Historia de las matemáticas y sus aplicaciones
Summary
TLDREste script ofrece una visión fascinante de la evolución y la importancia de las matemáticas en nuestra vida cotidiana. Aborda desde los orígenes de los números y la lógica, pasando por el desarrollo del álgebra y la geometría, hasta las aplicaciones modernas en la criptografía y la física. Se mencionan figuras históricas como Euclides y su algoritmo, así como teorías contemporáneas como la del caos y la teoría de grupos. Además, se exploran conceptos avanzados como la teoría de conjuntos, la transformada de Fourier y la topología, destacando su relevancia en campos tan diversos como la informática, la economía y la biología. El guión también destaca la conexión entre las matemáticas y la resolución de problemas del mundo real, promoviendo el aprendizaje y la apreciación de esta disciplina fundamental.
Takeaways
- 📐 Los números y el sistema numérico de 10 dígitos provienen probablemente de que los humanos tienen 10 dedos.
- 🧮 La lógica es uno de los pilares fundamentales de las matemáticas, y se ha utilizado desde hace más de 2500 años.
- 🔢 El álgebra euclidiana, o el algoritmo del máximo común divisor (MCD), es un ejemplo de un algoritmo matemático que tiene aplicaciones en la criptografía moderna.
- 🔒 La criptografía se basa en la teoría de números y es esencial para proteger la información confidencial en línea.
- 🌐 La topología, que estudia las propiedades de los espacios sin considerar las longitudes y ángulos, tiene aplicaciones en la física, robótica e informática.
- 📊 La transformada de Fourier es una herramienta matemática clave en el análisis de señales y la mecánica cuántica.
- 🔗 La teoría de grafos es una rama de las matemáticas que modela las conexiones entre nodos y tiene aplicaciones en informática, redes sociales y seguridad.
- ⛓ La teoría de grupos, que estudia la simetría y las estructuras algebraicas, se aplica en la química, la física y la criptografía.
- 🧠 La teoría de conjuntos, que trabaja con colecciones de objetos y sus relaciones, es fundamental en muchas ramas de las matemáticas.
- 🎲 Las matemáticas aplicadas a las probabilidades, como las cadenas de Markov, son importantes en la modelización de eventos y sistemas dinámicos.
- ⚖️ La teoría de juegos, que estudia las estrategias y decisiones en situaciones competitivas, tiene implicaciones en la economía, la informática y otros campos.
Q & A
¿Por qué usamos un sistema numérico de 10 dígitos?
-Se cree que los 10 dígitos provienen del hecho de que los humanos tenemos 10 dedos, aunque no hay una razón matemática fundamental para ello. Esto ha llevado a que después del 9, el siguiente número sea el 10, requiriendo un nuevo lugar en la unidad.
¿Por qué podría ser más fácil la aritmética con un sistema de 12 dígitos?
-La aritmética podría ser más fácil con 12 dígitos porque 12 es divisible por más números que 10, lo que simplificaría ciáculos como el de encontrar el máximo común divisor de dos números.
¿Qué es la lógica y cómo se relaciona con las matemáticas?
-La lógica es uno de los fundamentos más antiguos de las matemáticas y es esencial para demostrar teoremas. Se trata de un lenguaje muy formal que permite a los matemáticos estar de acuerdo en las afirmaciones y demostraciones lógicas, como el ejemplo de 'si llueve, el suelo está mojado'.
¿Quién fue Euclides y qué importancia tiene su contribución a las matemáticas?
-Euclides fue un matemático clásico que publicó una serie de trece libros conocidos como 'Elementos', que son considerados como el texto más influyente de todos los tiempos. Uno de sus conceptos importantes es el algoritmo euclidiano, que calcula el máximo común divisor de dos números de manera eficiente.
¿Cómo se relaciona la criptografía con las matemáticas?
-La criptografía utiliza técnicas matemáticas para convertir información sensible en algo que no puede ser entendido por nadie más que el receptor. Ciertos métodos de cifrado, como RSA, se basan en la dificultad de dividir grandes números en factores primos, lo que involucra la teoría de números enteros y algoritmos como el euclidiano.
¿Qué es la transformada de Fourier y para qué se utiliza?
-La transformada de Fourier es una herramienta matemática que permite dividir cualquier función en una suma de funciones de seno y coseno. Es ampliamente utilizada en mecánica cuántica y procesamiento de señales para analizar y revelar propiedades de señales físicas que no son aparentes a simple vista.
¿Qué es la teoría de grupos y cómo se relaciona con la simetría?
-La teoría de grupos es el estudio de grupos, que son conjuntos de elementos con una operación que satisface ciertas condiciones. Se relaciona con la simetría porque los grupos pueden describir las propiedades simétricas de objetos y sistemas, y se aplica en campos como la química, la criptografía y la física.
