lo más
clave de todo es que obviamente en la
ecuación diferencial tenemos que
encontrar sus derivadas
es la clave para reconocer más que todo
una ecuación diferencial que vamos a
encontrar en algún lado derivadas
vamos a verlo aquí con ejemplos entonces
ya sabemos que una ecuación diferencial
relaciona la función con la variable y
con las derivadas como se reconocen las
funciones en matemáticas pues la forma
más típica de escribir una función es
así
efe de equis o fdp cuando trabajamos
generalmente con el tiempo o efe de
alguna letra generalmente las más usadas
son la x la t la uv y la v o sea
encontraríamos f
efe dv o también puede cambiar la letra
no por ejemplo puede ser otra función la
función g de x xi pero generalmente lo
más usado es esto además acordémonos que
fx es lo mismo que decir que si entonces
si ustedes se encuentran en una función
fx igual a algo ustedes pueden
fácilmente borrar fx y en lugar de fx
escribir y no hay problema porque pues
obviamente esto es igual no entonces
se reconoce una función cuáles son las
variables como miren que aquí dice fx
pues aquí nos está diciendo que la
variable va a hacer la letra x o por
ejemplo aquí nos dice efe dt esto quiere
decir que la variable en esa función va
a ser la letra t aquí como dice gx tiene
la misma variable la variable x y
generalmente cuando encontramos la letra
i generalmente lo más probable en 99% de
las veces está con la variable x aunque
podemos encontrarla con otras variables
generalmente de vuelvo a decirles cuando
encontramos las es la equis pero ustedes
pueden encontrar también otras letras lo
más probable es que sea la equis ahora
también vamos a encontrar sus derivadas
entonces como se escribiría la derivada
de esta función acordémonos que se
escribe esta misma función pero con una
comida en la parte superior
esta es la derivada de esa función
obviamente aquí escribiríamos efe dt
pero derivada lo mismo aquí que derivada
con una comida o la aie cuando derivamos
las acordémonos
y derivada otra forma de describir la
derivada por ejemplo fx es lo mismo que
si escribimos derivada de y con respecto
a x sí o esto es lo mismo no como fx es
lo mismo que y entonces también al igual
la derivada de fx o la derivada de ella
es lo mismo que si decimos derivada de y
con respecto a x entonces si en una
función encontramos o más bien si en una
ecuación encontramos todas estas
características ya sabemos que nos
enfrentamos a una ecuación diferencial
lo más la forma más fácil de verla es
que en algún lugar va a aparecer esto la
derivada si si no aparece la derivada
obviamente también puede aparecer la
segunda derivada a la tercera o la
cuarta derivada por ejemplo puede
aparecer en algún lugar de la ecuación
la segunda derivada o por ejemplo la
tercera derivada que se designa con tres
comillas no en la definición de ecuación
diferencial generalmente los libros la
dan
de esta forma así es una ecuación en la
que vamos a encontrar las variables las
funciones y cualquier derivada en la
primera derivada o la segunda derivada o
tercera o cuarta o quinta hasta
cualquier tipo de derivada la derivada n
si esto es una n
y ahora vamos a ver algunas ecuaciones
para que aprendamos a reconocer cuáles
son y cuáles no son ecuaciones
diferenciales como les decía lo más
básico para saber qué es una ecuación
diferencial pues primero es ver que sea
ecuación o sea que esté el signo igual
todas estas son ecuaciones porque tienen
el signo igual y obviamente además
tienen letras pero además deben
encontrarse en algún lado de la ecuación
alguna forma de escribir la derivada
entonces esta es una ecuación
diferencial porque es una ecuación en la
que encontramos una derivada aquí es una
ecuación diferencial en la que
encontramos también una derivada aquí
otra ecuación diferencial porque dice
una ecuación
esta es una diferencial pero ya esto
quiere decir la segunda derivada no se
puede escribir con el número dos aquí
arriba o con dos comidas como incluye
alguna derivada entonces esta es una
ecuación diferencial esta no es una
ecuación diferencial porque porque es
una ecuación pero en ningún lado está
escrita la derivada de una función
entonces ésta no es
una ecuación diferencial y esta sí es
una ecuación diferencial porque
relaciona la función con la derivada
incluso con la segunda derivada ahora
vamos a hablar de otra cosita que nos
interesa mucho que es resolver una
ecuación diferencial que es resolver una
ecuación diferencial bueno antes de
hablar de esto les voy a recordar por
ejemplo si yo quiero resolver una
ecuación por ejemplo x + 3 igual a 5 que
es resolver esta ecuación resolver esta
ecuación es encontrar un valor para la x
que haga que esto sea verdad sí que esto
que está escrito sea verdad por ejemplo
yo puedo decir que una respuesta o la
respuesta más bien de esta ecuación es
que la x es igual a 2 y porque esa es
una respuesta de la ecuación pues porque
esto satisface esta ecuación o sea yo
estoy diciendo que si reemplazo la x con
el número 2 esto va a ser correcto
entonces como hace uno para verificar si
sí está bien resuelta la ecuación pues
simplemente verificando que esto es
verdad yo estoy diciendo que si la x
vale 2 esto es verdad pues reemplazo la
x con él
aquí nos quedaría 23 igual a 523 es 5
que eso es obviamente igual a 5 entonces
estamos viendo que esta si es la
respuesta de esta ecuación pero
obviamente estas eran ecuaciones
sencillas que son ecuaciones de primer
grado pero en las ecuaciones
diferenciales ya no vamos a encontrar el
valor de una letra sino lo que vamos a
hacer es encontrar una función que
satisfaga dicha ecuación entonces vamos
a realizar un ejemplo de cómo mirar si
una solución si es solución de una
ecuación diferencial aquí tenemos una
ecuación diferencial que como se
