LÍMITES - Definición, Características, ejemplos
Summary
TLDREl vídeo ofrece una introducción a los límites en matemáticas, explicando la definición intuitiva y cómo se calculan. Se ilustra con ejemplos cómo aproximarse a un punto determinado en el eje x y observar el comportamiento de la función en el eje y. Se abordan métodos para encontrar límites, como análisis gráfico, tablas de valores y evaluación directa, y se enfatiza la importancia de entender la definición real del límite frente a la simplicidad del reemplazo directo en funciones continuas. Además, se menciona la necesidad de considerar límites laterales en funciones discontinuas.
Takeaways
- 📘 La definición de límite de una función f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la variable y cuando x tiende a x0.
- 📐 Se ilustra el límite con una gráfica, donde se representa cómo se comporta la función a medida que x se acerca a x0.
- 📈 Se explica que para encontrar el límite se analizan los valores aproximados de la función cuando x se acerca a x0 tanto desde la izquierda como desde la derecha.
- 🔍 Se enfatiza la importancia de la palabra 'tiende', que indica la aproximación a un número sin necesariamente alcanzarlo.
- 📊 Se presenta un ejemplo con una función lineal para ilustrar cómo se calcula el límite y cómo se acerca a un valor específico al analizar desde ambas direcciones.
- 📊 Se resuelve un ejercicio práctico para encontrar el límite de la función f(x) = x^2 - 1 cuando x tiende a 2, utilizando la gráfica y la aproximación de valores.
- 📋 Se menciona la utilización de tablas de valores como un método para determinar límites, demostrando cómo se reemplazan valores cercanos a x0 en la función para analizar su comportamiento.
- ✅ Se destaca que la evaluación directa de la función en x0 es posible solo para funciones continuas y no siempre es aplicable, especialmente en casos de indeterminación.
- 🔄 Se aborda la necesidad de analizar límites laterales en funciones discontinuas, donde se evalúan los límites desde la izquierda y derecha por separado.
- 📉 Se ilustra la diferencia entre límites laterales y límites centrales con un ejemplo de una función a trozos, donde los límites desde ambas direcciones hacia el mismo punto pueden dar resultados distintos.
Q & A
¿Qué es el límite de una función en matemáticas?
-El límite de una función f(x) en un punto x=x0 es el valor al que tiende la variable y cuando x tiende a x0. Se interpreta como el comportamiento de la función a medida que x se acerca a x0, sin necesariamente llegar a x0.
¿Cuál es la diferencia entre un límite y una evaluación directa de una función?
-Un límite busca entender hacia qué valor se acerca la función cuando la variable x se aproxima a un cierto valor, sin necesariamente llegar a ese valor. Una evaluación directa, por otro lado, implica calcular el valor de la función en un punto específico, reemplazando el valor de x directamente en la función.
¿Por qué es importante entender la definición intuitiva del límite antes de analizar gráficamente o mediante tablas?
-La definición intuitiva del límite ayuda a comprender que el límite no es simplemente reemplazar un valor en la función, sino entender cómo la función se comporta cerca de ese punto. Esto es crucial para interpretar correctamente los gráficos y las tablas de valores, y para saber si un límite existe o no.
¿Qué significa 'x tiende a x0' en el contexto de límites?
-La expresión 'x tiende a x0' indica que el valor de x se acerca arbitrariamente cerca de x0, pero no necesariamente alcanza exactamente x0. Es una forma de describir el concepto de aproximación en matemáticas.
¿Cómo se determina si un límite existe para una función discontinua?
-Para una función discontinua, se deben analizar los límites laterales (izquierda y derecha) individualmente. Si ambos límites laterales existen y son iguales, entonces el límite en ese punto existe y coincide con el valor de los límites laterales. Si no son iguales, el límite no existe.
¿Qué es una función lineal y cómo se representa gráficamente?
-Una función lineal es una relación entre dos variables que forma una línea recta cuando se representa gráficamente. Se caracteriza por tener la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es el intercepto y. Gráficamente, se representa como una línea que intersecta el eje y en un punto y tiene una inclinación determinada.
¿Cuál es la importancia de las tablas de valores en el estudio de límites?
-Las tablas de valores son una herramienta útil para aproximar límites, especialmente cuando la función es compleja o no continua. Permiten observar cómo varía la función a medida que x se acerca a un punto específico, lo cual puede ayudar a determinar si el límite existe y cuál es su valor.
¿Qué significa una 'indeterminación' en el contexto de límites?
-Una indeterminación en el contexto de límites ocurre cuando intentamos evaluar el límite de una función en un punto y el resultado es una expresión de la forma 0/0 o infinito/infinito. Esto indica que no se puede determinar el límite mediante una evaluación directa y se requiere otro método, como factorización o análisis de límites laterales.
¿Cómo se determina el límite lateral de una función a trozos?
-El límite lateral de una función a trozos se determina analizando el comportamiento de la función desde la izquierda y desde la derecha hacia el punto de discontinuidad. Se calcula el límite de la parte derecha de la función (límite izquierdo) y el límite de la parte izquierda de la función (límite derecho). Si ambos límites laterales son iguales, entonces el límite existe y coincide con ese valor.