¿Qué es la teoría de conjuntos y cómo se relaciona con otros campos de las matemáticas?
-La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que trabaja con colecciones de objetos conocidos como conjuntos. Se relaciona con otros campos como la teoría de grupos, la topología y la teoría de grafos, ya que proporciona herramientas para analizar intersecciones, uniones, subconjuntos y otros conceptos fundamentales.
¿Qué es la cadena de Markov y cómo se relaciona con la probabilidad?
-La cadena de Markov es un modelo estadístico que describe eventos en los que la probabilidad de un evento depende solo del evento anterior y no de eventos más lejanos. Se relaciona con la probabilidad en que permite predecir la evolución de sistemas a lo largo del tiempo, como la migración de población entre ciudades.
¿Qué es la teoría de juegos y cómo se aplica en diferentes campos?
-La teoría de juegos es el estudio de la estrategia y la toma de decisiones lógicas en situaciones competitivas. Se aplica en economía, informática, y otros sectores para modelar interacciones y optimizar decisiones, como en la computación en la nube, subastas, fusiones y adquisiciones.
¿Qué es el efecto mariposa y cómo se relaciona con la teoría del caos?
-El efecto mariposa es un concepto de la teoría del caos que describe cómo un cambio minúsculo en las condiciones iniciales puede causar grandes diferencias en el resultado a largo plazo. Se relaciona con la teoría del caos en que ilustra la sensibilidad de los sistemas dinámicos a las condiciones iniciales.
¿Qué es la conjetura de Poincaré y cómo se relaciona con los problemas del milenio?
-La conjetura de Poincaré es uno de los siete problemas del milenio, muy difíciles dentro de las matemáticas, cada uno de los cuales viene con un premio de un millón de dólares. La conjetura fue probada en 2003 y se relaciona con los problemas del milenio en que representa uno de los pocos problemas que han sido resueltos hasta la fecha.
Outlines
😀 Origenes de las Matemáticas y Lógica
Este párrafo explora los orígenes de las matemáticas, que comenzaron con los números y el conteo. Se cuestiona si los números fueron inventados o ya existían. Se menciona el uso del sistema numérico de 10 dígitos y su posible origen en los 10 dedos humanos. Además, se discute la lógica como uno de los pilares de las matemáticas, con ejemplos de problemas lógicos simples que muestran la importancia del razonamiento formal. Finalmente, se destaca el algoritmo euclidiano, su relevancia en la criptografía y su impacto en la seguridad de la información.
📚 Avances en Matemáticas y Cálculo
Este párrafo abarca la introducción del cálculo en el siglo 17, su impacto en las matemáticas y la física, y cómo牛顿 utilizó el concepto de derivada para analizar cambios instantáneos. Se describe el cálculo como una herramienta esencial para entender el movimiento de planetas, ondas electromagnéticas y otros fenómenos. Además, se menciona la publicación de Euler sobre el problema de los puentes de Königsberg y el nacimiento de la teoría de grafos, así como sus aplicaciones en informática y la creación de Google. Finalmente, se toca la topología, su relación con la física y la robótica, y la transformada de Fourier, destacando su importancia en el procesamiento de señales.
🔢 Teoría de Números y Álgebra
Este párrafo se enfoca en la teoría de números y la álgebra. Comienza discutiendo la teoría de grupos, su importancia en la simetría y sus aplicaciones en diversas disciplinas, como la química y la física. Luego, se explora el álgebra de Boole y su influencia en la informática y la tecnología. Seguidamente, se introduce la teoría de conjuntos y la distinción entre conjuntos contables e no contables, con ejemplos de números enteros, racionales e irracionales. Finalmente, se menciona la cadena de Markov y su aplicación en la modelización de eventos con probabilidades dependientes del evento anterior.
🎲 Teoría de Juegos y Probabilidad
Este párrafo aborda la teoría de juegos y la probabilidad. Se describe el modelo de cadena de Markov y su utilidad en la predicción de eventos en sistemas en los que las probabilidades dependen del evento anterior. Se menciona el trabajo de John von Neumann y cómo la teoría de juegos ha influido en la economía y la informática. Se destaca el dilema del prisionero como un ejemplo de juego de suma cero y se exploran las aplicaciones modernas de la teoría de juegos en la computación en la nube y en la economía. Finalmente, se toca el problema de los tres cuerpos y el surgimiento de la teoría del caos, destacando su importancia en la robótica y la criptografía.
🌐 Teoría de la Relatividad y Problemas del Milenio
Este párrafo finaliza el script con la teoría de la relatividad general de Einstein y el teorema de Fermat, que permaneció sin resolver durante 300 años hasta que Andrew Wiles lo demostró en 1994. Se mencionan los problemas del milenio, los cuales son siete desafíos matemáticos con un premio de un millón de dólares cada uno, y se destaca que sólo ha sido resuelto uno: la conjetura de Poincaré. Se invita al público a aprender más sobre estos temas a través de los recursos proporcionados y se promueve la interacción con el canal a través de las redes sociales.
