El Teorema Fundamental del Cálculo Demostración | Curso de Cálculo Integral

Summary

El video demuestra la primera parte del teorema fundamental del cálculo. Se asume una función continua y se explora su derivabilidad, mostrando que si f es continua en un intervalo cerrado, entonces su derivada en un punto es igual a la función original evaluada en ese punto. También se analizan casos especiales en los extremos del intervalo. Finalmente, se demuestra cómo el teorema garantiza que la integral de una función es igual a la diferencia de los valores de una función antiderivada en los extremos del intervalo, cerrando con una visión del teorema fundamental parte 2.

Takeaways

• 📘 El teorema fundamental del cálculo está dividido en dos partes, y la primera parte se enfoca en la derivabilidad de una función.
• 📈 Si una función es continua en un valor c dentro del intervalo cerrado, entonces es derivable en ese punto.
• 📏 La derivada de F mayúscula en c es igual al valor de la función f minúscula evaluada en c.
• 🔍 El teorema establece que si f es continua en el intervalo cerrado, F es derivable en cualquier punto de ese intervalo.
• 🧮 La prueba incluye el análisis de límites cuando h tiende a cero, verificando la derivabilidad de F.
• 🚪 Para los extremos del intervalo (a y b), solo se consideran límites laterales (por la derecha en a y por la izquierda en b).
• 🔗 El corolario afirma que si existe una función G tal que F sea igual a la derivada de G, entonces la integral desde a hasta b de f es igual a G(b) - G(a).
• 📜 Se demuestra que dos funciones con la misma derivada son iguales salvo por una constante.
• 🧩 El teorema fundamental del cálculo parte 2 asegura que la integral de f minúscula desde a hasta b es igual a la diferencia entre F(b) y F(a).
• 🔑 La prueba del teorema utiliza el teorema del valor medio y se basa en una partición del intervalo cerrado.

Q & A

¿Qué establece la primera parte del teorema fundamental del cálculo?

La primera parte del teorema fundamental del cálculo establece que si una función f es continua en un valor c dentro de un intervalo cerrado [a, b], entonces existe una función F tal que F es derivable en c y F' en c es igual a f en c.

¿Cuál es la definición de la función F mayúscula según el teorema?

La función F mayúscula se define como la integral desde a hasta x de la función f minúscula. Esta función es siempre continua en el intervalo cerrado [a, b].

¿Qué se demuestra sobre la derivabilidad de la función F?

Se demuestra que si f es continua en un punto c del intervalo, entonces la función F es derivable en ese punto c y que su derivada en c es igual al valor de la función f en ese punto.

¿Qué ocurre cuando el punto c se encuentra en el extremo del intervalo cerrado [a, b]?

Si c es igual a a, sólo podemos acercarnos a c por la derecha, y si c es igual a b, sólo podemos acercarnos por la izquierda. En ambos casos, la derivada de F en estos puntos se define como el límite lateral correspondiente.

¿Qué implica el corolario mencionado en el video sobre la función continua f?

El corolario establece que si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], y existe una función g tal que f es la derivada de g, entonces la integral de f desde a hasta b es igual a g(b) menos g(a).

¿Qué relación existe entre las funciones F y g en el corolario?

Se demuestra que la función F, que es una primitiva de f, y la función g tienen la misma derivada, por lo que existe una constante C tal que F(x) es igual a g(x) más C.

¿Cómo se deduce el valor de la constante C en el corolario?

El valor de la constante C se obtiene al evaluar en x = a, lo que implica que F(a) es igual a g(a) más C. Al despejar, se obtiene que C es igual a -g(a).

¿Cómo se aplica el teorema del valor medio en la demostración del teorema fundamental del cálculo, parte 2?

En la demostración, el teorema del valor medio se aplica a la función F en cada subintervalo generado por una partición del intervalo cerrado [a, b], lo que asegura que existe un punto en cada subintervalo donde la derivada de F es igual al valor de f en ese punto.

¿Qué se concluye sobre las sumas inferiores y superiores en la segunda parte del teorema fundamental del cálculo?

Se concluye que el supremo de las sumas inferiores y el ínfimo de las sumas superiores coinciden, lo que implica que la integral de f en el intervalo [a, b] es igual a F(b) menos F(a).

¿Cuál es el resultado final de la demostración de la segunda parte del teorema fundamental del cálculo?

El resultado final es que la integral desde a hasta b de f minúscula es igual a F(b) menos F(a), lo que demuestra la relación entre la integral de una función y sus primitivas.