reconoce pues porque tiene la derivada
acordémonos que esto se puede escribir
más fácilmente como acordemos que fx es
lo mismo que llegue entonces voy a
escribirlo como jay derivada es igual a
3 y sobre x entonces esta es una
ecuación diferencial y esta es
exactamente la misma ecuación supongamos
que ya resolvimos la ecuación que
obviamente eso lo vamos a ver en los
siguientes vídeos cómo resolver una
ecuación diferencial supongamos que ya
la resolvimos y el resultado medio que
era igual a x al cubo entonces cómo
hacemos para saber si esto sí es la
solución de esta ecuación diferencial
pues tenemos que mirar si esto si
satisface esta ecuación como lo haríamos
al igual que con lo de la x lo haríamos
reemplazando en esta respuesta acá pero
miren que aquí nos dice bueno esta es la
función que yo estoy diciendo que es
respuesta de esta ecuación pero entonces
como haríamos para verificarlo aquí dice
que derivada entonces aquí tengo que
escribir la derivada de la función que
yo estoy diciendo que es la respuesta
bueno este es un ejemplo cortico a esto
me voy les voy a explicar más
detenidamente esto de cómo verificar una
ecuación diferencial en el siguiente
vídeo donde voy a hacer la segunda parte
de la introducción entonces aquí
rápidamente como yo quiero reemplazar
aquí
con la función que dije que es la
solución aquí dice derivada esto es
entonces cómo hago para encontrar la
derivada pues hay una derivada entonces
ye derivada sería igual a derivar esto
acordémonos cuál es la derivada a la
derivada de x al cubo es bajar el
exponente y restarle 1 entonces si
reemplazamos en esta ecuación con lo que
tenemos acá nos quedaría de la siguiente
forma ya derivada que es la ya derivada
la derivada es 3x al cuadrado entonces
aquí reemplazo 3 x al cuadrado es igual
si bien miren que estamos reemplazando
aquí dice 3 por ye o sea 3 x pero la que
es la función o sea la que es x al cubo
dividido entre x entonces si al hacer
esta operación me da esto o sea si me da
una igualdad verdadera es porque está si
era la solución de esta ecuación aquí
pues lo fácil es eliminar una x con una
de las tres que están arriba entonces
aquí nos queda 3 x al cuadrado igual y
aquí nos quedaría 3
y al eliminar una de las equis con esta
de abajo nos queda x al cuadrado como
nos dio 3 x al cuadrado igual a 3 x al
cuadrado quiere decir que esta sí es la
solución de esta ecuación porque porque
esta es una función que satisface esta
ecuación diferencial y por último vamos
a hablar de una de las clasificaciones
de las ecuaciones diferenciales las
ecuaciones diferenciales con respecto al
número de variables que están derivadas
dentro de esa ecuación se diferencian
entre ecuación diferencial ordinaria que
generalmente en los libros ya o uno ya
se acostumbra a escribir eso sí para no
escribir ecuación diferencial ordinaria
y que es una ecuación diferencial
ordinaria es una ecuación que contiene
derivadas respecto a una sola variable
independiente o sea contiene derivadas
con respecto a una sola letra y aquí
tenemos algunos ejemplos de ecuaciones
diferenciales ordinarias bueno espero
que no estén muy
muy desordenado aquí tenemos una
ecuación diferencial ordinaria porque
aquí la derivada está solamente con
respecto a x no hay más aquí tenemos la
derivada que generalmente como les decía
esto es derivada de con respecto a x lo
mismo aquí tenemos solamente derivadas
de la función ya que generalmente es con
respecto a x aquí bueno algo que me voy
a cortar escribiendo aquí es que una de
las ecuaciones diferenciales yo les
escribí el cuadrado acá pero no el
cuadrado acá pues cuidado porque creo
que lo escribí mal debió haberle escrito
el cuadrado aquí a la equis no el
cuadrado no porque quiere decir segunda
derivada no entonces aquí está la
segunda derivada con respecto a x aquí
está la primera derivada con respecto a
xy aquí está la y pues que es la función
no entonces como contiene derivadas
solamente con respecto a una sola
variable estas son las ecuaciones
diferenciales ordinarias que es
obviamente lo que vamos a ver en la
primera parte del curso y el otro tipo
de ecuaciones diferenciales son las
ecuaciones diferenciales en derivadas
que se describe de esta forma de
ecuación diferenciales parciales y son
las ecuaciones que contienen derivadas
parciales por eso se llaman parciales de
una o más variables independientes y
aquí les escribí dos ejemplos de
ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales que son estas como se
reconocen y miren las diferencias en
este caso miren que esta derivada está
con respecto a t y luego tenemos otra
derivada con respecto a x entonces aquí
ya se ve que son derivadas parciales una
con respecto a una letra oa una variable
y la otra con respecto a otra variable
aquí tenemos la segunda derivada de z
con respecto a x y aquí tenemos la
segunda derivada de z con respecto a y
entonces tenemos con respecto a dos
variables por eso esta es una ecuación
diferencial o son dos ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales
como les decía los invito a ver el
siguiente vídeo para que veamos cómo
saber si una solución si es solución de
una ecuación diferencial para ya entrar
en forma a ver los diferentes tipos de
solución de ecuaciones diferenciales en
este caso no les voy a dejar ejercicio
de práctica porque eso lo vamos a ver en
esos siguientes vídeos de los que les
hablo
bueno amigos espero que les haya gustado
la clase si les gusto los invito a que
vean el curso completo para que
profundicen un poco más sobre este tema
o algunos vídeos recomendados y si están
aquí por alguna tarea o evaluación
espero que les vaya muy bien los invito
a que se suscriban comenten compartan y
le den laical vídeo y no siendo más bye
bye
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