Mindmap
Keywords
💡Números
💡Lógica
💡Álgebra
💡Geometría
💡Cálculo
💡Teoría de Grafos
💡Topología
💡Transformada de Fourier
💡Teoría de Grupos
💡Teoría de Conjuntos
💡Teoría del Caos
Highlights
El comienzo de las matemáticas se relaciona con los números y el conteo.
La pregunta ancestral sobre la invención de los números o si ya existían.
El sistema numérico de 10 dígitos no tiene una razón matemática detrás de su estructura.
La posibilidad de que los 10 dígitos provengan de los 10 dedos humanos.
La lógica es uno de los fundamentos más antiguos y perdidos en las matemáticas.
La introducción de la geometría y la comprensión de las afirmaciones lógicas.
El algoritmo euclidiano, uno de los primeros algoritmos matemáticos descubiertos.
La importancia del algoritmo euclidiano en la criptografía moderna.
La teoría de números es crucial para la seguridad en línea y la protección de información confidencial.
La agencia de seguridad nacional como el mayor empleador de matemáticos en los EE. UU.
El descubrimiento del número pi y su aproximación a través del tiempo.
La introducción del cálculo en el siglo 17 y su impacto en las matemáticas y la física.
La teoría de grafos y su aplicación en la informática y la solución del problema de los puentes de Königsberg.
La importancia de la topología en la modelización de redes y en la robótica.
La transformada de Fourier y su impacto en la mecánica cuántica y el procesamiento de señales.
La teoría de grupos y su aplicación en la simetría, la química y la física.
La álgebra de Boole y su uso en la informática para simplificar circuitos lógicos.
La teoría de conjuntos y su relevancia en la matemática moderna.
La cadena de Markov y su aplicación en la modelización de eventos probabilísticos.
La teoría de juegos y su importancia en la toma de decisiones en situaciones competitivas.
El problema de los tres cuerpos y el comienzo de la teoría del caos.
La conjetura de Poincaré y su resolución en 2003 como uno de los problemas del milenio.
Transcripts
00:00el comienzo de las matemáticas se dio
00:02con los números y el conteo de los que
00:04los humanos no sabían nada una de las
00:06preguntas ancestrales es inventamos los
00:08números o ya estaban allí usamos un
00:10sistema numérico de 10 dígitos pero no
00:12hay ninguna razón matemática para eso ni
00:15para que no tengamos 9 dígitos es decir
00:17que después del 8 el siguiente número
00:19sería 10 porque nos quedaría sin dígitos
00:22y necesitaríamos restablecer el lugar de
00:24las unidades de acero y luego agregar un
00:251 esto representaría lo que conocemos
00:27como 9 si hubieran 9 dígitos creemos que
00:30los 10 dígitos provienen del hecho de
00:32que tenemos 10 dedos de hecho muchas
00:35veces solo usamos dos dígitos el sistema
00:37binario los matemáticos dicen que
00:39podríamos elegir 12 dígitos y la
00:42aritmética sería mucho más fácil ya que
00:4312 es divisible por más números que 10
00:46uno de los fundamentos más antiguos de
00:48las matemáticas que muchas personas han
00:50perdido hoy en día es la lógica aunque
00:53se realizaron muchos avances en este
00:54campo en los siglos 19 y 20 comenzó hace
00:57unos 2500 años en una clase de lógica
01:00hoy habrá ejemplos extraños de problemas
01:02que involucran solo pensar como esta
01:04oración
01:05si llueve entonces
01:06el suelo está mojado digamos que esto es
01:09verdad es esta otra afirmación también
01:10cierta si el suelo no está mojado
01:12entonces no está lloviendo
01:14cualquiera que haya aprendido lógica
01:16básica que incluso incluye geometría
01:18puede responder esto en un segundo otros
01:20pueden necesitar un poco más de tiempo
01:22pero estas dos afirmaciones son de hecho
01:25lógicamente lo mismo siempre que dicen
01:27si pasa algo sucede esto otro es lo
01:30mismo que decir si no pasa lo segundo
01:32entonces tampoco lo primero si un ángulo
01:35es de 40 grados entonces es agudo y si
01:37un ángulo no es agudo entonces no es de
01:4040 grados son lógicamente lo mismo estos
01:43conceptos pueden parecer extraños pero
01:45en matemática necesitamos un lenguaje
01:47muy formal en el que todos estemos de
01:49acuerdo para demostrar teoremas
01:50difíciles de entender si nos pidieran
01:52probar que el enunciado si x al cuadrado
01:54es para entonces x es par también pueden
01:57probar si x + para entonces x al
01:59cuadrado tampoco es para probar una
02:01prueba automáticamente al otro y aunque
02:03este es un ejemplo fácil en las
02:05matemáticas más avanzadas se necesita
02:08una comprensión muy clara del lenguaje y
02:10la lógica detrás de cada afirmación hace
