Suma de Riemann cuando la función es negativa

Summary

El video explica la diferencia entre los rectángulos circunscritos e inscritos en una gráfica de una función. Se usan 24 rectángulos en total, 8 azules circunscritos y 16 rojos inscritos. La altura de los rectángulos circunscritos está determinada por el valor de la función en el extremo derecho, mientras que para los inscritos, es el extremo izquierdo. Luego, se analizan tres expresiones en notación sigma para determinar cuál representa correctamente la suma de las áreas de estos rectángulos, concluyendo que algunas fórmulas no son correctas debido a áreas negativas.

Takeaways

• 📊 Se presentan 24 rectángulos circunscritos bajo la gráfica de F.
• 🟦 Los rectángulos circunscritos tienen su altura determinada por el valor de la función en el extremo derecho.
• 🟥 Los rectángulos inscritos tendrían su altura determinada por el valor de la función en el extremo izquierdo.
• 📏 Todos los rectángulos tienen la misma base, que es 1/2, ya que el intervalo total es 12 (de -5 a 7) y se divide entre 24 rectángulos.
• ✔️ La primera expresión en notación sigma corresponde correctamente a la suma de las áreas de los 8 rectángulos azules.
• 🧮 En cada incremento de I en la primera expresión, el valor de X aumenta en 1/2, lo que garantiza que se esté sumando el área de los primeros 8 rectángulos.
• ❌ La segunda expresión no es correcta porque toma el valor negativo de las áreas de los rectángulos rojos, debido a que en ese intervalo la función es negativa.
• 📉 Las áreas negativas representan el valor de la función, no el área en sí, ya que un área debe ser positiva.
• ⚠️ La tercera expresión no corresponde a la suma de las áreas de todos los rectángulos, ya que mezcla áreas positivas y negativas, dando un resultado incorrecto.
• 🔴 La tercera expresión resta las áreas negativas de las positivas, lo cual no es correcto al hablar de áreas en términos geométricos.

Q & A

¿Qué significa que los rectángulos sean circunscritos?

Que la altura de cada rectángulo está determinada por el valor de la función en el extremo derecho del rectángulo.

¿Cómo se define la altura de un rectángulo inscrito?

La altura de un rectángulo inscrito se define por el valor de la función en el extremo izquierdo del rectángulo.

¿Cuántos rectángulos hay en total en la gráfica?

En total hay 24 rectángulos, de los cuales 8 son azules y 16 son rojos.

¿Qué representa la base de los rectángulos en la gráfica?

La base de los rectángulos es 1/2, ya que el intervalo total es de 12 unidades (de -5 a 7) dividido entre 24 rectángulos.

¿Qué determina el valor de 'F de -5 + I sobre 2' en la suma de áreas de los rectángulos azules?

Este valor determina la altura de cada rectángulo azul, comenzando desde el extremo derecho y avanzando en incrementos de 1/2.

¿Cómo se obtiene el área de un rectángulo circunscrito en la gráfica?

El área se obtiene multiplicando la base del rectángulo (1/2) por el valor de la función en el extremo derecho del rectángulo.

¿Por qué se dice que los rectángulos rojos tienen áreas negativas?

Porque en la porción del gráfico donde la función toma valores negativos, la altura de los rectángulos es negativa, lo que genera áreas negativas al multiplicar por la base positiva.

¿Por qué la suma de las áreas de los rectángulos rojos no es correcta en la segunda afirmación?

La segunda afirmación no es correcta porque los valores de las áreas se consideran negativos en la gráfica, mientras que las áreas siempre deberían ser positivas.

¿Qué error se comete en la tercera afirmación respecto a la suma de las áreas de todos los rectángulos?

El error es que la expresión suma las áreas positivas y negativas, lo que no es correcto al calcular áreas, ya que las áreas siempre deben ser positivas.

¿Cómo se corrige el problema de las áreas negativas en la tercera afirmación?

Para corregir el problema, se debe considerar solo el valor absoluto de las áreas de los rectángulos rojos, en lugar de sumarlas con signo negativo.