Intégrale de Gauss - Calcul détaillé
Summary
TLDRCette vidéo explique comment calculer l'intégrale de Gauss, une tâche complexe puisqu'il n'existe pas de primitives élémentaires pour cette fonction. Elle aborde la nécessité d'utiliser des techniques numériques et la substitution de variables pour simplifier l'intégrale. Le changement de variables, notamment en utilisant les coordonnées polaires, est crucial pour résoudre l'intégrale double. Le script détaille les étapes, y compris le calcul du Jacobien, pour aboutir à une solution numérique qui montre que l'intégrale de Gauss est positive et égale à la racine carrée de π.
Takeaways
- 📘 L'intégrale de Gauss est utilisée pour calculer l'intégrale de fonctions qui ne possèdent pas de primitives élémentaires.
- 🔍 L'intégrale de Gauss est difficile à calculer car elle ne peut être exprimée qu'en termes numériques et non analytiques.
- 📊 La seule primitive connue pour e^{-x^2} est l'intégrale de e^{-x^2} de 0 à l'infini.
- 🧮 Pour calculer l'intégrale de Gauss, il est nécessaire d'utiliser des techniques approfondies telles que le changement de variables.
- 📐 Le changement de variables est essentiel pour passer d'un système de coordonnées cartésien à un système de coordonnées polaires.
- 📈 L'intégrale de Gauss peut être transformée en une intégrale double en utilisant le changement de variables.
- 📖 Le déterminant de la matrice Jacobienne est crucial pour le changement de variables et doit être pris en compte lors de l'intégration.
- 🔢 L'intégration sur un nouveau domaine après changement de variables nécessite de multiplier par le déterminant de la matrice Jacobienne.
- 🌀 L'intégrale de Gauss peut être réécrite comme une intégrale sur un nouveau domaine en utilisant les nouvelles variables définies par le changement de variables.
- 📉 La primitive de l'intégrale de Gauss est obtenue en intégrant la fonction exponentielle de -r^2 par rapport à r et en appliquant les bornes d'intégration appropriées.
- 🎯 La conclusion de l'intégrale de Gauss montre que la racine carrée de π est impliquée, ce qui est une propriété importante en mathématiques.
Q & A
Qu'est-ce que l'intégrale de Gauss et pourquoi est-elle importante?
-L'intégrale de Gauss est une intégrale définie sur l'ensemble des réels qui ne possède pas d'antidérivée élémentaire. Elle est importante car elle sert de base dans de nombreux domaines de la physique et des mathématiques, notamment en statistique avec la distribution gaussienne.
Quels sont les défis pour calculer l'intégrale de Gauss?
-Calculer l'intégrale de Gauss est difficile car il n'existe pas de primitives élémentaires pour la fonction de Gauss, et il faut recourir à des techniques numériques ou des tables de valeurs pour obtenir des résultats approximatifs.
Quelle est la relation entre l'intégrale de Gauss et l'intégrale en l'infini de x^2 e^(-x^2)?
-L'intégrale de Gauss est directement liée à l'intégrale en l'infini de x^2 e^(-x^2), car c'est la primitive de cette dernière fonction qui est recherchée et qui est connue uniquement numériquement.
Comment la substitution de variables peut-elle aider à calculer l'intégrale de Gauss?
-La substitution de variables permet de simplifier l'expression de l'intégrale et de la réécrire sous une forme qui peut être traitée plus facilement, permettant ainsi de trouver une primitive ou une valeur numérique pour l'intégrale.
Quels sont les changements de variables utilisés dans le script pour calculer l'intégrale de Gauss?
-Le script mentionne l'utilisation de changements de variables polaires pour simplifier l'intégrale double associée à l'intégrale de Gauss.
Pourquoi le changement de variables polaires est-il efficace pour calculer l'intégrale de Gauss?
-Le changement de variables polaires est efficace car il permet de transformer l'intégrale double en une intégrale plus simple sur un domaine qui est le produit de deux intégrales simples, ce qui facilite le calcul.
Quelle est la valeur de l'intégrale de Gauss pour x = 1?
-Dans le script, il est mentionné que les valeurs de l'intégrale de Gauss pour x = 1 et d'autres valeurs de x sont connues uniquement par des tables de valeurs numériques, sans forme analytique explicite.
Comment le script aborde-t-il la question de l'intégrabilité de l'expérience yale de x^2 e^(-x^2)?
-Le script explique que l'expérience yale de x^2 e^(-x^2) est intégrable car sa primitive en l'infini est connue, ce qui est utilisé pour simplifier le calcul de l'intégrale de Gauss.
Quelle est la signification de l'expression 'l'intégrale en l'infini et l'infini de lambda e^(-x^2)' utilisée dans le script?