02:12poco más de 2000 años
02:13el matemático que les publicó una serie
02:16de trece libros conocidos como elementos
02:18que puede considerarse como el libro de
02:20texto más influyente de todos los
02:21tiempos hay muchas cosas para hablar de
02:24estos libros pero un concepto importante
02:26es el algoritmo euclidiano o el
02:28algoritmo del pld es uno de los primeros
02:30algoritmos matemáticos que se ha
02:31descubierto un algoritmo es una serie de
02:34pasos que resuelve un problema ejecutado
02:36con frecuencia pero no siempre por una
02:37computadora el algoritmo calcula el
02:40máximo común divisor de dos números de
02:41manera eficiente encontrar el número más
02:43grande que entra digamos en 714 y 1.054
02:47no sería tan difícil pero podría tomar
02:50un poco de tiempo encontrar la respuesta
02:52que es 34 podemos usar el algoritmo no
02:55explicaré cómo funciona pero implica
02:57aritmética básica de la escuela primaria
02:59y al usarlo podrán averiguar la
03:01respuesta a manu en menos de un minuto
03:02mencioné este algoritmo porque se
03:04extiende al campo de la criptografía que
03:06son técnicas y garantiza una
03:08comunicación segura en presencia de
03:10adversarios como los piratas
03:11informáticos al poner información
03:13sensible en línea el texto normal se
03:15encripta usando técnicas matemáticas que
03:17lo convierten en algo que no puede ser
03:19entendido por uno
03:20y nadie al menos hasta que sea
03:22desencriptado para lo cual necesita una
03:25clave secreta que solo el receptor tiene
03:27aunque hay varios métodos de cifrado
03:28ciertos tipos como rsa se basa en el
03:31hecho de que es muy difícil dividir
03:33grandes números en factores primos la
03:35criptografía involucra a la teoría de
03:37números o el estudio de números enteros
03:38razón por la cual el algoritmo
03:40euclidiano de antes tiene aplicaciones
03:42en este campo esto es lo que protege
03:44nuestras contraseñas números de tarjetas
03:46de crédito y cualquier tipo de
03:48información confidencial en línea la
03:50enee sea la agencia de seguridad
03:52nacional es el mayor empleador de
03:54matemáticos en los eeuu ya que necesitan
03:57que creen y descifra en estos códigos y
03:59se crean que la criptografía es reciente
04:01ya que las computadoras no han existido
04:03ni siquiera durante un siglo pero se
04:05remonta a cientos de años atrás cuando
04:07las cartas estaban cifradas con fines de
04:09privacidad se usaron técnicas para
04:11descifrar estos mensajes en las cartas
04:13de maría reina de escocia que revelaban
04:16que había autorizado un intento de
04:17asesinato de la reina isabel y fue
04:19ejecutada en 1587 luego hubo varios
04:23cientos de años de descubrimientos que
04:25todos conocemos muy bien
04:27el descubrimiento de pi que en realidad
04:29requirió mucho trabajo para precisar
04:31exactamente se aproximó a 3 125 y 3 16
04:35durante un tiempo hasta que varios años
04:37después se hicieron mejores
04:39aproximaciones luego logaritmos
04:40geometría álgebra coordenadas
04:43cartesianas básicas y números complejos
04:45sobre los que hice un vídeo todos se
04:48descubrieron hace cientos o miles de
04:49años no hablaré de ellos si quieren un
04:52dato divertido el radio de la tierra se
04:54aproximó en el siglo 3 antes de cristo-
04:56con una precisión de casi el 99 por
04:58ciento usando el razonamiento deductivo
05:00de geometría básica y midiendo la
05:02longitud de una sombra ahora saltaré al
05:04siglo 17 cuando se introdujo el cálculo
05:07en el mundo lo que cambiarían las
05:09matemáticas y la física para siempre
05:11newton quería analizar las tasas de
05:13cambio no como el promedio en la
05:15pendiente promedio sino en un instante
05:17esta tasa instantánea de cambios se
05:19conoció como una derivada que indique el
05:21cambio en un parámetro con respecto a
05:23otro en un instante específico por
05:25ejemplo si la velocidad cambia
05:27constantemente el álgebra puede decirles
05:29la velocidad promedio pero el cálculo
05:31puede decirles la velocidad exacta de
05:33como lo haría una pistola de radar esto
05:36nos dio información importante sobre el
05:38movimiento de los planetas el cambio de
05:40velocidad en órbita el movimiento y
05:42comportamiento de las ondas
05:44electromagnéticas se expresa a través
05:45del cálculo y la resistencia de un
05:47objeto a la rotación se calcula
05:49utilizando técnicas de cálculo y el
05:51cálculo del trabajo realizado en una
05:52partícula que se mueve en un campo
05:54vectorial complejo requiere cálculo el
05:56cálculo se usa dentro de la economía y
