Subset Sum and Partition are NP-complete - Complexity Theory - Design and Analysis of Algorithms

Summary

In diesem Video wird die Beziehung zwischen den Problemen Partition und Subset-Sum untersucht, beide sind NP-vollständig. Der Dozent erklärt, wie man zwischen diesen beiden Problemen Reduktionen in beide Richtungen aufbaut. Er zeigt, wie man Eingaben von Partition in Subset-Sum und umgekehrt konvertiert, indem man spezifische Summen und zusätzliche Elemente einführt. Während die Reduktion von Partition zu Subset-Sum relativ einfach ist, erfordert die umgekehrte Reduktion mehr Überlegungen und Anpassungen. Abschließend wird die allgemeine Beziehung zwischen NP-vollständigen Problemen betont, die es ermöglicht, diese Probleme einander zuzuordnen.

Takeaways

• 😀 Der Unterschied zwischen den Problemen Partition und Subset Sum wird erläutert, wobei beide nach der Teilmenge fragen, die eine bestimmte Summe erreicht.
• 😀 Die Reduktionsrichtung von Partition zu Subset Sum wird als relativ einfach beschrieben, da Partition ein Spezialfall von Subset Sum ist.
• 😀 Bei der Reduktion von Partition zu Subset Sum wird die Summe der Elemente in der Menge S verwendet, um den Zielwert T zu bestimmen.
• 😀 Wenn S in zwei gleich große Teilmengen partitioniert werden kann, ergibt sich, dass Subset Sum auch eine Teilmenge mit der Summe T hat.
• 😀 Es wird eine klare Argumentation gegeben, warum das Vorhandensein einer ja-Instanz in Partition zu einer ja-Instanz in Subset Sum führt.
• 😀 Die Schwierigkeit der Reduktion von Subset Sum zu Partition wird hervorgehoben, da es schwieriger ist, einen geeigneten Zielwert T zu konstruieren.
• 😀 Verschiedene Fälle für den Zielwert T (größer, gleich oder kleiner als die Hälfte der Summe von S) werden betrachtet, um die Reduktion zu veranschaulichen.
• 😀 Bei der Konstruktion zusätzlicher Elemente zur Reduzierung wird gezeigt, wie diese Elemente helfen, die Eigenschaften zu erfüllen, die für die jeweilige Reduktion erforderlich sind.
• 😀 Es wird auf die Verwendung von 'Gadgets' hingewiesen, die in theoretischen Beweisen verwendet werden, um bestimmte Eigenschaften zu demonstrieren.
• 😀 Die zentrale Idee der NP-Vollständigkeit wird betont: Jede NP-vollständige Problematik kann auf jede andere NP-vollständige Problematik reduziert werden.

Q & A

Was sind die beiden Probleme, die in dem Video behandelt werden?

Die beiden Probleme sind das Partition-Problem und das Subset-Sum-Problem.

Wie stehen das Partition-Problem und das Subset-Sum-Problem zueinander?

Beide Probleme sind eng verwandt, da sie sich mit der Frage befassen, ob eine Teilmenge von Zahlen eine bestimmte Summe ergibt.

Was ist die Hauptfrage, die das Partition-Problem stellt?

Das Partition-Problem fragt, ob eine gegebene Menge von Zahlen in zwei Teilmengen mit gleichen Summen unterteilt werden kann.

Was ist der Unterschied zwischen dem Partition-Problem und dem Subset-Sum-Problem?

Das Subset-Sum-Problem fragt, ob es eine Teilmenge gibt, die zu einem bestimmten Zielwert T summiert, während das Partition-Problem nach einer Unterteilung in zwei gleich große Summen sucht.

Was bedeutet es, dass eine Reduktion korrekt ist?

Eine Reduktion ist korrekt, wenn sie sicherstellt, dass ein 'Ja'-Antwort auf das eine Problem zu einem 'Ja'-Antwort auf das andere Problem führt und umgekehrt.

Wie wird die Zielsumme T in der Reduktion definiert?

Die Zielsumme T wird als die Hälfte der Summe aller Elemente in der Menge S definiert, wenn das Partition-Problem behandelt wird.

Was passiert, wenn T genau die Hälfte der Summe aller Elemente in S ist?

Wenn T genau die Hälfte ist, kann S direkt als S' verwendet werden, da die Teilmenge, die zu T summiert, bereits existiert.

Wie wird ein zusätzlicher Wert L in der Reduktion verwendet?

Der Wert L wird so gewählt, dass er die Bedingung erfüllt, dass die Gesamtmenge S' in zwei gleich große Teilmengen partitioniert werden kann.

Was bedeutet es, dass Partition ein spezieller Fall von Subset-Sum ist?

Das bedeutet, dass jede Instanz des Partition-Problems auch als Instanz des Subset-Sum-Problems betrachtet werden kann, aber nicht umgekehrt.

Warum sind Konstruktionen wie Gadgets wichtig in der Reduktionsbeweisführung?

Gadgets sind wichtig, da sie spezifische Eigenschaften besitzen, die in der Reduktion zwischen zwei Problemen benötigt werden, um die Beziehung zwischen diesen zu zeigen.