-Cette expression fait référence à l'intégrale de Gauss elle-même, où 'lambda' est utilisé comme une variable de substitution pour 'x', et l'intégrale est évaluée sur l'intervalle allant de -∞ à +∞.
Comment le script conclut-il la valeur de l'intégrale de Gauss?
-Le script conclut que la valeur de l'intégrale de Gauss est strictement positive et implique la racine carrée de π, en utilisant des techniques de changement de variables et des propriétés des intégrales doubles.
Outlines
🔢 Introduction au calcul d'intégrales complexes
Dans cette section, l'auteur présente la difficulté de calculer l'intégrale de Gauss, une intégrale qui ne peut pas être résolue analytiquement à cause de l'absence de primitives en fonctions élémentaires pour l'exponentielle de -x². Il explique que les valeurs de cette intégrale sont connues numériquement pour des points spécifiques, mais qu'une méthode est nécessaire pour l'évaluer entre -∞ et +∞. Il introduit une approche basée sur le carré de l'intégrale pour simplifier le calcul.
🔀 Utilisation des intégrales doubles et changement de variables
L'auteur développe la stratégie pour calculer l'intégrale en discutant l'utilisation d'une intégrale double. Il introduit le changement de variable en coordonnées polaires comme méthode clé pour résoudre l'intégrale. Il rappelle les conditions nécessaires pour effectuer un changement de variable et définit les nouvelles variables x et y en termes de r et θ, tout en mentionnant l'importance du déterminant jacobien pour cette transformation.
📐 Calcul du déterminant jacobien et résolution de l'intégrale
Cette section décrit en détail le calcul du déterminant jacobien pour les coordonnées polaires, en dérivant chaque composante par rapport aux nouvelles variables. L'auteur montre comment le jacobien simplifie à r, ce qui permet de reformuler l'intégrale initiale. Ensuite, il explique comment intégrer par rapport à θ et r, en indiquant que l'intégrale sur θ donne 2π, et que l'intégrale sur r nécessite une primitive pour résoudre l'exponentielle de -r².
🔍 Résultat final et conclusions
L'auteur conclut le calcul en montrant que l'intégrale donne √π, après avoir évalué les limites de l'intégrale. Il souligne que l'intégrale est positive car l'exponentielle est toujours positive. Il termine en récapitulant les étapes principales du processus, tout en invitant les spectateurs à poser des questions pour clarifier certains concepts. L'intégrale finale est confirmée comme étant √π.
Mindmap
Keywords
💡intégrale
💡expérience de Gauss
💡primitive
💡fonction élémentaire
💡valeurs numériques
💡changement de variables
💡variables polaires
💡intégrale double
💡matrice jacobienne
💡fonction exponentielle
Highlights
Présentation d'une méthode pour calculer l'intégrale de Gauss
Explication de l'intégrale de Gauss et de sa difficulté à calculer
Mention de l'absence de primitives élémentaires pour l'intégrale de Gauss
Introduction de la seule primitive connue pour l'intégrale de Gauss
Discussion sur la valeur numérique de l'intégrale et l'absence de version analytique
Utilisation de tables pour les valeurs de l'intégrale de Gauss pour certains x
Introduction de la technique de calcul pour l'intégrale entremont a fini et l'infini
Lien entre l'intégrale au carré et la valeur définie
Explication du produit de l'intégrale avec elle-même
Substitution de x par y pour montrer l'indépendance par rapport à la variable d'intégration
Introduction de la notion d'intégrale double
Transformation de l'intégrale en une forme qui permet de réduire la complexité
Utilisation des propriétés de l'expérience pour simplifier l'intégrale
Importance du changement de variables dans le calcul de l'intégrale
Description du changement de variables et de son application
Introduction du changement de variables polaire pour calculer l'intégrale
Explication du changement de variables polaire et de la matrice jacobine
Calcul du déterminant de la matrice jacobine pour le changement de variables polaire
Transformation de l'intégrale en utilisant le changement de variables polaire
Définition des nouvelles bornes d'intégration après le changement de variables
Calcul de l'intégrale en utilisant la nouvelle forme et les nouvelles bornes
Détermination de la primitive de la fonction pour l'intégration
Calcul de la limite de l'intégrale趋于无穷大时的值
Conclusion sur la valeur de l'intégrale de Gauss et son interprétation
Invitation aux questions et commentaires pour une meilleure compréhension
Transcripts
bonjour à tous donc dans cette vidéo je
vous présentais comment calculer
l'intégrale de gaz donc l'intégrale de
klaus que fait appeler y est les données
par l'intégrale en tout on a fini et
l'infini de l'expérience yale de miles
carrés et x et cette intégrale est très