05:58la maximización de las ganancias en
06:00química en las tasas de difusión y otros
06:02campos tiene incontables aplicaciones y
06:05ya sea que estudien ingeniería física
06:07matemáticas química biología o hasta
06:10negocios en la universidad la
06:12universidad comenzará con una serie de
06:13cursos de cálculo que se utilizarán más
06:15adelante en el próximo año en 1736
06:19lenard euler publicó un artículo sobre
06:21el problema de los puentes de con expert
06:23el primer artículo en teoría de grafos
06:25la pregunta era bastante simple se puede
06:28cruzar cada puente exactamente una vez
06:30por supuesto sin entrar al agua
06:34pueden probarlo si quieren pero les
06:36advierto que blair demostró que e
06:37imposible la teoría de grafos no se
06:39trata de las gráficas de la escuela
06:41secundaria un grafo aquí se compone de
06:43nodos y bordes que se conectan tiene una
06:46amplia variedad de aplicaciones y muchas
06:48se encuentran en el campo de la
06:49informática un gráfico puede representar
06:51personas y sus conexiones podrían
06:54representar la compatibilidad y aquí los
06:56sitios de citas necesitan usar
06:58algoritmos para crear las mejores
06:59coincidencias los nodos podrían ser
07:01ciudades y los bordes las rutas que las
07:03conectan necesitamos averiguar la más
07:05corta entre una y otra
07:07otro grafo podría representar cómo
07:08estamos conectados a través de las redes
07:10u otra estructura social esto se conoce
07:12como análisis de redes sociales que se
07:15usa en aplicaciones de seguridad para
07:16mapear información sobre organizaciones
07:18terroristas o pandillas callejeras para
07:20recalcar el poder de la teoría de grafos
07:22los graduados en ciencias de la
07:24informática larry page y sergey brin
07:26ganaron miles de millones de dólares en
07:28los años 90 usaron la teoría de grafos
07:30de tal manera que los nodos
07:32representaban sitios web en internet y
07:34si un sitio web se conectaba a otro
07:36quedaba representado por un borde
07:39más bordes haría mejor era esa página
07:41web este algoritmo para clasificar las
07:43páginas web se convirtió en lo que ahora
07:45es google a partir del problema de los
07:47puentes de con expect se creó la teoría
07:49de grafos pero también el campo de la
07:51topología es uno de los cursos de
07:53matemáticas más avanzados para los que
07:55estudian matemáticas aquí deben
07:58olvidarse de las longitudes y ángulos
08:00como en geometría ya que en este campo
08:02se preocupan más por la conexión y los
08:04agujeros doblar y estirar está
08:06totalmente bien y no cambia las
08:08propiedades del espacio que nos importa
08:10por esta razón en topología dicen que
08:13una rosquilla y una taza de café son lo
08:15mismo la pregunta de si se puede
08:17transformar un objeto en otro o si los
08:19dos son ume morphos es importante dentro
08:21de la topología analizarán formas
08:23complejas objetos de dimensiones
08:25superiores nudos etcétera
08:27esta clase permite comprender las
08:29matemáticas de cosas como cortar una
08:31tira de moebius por la mitad que hice en
08:33un vídeo anterior o revela
08:35matemáticamente cómo darle la vuelta a
08:37una esfera sin cortarla ni rasgar la ni
08:39hacer pliegues pero sí permitiendo
08:41algunas intersecciones es ésta una
08:43esfera dándose vuelta
08:45se aplica campos de la física como la
08:47teoría cuántica de campos o la
08:49cosmología y en la relatividad afirma
08:51que el espacio-tiempo es una variedad
08:53florenciana de cuatro dimensiones y
08:54analiza estos conceptos dentro de la
08:56topología en robótica y planificación
08:58del movimiento todos los estados
09:00posibles en los que puede estar el robot
09:02o el espacio de configuración pueden
09:04modelar se usando conceptos de topología
09:05en informática la topología se usa para
09:08modelar cómo se conectan las redes y
09:10cómo fluyen los datos y en las teorías
09:12de nudos usadas en biología para
09:14analizar cómo las enzimas cortan y
09:15vuelven a conectar el adn en 1822 joseph
09:18fourier publicó un artículo sobre el
09:20flujo de calor y mientras trabajaba en
09:22él hizo un descubrimiento con una amplia
09:24gama de aplicaciones ahora la llamamos
09:26transformada de fourier determinó que
09:28cualquier función sin importar lo
09:30extraño que pareciera podría dividirse
09:32en una suma de funciones de seno y
09:34coseno si se toman varias de estas
09:36funciones y se eligen las frecuencias y
09:38amplitudes adecuadas pueden sumarlas
09:40para hacer cualquier función esto tiene
09:42muchas aplicaciones pero las principales
09:44son en la mecánica cuántica y
09:46procesamiento de señales al observar
09:48señales ya sea una señal de radar o de
09:50una imagen digital
09:51de sonido luz la señal física en sí
09:54puede ser bastante complicada y no nos
09:56dice mucho usando el análisis de fourier
09:58podemos dividir la señal en las
10:00funciones trigonométricas que la
10:01componen y que revelan propiedades que
10:03no se pueden ver visualmente como si la
10:06señal estuviera compuesta de fuentes de
10:08frecuencia alta o fuentes de frecuencia
10:10más baja aunque es difícil rastrear una
10:12fecha específica los fundamentos de un
10:14campo conocido como teoría de grupos
10:16comenzaron a principios del siglo 18 se
10:19trata del estudio de grupos que son un
10:21conjunto de elementos que junto con
10:22alguna operación satisfacen determinadas
10:25condiciones por esta razón el conjunto
10:27de enteros que se suman es un grupo si
10:29eligen dos enteros cualesquiera y lo
10:31suman obtienen otro entero que está en
10:33el conjunto también existe un número
10:35entero en el conjunto en este caso el 0
10:37al que se le agregan cualquier número
10:39del conjunto obtendrán el mismo número
10:41también para cualquier número del
10:43conjunto existe otro tal que si lo suman
10:46obtienen la identidad de antes
10:49que era cero en este caso por último el
10:52orden de ciertos números en la suma no
10:54cambia el resultado estas 4 propiedades
10:57de cierre elemento de identidad elemento
11:01inverso y asociatividad significan que
11:03el conjunto es un grupo esto parece
11:06extraño y aleatorio pero el grupo 3 nos
11:08brinda mucha información sobre las
11:09matemáticas de la simetría esto se
11:11aplica a conjuntos de números y a otros
11:13conjuntos como las manipulaciones en un
11:16cubo rubik es decir las formas en que el
11:18cubo puede modificarse para formar un
11:20grupo con sus propiedades únicas en
11:22nuestro último ejemplo con números
11:24enteros vemos que el orden de los
11:25números no importa cuando los sumamos el
11:28hecho de que podemos intercambiar dos
11:29números y obtener el mismo resultado
11:31significa que el grupo es conmutativo o
11:34abel ya no sabiendo esto queremos saber
11:36si el grupo de las posibles
11:37manipulaciones del cubo rubik es abel ya
11:39no si gira la parte inferior 90 grados y
11:42luego la cara frontal es lo mismo que
11:45girar la cara frontal y luego la
11:46inferior quizá deban pensarlo pero la
11:49respuesta es no no es un grupo abel ya
11:51no no necesitan la teoría de grupos para
11:53resolver un cubo de rubik pero si da una
11:56idea de las
11:56matemáticas detrás de este esta
11:58matemática de la simetría tiene
12:00aplicaciones en química por ejemplo los
12:02grupos pueden clasificar ciertas
12:04estructuras cristalinas y simetrías
12:06dentro de las moléculas puede aplicarse
12:08a la criptografía de clave pública y en
12:10física por ejemplo el teorema del éter
12:12explica que la simetría de un sistema
12:14corresponde a una ley de conservación
12:16esto nos llevó una mejor comprensión de
12:18la teoría general de la relatividad de
12:20einstein el álgebra de bühl que se
12:23descubrió en el siglo 18 es álgebra que
12:25usa sólo unos y ceros y se puede usar en
12:28aplicaciones informáticas con el álgebra
12:30de bühl se puede simplificar la cantidad
12:33de puertas lógicas de un circuito que
12:35son las que cambian y transmiten unos y
12:37ceros dentro de una computadora cuantas
12:39menos puertas haya más rápida será la
12:41computadora en 1874 el matemático yori
12:45cantor publicó un artículo titulado
12:46sobre la propiedad de la colección de
12:48todos los números algebraicos reales y
12:51aquí comenzó la rama de las matemáticas
12:52llamada teoría de conjuntos un conjunto
12:55es una colección de objetos pueden ser
12:57colores personas números primos números
13:00pares etcétera cada miembro se conoce
13:02como elemento del
13:03la teoría de conjuntos trabaja con
13:05intersecciones uniones subconjuntos o
13:08conjuntos dentro de conjuntos ahora
13:10hablaré de si un conjunto es contable o
13:12no por ejemplo el conjunto de números
13:14enteros que incluyen negativos positivos
13:17y 0 es contable eso no significa que
13:20pueda contar todos los elementos del
13:21conjunto continua para siempre y por lo
13:24tanto es un conjunto infinito pero es
13:26contable bueno en realidad es infinito y
13:30eso es porque puedo ordenar todos los
13:32elementos de tal manera que nada se
13:33repita nunca sin saltarme un número