difficile à calculer puisqu'il n'existe
pas de primitives en fonctions
élémentaires de l'expérience et de maïs
et riz c'est à dire la seule primitive
de pub puissance miles carrés c'est
l'intégrale en l'infini et x 2'
puissance augmentée car et été et cette
intégrale là on ne la connaît que
numériquement on peux pas en donner une
version analytique
donc on a des tables qui nous donne les
valeurs pour x égal 1 pour x et gâteaux
etc
mais on ne connaît pas une fonction
explicite donc pour calculer l'intérêt
lentement à l'infini et l'infini de
l'expérience et de maïs cas il va
falloir trouver des techniques qui vont
nous permettre de calculer cette
intégrale entremont a fini et l'infini
donc pour ça on va considérer hic est
lié au carré et remarquer que cette
intégrale au carré a une valeur définie
et ensuite on va pouvoir trouver du coup
y donc y au carré ça va être du coup le
produit de l'intégrale avec elle même
donc l'expérience celle de maxi reddick
ce produit avec la même la même chose
donc les princes de dexia dx
ensuite j'ai remplacé ici x par y
donc ça ne change absolument rien
puisque je change simplement le nom de
la variable et ça m'est utile pour en
gros montrer que ça ça ne dépend pas de
ce paramètre d'intégration donc je peux
appeler ça lambda est rentré le
lendemain dans cette intégrale
donc on va voir cette intégrale
qui était quelle est la part on a fini
et l'infini de lambda ex white sky
on va rentrer du coup la valeur de
l'onda donc c'est simplement que je
rentre cette intégrale hormones a fini
et l'infini et comment y arriver grec a
multiplié avec moi exquis ray intégré
par rapport au x et et maintenant on
remarque qu'on a
l'intégrale d'une intégrale et ça c'est
en fait l'intégrale double puisque je
peux encore rentrer explique ce qui a
réduit cette intégrale on a vraiment
l'intégra lentement a fini et l'infini
de l'intégrale anton a fini et l'infini
de l'expérience celle de mois x car est
exponentielle demain y carré dx des
grecs
et là c'est une intégrale double donc
j'ai simplement dit que le produit de
deux intégrales et n'a trial double ce
qui est un fait direct dans le calcul
les intégrales double donc maintenant on
a ceci je pourrais écrire comme la
dynamique donc manage raté j'ai dire que
c'est l'intégrale sur r2 puisque c'est
les deux bornes soit exactement la fine
il a fini donc c'est l'intérêt sur r2 de
l'expérience l2 - x carré plus y aller
par les propriétés d'expérience yale
intégré par ares 1 x est paranoïaque et
maintenant intervient la partie la plus
importante de ce calcul c'est le
changement de variables parce qu'on va
vouloir changer de variables on va
vouloir changer encore donné polaire
pour pouvoir calculer cette intégrale et
donc il faut se souvenir de ce qu'un
seulement deux variables
donc j'ai rappelé par la même occasion
ce qui est un changement de variable
donc supposons qu'on veut intégrer sur
un ensemble v une fonction qui dépend de
xy
donc on va noter x et y comme une
fonction d'autres variables c'est ça le
changement de variables on va noter xy
comme une fonction fille de r&d de ta
par exemple et donc le changement ne va
pas donner par une intégrale sur une
housse v6 fier spécifié après qu'elle
ait l'ensemble plus de f évalué en fit
de r est et a donc on remplace xy par
air et état et il faut multiplier sa
part la dérive et qui va être le jacquot
bien de notre changement de variable
donc le déterminant de la matrice
jacquot bienne deux filles en l'air et
états et donc il faut maintenant intégré
par rapport à des aides d'état
donc en fait pour voir cette formule il
faut que le changement de variables soit
une fonction de hull dans v directives
et continuer dérive abl donc et c'est un
dû
donc ça c'est la condition mais cette
condition d'être vérifiées tant d'autres
changements de variables encore donné
polaire parce que le changement encore
donné polaire il est donné par xy égale
ag2r deux états je vais appeler phi phi
de r2 teta qui a des qui va être donnée
par casco stay here cimt et a donc notre
fille de l'air et et à sa lettre r que
cette 1ère cet état et du coup notre
ensemble vela cr2 donc quelle va être
notre ensemble plus si on veut avoir xy
si on veut avoir comme n'importe quel
point dans notre espace r2 soit décrit
par un angle d'état et une distance
r il faut que m soit entre zéro et
l'infini et que tu es tu as entre 0 et 2
pi et si on n'a que air et en zéro et
l'infini était à antero hadopi alors on
peut décrire n'importe quel point r2
donc ça ça va être une façon de lui ça
va être le produit de zéro à l'infini
pour air produits cartésien avec zéro
hadopi porte et à mannheim en cas
déterminé le jacquot bien donc
le déterminant de la matrice château