13:38puedo ordenarlos para tener 0 1 1 2
13:432 3 - 3 etcétera si sigo contaré todos
13:47los números enteros que puedan nombrar
13:49sin saltear me uno sobre esto puedo
13:52asignar un número natural a cada
13:53elemento del conjunto sin saltarme
13:55ninguno una pregunta más difícil es si
13:58los números racionales son contables los
14:00números racionales son decimales que
14:01terminan o decimales que continúan para
14:04siempre pero se repiten 222 234 y que se
14:09repite 2 594 etcétera todos son
14:12racionales ahora podría alinear los de
14:14tal manera que tenga un primer número
14:16racional un segundo un tercero y así
14:19sucesivamente para no saltarme nada
14:21sorprendentemente se demostró que la
14:23respuesta es si el conjunto es infinito
14:25recuerden que los números racionales
14:27pueden expresarse en relación a dos
14:29enteros la prueba clásica es ordenar los
14:31números racionales de manera inteligente
14:33como en esta tabla hay filas y columnas
14:35de números enteros y cada entrada es la
14:37proporción de esos dos números podemos
14:40empezar en la esquina superior izquierda
14:41donde el 1 es el primer número racional
14:44luego bajamos al siguiente para él
14:46y luego en diagonal y continuamos
14:48mientras saltamos los números racionales
14:49que se repiten así llegaremos a
14:52cualquier número racional que elijan
14:53incluso este decimal repetido y por lo
14:56tanto racional que es 67 sobre 241 si
15:01seguimos así encontraremos esa fila de
15:0367 la columna de 241 si estudian
15:07matemáticas o ciencias de la computación
15:09en la universidad aprenderán que el
15:11conjunto de números irracionales no es
15:13contable no hay forma de alinearlos y
15:15enumerar los a todos sin omitir ni uno
15:17esto significa que podríamos decir que
15:19hay más números irracionales que
15:21racionales aunque hay una cantidad
15:22infinita de ambos también verán que el
15:24conjunto de números reales que incluye
15:27enteros decimales y el cuadrado de 2
15:29etcétera tampoco es contable la teoría
15:32de conjuntos tiene aplicaciones en
15:34varios temas de los que hablamos como la
15:36teoría de grupos topología teoría de
15:38grafos y más cuando lanzan una moneda o
15:41juegan a la ruleta cada evento es
15:43independiente no importa que tiraron la
15:45última vez las probabilidades de que
15:48salga rojo en la siguiente siguen siendo
15:50las mismas que antes
15:51a principios del siglo 19 se trabajó en
15:54un modelo estadístico que describe
15:55eventos en los que la probabilidad
15:56depende sólo del evento anterior este
15:59modelo se conoció como cadena de marco
16:01que incluye probabilidades de transición
16:03y en estado estable imaginen que quieren
16:06analizar la población de los ángeles y
16:08nueva york para simplificar diremos que
16:11las personas solo pueden moverse de una
16:13a otra o quedarse quietas así que tal
16:15vez cada año el 10% de las personas que
16:17viven en los ángeles se mudan nueva
16:19york' y el 90% de la gente se queda al
16:21mismo tiempo cada año el 15% de las
16:24personas en nueva york' se muda a los
16:26ángeles y el 85% se queda en este
16:29ejemplo es importante dónde están ahora
16:31si se encuentra en los ángeles son nueva
16:33york' podemos predecir si una persona se
16:35mueve o no pero decir que una persona
16:37tomo esta serie específica de
16:38movimientos no importa para lo que viene
16:40después usando ciertas técnicas en este
16:43caso de álgebra lineal se puede
16:45determinar cómo evolucionará el sistema
16:47con el tiempo y si alcanzara algún
16:49estado estable o no estos se aplican a
16:51la termodinámica y representan ciertos
16:53detalles desconocidos del sistema y en
16:55los sistemas de reconocimiento de voz
16:56modernos lo que define el rango de
16:59de un sitio web tal como lo utiliza
17:01google también a principios del siglo 19
17:03se trabajaba sobre una estrategia en los
17:05juegos de suma cero para dos personas o
17:07juegos en los que la ganancia de una
17:09persona se compensa con la pérdida de
17:11otra este campo iniciado por john von
17:13neumann en 1928 se conoció como teoría
17:16de juegos y se expandió rápidamente a
17:18mediados del siglo 20 para resumir el
17:20estudio de la estrategia y la toma de
17:22decisiones lógicas en situaciones
17:24competitivas uno de los juegos más
17:26famosos en los primeros días de este
17:28campo fue el dilema del prisionero donde
17:30ustedes y un cómplice estaban en prisión
17:32por un crimen están separados y cada uno
17:35tiene la opción de permanecer en
17:36silencio o delatar al otro que en