bienne deux filles lyon est donc ça
c'est la valeur à tous les déterminants
de la matrice jacobine d'amatrices
jacques aubaine pour rappel choco bn de
fi erté tas c'est la matrice première
ligne on va dériver uniquement la
première composante de fille pourra
dériver
fille 1 par rapport à dr ensuite on va
dériver fille deux filles 1 par rapport
à l'état pardon et ensuite on va dériver
figure par rapport à air et fit 2 par
rapport à tête
prayssas m à combien du coup la fille
fille c'est à dire que c'est à ercis et
a donc fait un seiler costa et fille de
cr7 a donc la matrice jacobine de filles
dans ce cas là ça va être tout
simplement la dlv de fillon qui va être
par rapport à air qui va être que cet
état dérivés par rapport à petacchi m -
rsync et à dériver par rapport à air qui
va être du coup sint états et des
limites 8,2 par rapport à tes tachymètre
r.costa donc le déterminant de cette
matrice en valeur absolue du coup ça va
donner par la valeur absolue
deux aires que ce qui a été ta plus air
qui a réussi à redon est un signe qu'ils
arrêtaient pas tout simplement
multipliée air que c'est à costa et
soustraits par - rc une carte états qui
fait donc plus chers et donc ça puisque
que scary piscine car est égal à ça nous
donne la valeur absolue de m et puisque
l'air est positif ça nous donne
simplement rien donc on a trouvé le
jacquot bien on peut maintenant faire le
chemin de variables donc lhi carrés qui
était pour rappel intégral sur r2 de
l'expérience y l2 - ex carré plus y car
et intérêts par rapport à des x et y
ça va maintenant être intégrale sur
d'autres ensembles une de l'ex potentiel
de moins
le changement de variables fille qui va
nous donner du coup x ça va être sûrs
que c'est à dunkerque haricots scarlett
et à y sava etre rsync et a donc erquy
racing cars et état on doit multiplier
par le jacquot bien qui pour rappel est
tr et maintenant noté que par rapport à
des états donc puisque que ce qui arrive
piscine car est égale 1 ça nous donne
l'intégrale sur u2 l'exponentielle de
moi r carrés à x
r comme un jeu met devant tous un père
et par rapport à dr dette et a donc
maintenant je vais spécifié quels sont
les bornes d'intégration donc on intègre
airs par rapport à 0 entre zéro et
l'infini et en intègrent par rapport à
tu et à entre 0 et 2 bis et ça on
intègre du coup rx2 - m²
donc là c'est cette notation c'est
simplement pour spécifier les bandes
d'intégration mais là on nous a noté
groupe bien par rapport à tes tas et par
rapport à air notre fonction qui entre
parenthèses maintenant puisque ça ça
dépend pas tout état on peut sortir lève
l'intégrale de l'état
et multiplie du coup par l'intégrale
entre zéro et l'infini de m extraits p r
cette intégrale va simplement nous
donner de pin et cette intégrale donc du
coup fait égal à 2 pi soit l'intégrale
entre zéro et l'infini de air expo rdr
et il faut trouver un primitive de cette
fonction donc une primitive de l'air
expiré ce texte de molière carré puisque
on va dériver il va y avoir moins deux
heures donc il faut multiplier par moins
-1 et utilisé par dieu
donc on vérifie la dérive et ça par
rapport à air ça va être moins errecart
et pardon - donc la dérive et interne
qui va être moins 2 r x fois la fonction
dérivés qui va être du coup moins
experts carrés sur deux est donc ça a
tout simplement nous donner comme prévu
r ex - virtual assure de tout ça pour
dire qu'on a donc notre primitive à
intégrer avec les bornes donc qui est
qu'ils étaient moins ex mariah carey sur
deux intégrés entre air égal zéro et
régale l'infini donc ça nous donne de
pie x un air égale l'infini ceci vaut
zéro la limite entre scolaire tend vers
l'infini de l'ex demain l'exponentielle
dommage car il vaut zéro
et on soustrait par mois l'expérience
yale 2 0 sur deux donc ça nous donne
tout simplement de pie x une demi donc
pu donc on a montré que ecaré fopits ce
qui implique que ivo plus ou moins la
racine de pi or puisque il doit être
strictement positif pourquoi parce que
ceci est strictement positif
l'exponentielle d'un nombre est de toute
façon positive exponentielle positif
donc la racine elle parle l'intégrale
d'une positive positive donc c'est
intégral doit être positive
donc ça implique c'est ainsi que
l'intégrale est tout simplement racines
depuis donc j'espère que cette vidéo
vous a plu si jamais vous êtes des
questions pour une quelconque étape de
la vidéo n'hésitez pas à la pause et
donc voilà donc je réécris juste s'était
rassis copie donc n'hésitez pas à poser
votre question de ne pas sauter ce pas
ce commentaire si vous voulez que je
réexplique des concepts des intégrales
multiples faites le moi savoir
j'espère cette vidéo vous a plu et on se
retrouve à bientôt
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