17:38función de lo que haga cada uno puede ir
17:40a la cárcel o ser puesto en libertad la
17:43pregunta aquí es que es lo mejor para
17:45ustedes sobre todo sin saber lo que dirá
17:47el otro este campo creció y ahora tiene
17:49aplicaciones tanto en economía como en
17:51informática y otros sectores en
17:54informática existe la computación en la
17:56nube y la teoría de juegos que se puede
17:58utilizar para modelar interacciones
18:00entre proveedores de la nube donde el
18:01costo debe minimizarse mientras se
18:03maximiza en otros factores
18:04en economía se aplican las subastas
18:07fusiones y adquisiciones para ver qué
18:09parte tendrá más beneficios
18:11análisis financiero lanzamiento de
18:13productos y otros en 1880 el matemático
18:16en el plan care estudio el problema de
18:18los tres cuerpos que trata del estudio
18:20del movimiento de masas de tres puntos
18:22por ejemplo el movimiento de la luna la
18:25tierra y el sol bajo el análisis de la
18:26atracción gravitacional del otro estimar
18:28el movimiento de dos cuerpos en órbita
18:30es muy factible utilizando las leyes del
18:32movimiento de newton pero con un tercero
18:34que es muy difícil aunque descubrió que
18:37pequeños cambios en la posición y la
18:38velocidad inicial de estas masas
18:40provocarían comportamientos muy
18:42diferentes con el tiempo este fue el
18:43comienzo de la teoría del caos un campo
18:46de las matemáticas que trata con
18:47sistemas dinámicos que son muy sensibles
18:49a las condiciones iniciales después de
18:52sus contribuciones
18:53el estudio se estancó debido a la falta
18:55de poder computacional finalmente edward
18:57lawrence se encontró por accidente su
18:59interés en este tema a través de su
19:00trabajo en predicción metereológica a
19:02principios de los años 60 se dio cuenta
19:05de que al hacer un pequeño cambio en las
19:06condiciones iniciales en su simulación
19:08por computadora había grandes cambios en
19:11el resultado
19:11a largo plazo quizás algunos conozcan el
19:14efecto mariposa un ejemplo metafórico en
19:16el que una mariposa bate sus alas en un
19:18lado del océano atlántico y puede causar
19:21un tornado en el otro
19:22semanas después este pequeño cambio en
19:24las condiciones ambientales que causan
19:26una gran diferencia es un concepto de la
19:28teoría del caos y su nombre efecto
19:30mariposa fue acuñado por edward lawrence
19:32después de sus hallazgos con la
19:34simulación meteorológica ahora podemos
19:36usar la teoría del caos para analizar
19:38sistemas como un péndulo doble o ver que
19:40cambiar la altura inicial un poco cambia
19:42mucho el recorrido se usa en robótica
19:44para predecir el movimiento de un robot
19:46y cómo se desarrollará con el tiempo y
19:48también en criptografía las geodésicas
19:50son curvas que representan el camino más
19:52corto entre dos puntos en una superficie
19:54curva una hormiga que vive en la
19:56superficie la percibe como recta y
19:58explica por qué las rutas de los aviones
20:00en un mapa son un poco curvas esto es de
20:02gran importancia para la teoría de la
20:04relatividad general de einstein el
20:06teorema de fermat que es fácil de
20:08entender superficialmente no se resolvió
20:10durante 300 años el teorema dice que no
20:13existen tres números enteros como a mí
20:15sé en dónde esto sea cierto hoy los que
20:18hayan números enteros
20:19mayores a 2 nadie pudo probar si era
20:21cierto hasta hace unas décadas en 1994
20:25cuando andrew wiles demostró el teorema
20:27y descubrió que no hay números enteros
20:28que prueben que esto sea cierto y aunque
20:30el teorema es fácil de entender la
20:32demostración implica una prueba
20:34matemática muy rigurosa que cubre más de
20:36100 páginas
20:37por último los problemas del milenio son
20:39siete problemas muy difíciles dentro de
20:41las matemáticas y fueron decididos en
20:43una conferencia hace aproximadamente dos
20:46décadas cada pregunta viene con un
20:48premio de un millón de dólares pero
20:50hasta ahora sólo se ha resuelto una que
20:52es la conjetura de poincaré probada en
20:542003
20:56hay muchas más cosas de las que puedo
20:57hablar pero terminaré el vídeo aquí para
21:00los que quieran aprender más dejaré
21:02recursos incluidos libros y conferencias
21:04algunos de los cuales serán enlaces de
21:06afiliados si desean apoyar el canal dele
21:08me gusta y suscríbase al canal síganme
21:11en twitter y únanse al grupo de facebook
21:12para recibir actualizaciones nos vemos
21:15en el próximo vídeo
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