¿Por qué es recomendable conocer la definición real del límite antes de utilizar métodos de aproximación como la gráfica o la tabla de valores?
-Conocer la definición real del límite ayuda a comprender que el objetivo no es simplemente encontrar el valor de la función en el punto de interés, sino entender el comportamiento de la función cerca de ese punto. Esto evita malentendidos y errores en la interpretación de los resultados obtenidos mediante gráficas o tablas de valores.
Outlines
📚 Introducción a los límites matemáticos
El primer párrafo explica la definición y características de los límites en matemáticas. Se menciona que el límite de una función f(x) en un punto x₀ es el valor que tiende la variable y cuando x se acerca a x₀. Se utiliza una gráfica para ilustrar cómo el límite se representa y se lee. Se describe el proceso de acercarse a un punto x₀ (en este caso, el número 4) desde la izquierda y derecha en el eje x, trazando líneas verticales hacia la función y horizontales hacia el eje y para encontrar el límite. Se resalta la importancia de la palabra 'tiende' y cómo se interpreta en el contexto de los límites. Se explica que al acercarse al 4 desde ambos lados, los valores de la función en el eje y tienden al 2, lo cual se convierte en el resultado del límite de la función en ese punto.
📐 Análisis de límites mediante gráfica y tabla de valores
El segundo párrafo profundiza en el análisis de límites mediante gráfica y tabla de valores. Se presenta un ejercicio para encontrar el límite de la función x^2 - 1 cuando x tiende a 2. Se describe el proceso de acercarse al 2 desde la izquierda y derecha, observando cómo los valores en el eje y se acercan al 3. Se introduce la tabla de valores como un método para analizar límites, donde se reemplazan valores cercanos a x₀ (en este caso, 2) en la función y se observan los resultados en el eje y. Se destaca la utilidad de la gráfica y la tabla de valores para comprender los límites, incluso cuando la evaluación directa de la función en x₀ es posible y sencilla.
🔍 Consideraciones sobre el reemplazo directo y límites laterales
El tercer párrafo explora las limitaciones del reemplazo directo en la evaluación de límites y presenta el concepto de límites laterales. Se menciona que el reemplazo directo no siempre es factible, especialmente en funciones que no son continuas. Se utiliza un ejemplo de una función racional para ilustrar cómo el reemplazo directo puede resultar en una indeterminación. Se sugiere el uso de una tabla de valores para resolver este tipo de límites. Además, se introduce el análisis de límites laterales en funciones discontinuas, donde se evalúan los límites desde la izquierda y derecha por separado. Se explica que para que un límite exista, los límites laterales deben coincidir. Se utiliza un ejemplo de una función a trozos para demostrar cómo los límites laterales pueden tener valores diferentes, lo que implica que el límite no existe en ese punto.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Aproximación
💡Función lineal
💡Gráfica
💡Continuidad
💡Indeterminación
💡Factorización
💡Límites laterales
💡Función a trozos
💡Reemplazo directo
Highlights
Definición intuitiva del límite de una función.
Importancia de la palabra 'tiende' en la definición de límite.
Análisis de la función lineal y cómo se representa gráficamente el límite.
Determinación del límite de una función lineal cuando x tiende a 4.
Diferenciación entre acercarse desde la izquierda y desde la derecha al punto de límite.
Resultado del límite de la función lineal cuando x tiende a 4.
Introducción al ejercicio de encontrar el límite de x al cuadrado menos uno cuando x tiende a 2.
Análisis gráfico para encontrar el límite de la función mencionada.
Diferenciación entre aproximaciones desde la izquierda y desde la derecha al punto de límite.
Resultado del límite de la función cuando x tiende a 2.
Método de la tabla de valores para encontrar límites.
Análisis de los valores obtenidos en la tabla de valores para el límite de x al cuadrado menos uno.
Evaluación directa del límite en la función.
Dificultades del reemplazo directo en funciones no continuas.
Introducción al concepto de límites laterales en funciones discontinuas.
Análisis de la función a trozos y su límite cuando x tiende a 1 desde la izquierda y derecha.
Diferencia entre el límite lateral desde la izquierda y desde la derecha.
Conclusión de que el límite de la función a trozos en x=1 no existe debido a diferencias en los límites laterales.
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Transcripts
qué tal amigos hoy estudiaremos límites
la parte teórica definición y
características bien
comencemos dando lectura a la definición
el límite de la función f x en un punto
x sub zero es el valor al que tiende la
variable y cuando x tiende a x0 se debe
tomar en cuenta que esta es la
definición intuitiva del límite que ya
vamos a explicarte que tratar con la
ayuda de esta gráfica al límite se la
representa de esta manera y se lee el
límite cuando x tiende a x sub zero de
la función fx igual a en donde x sub
zero es cualquier valor cualquier número
del eje x en cambio l es la variable y y
es el resultado del límite analicemos
esta función se trata de una función
lineal y la vamos a representar como efe
y el número que vamos a analizar será el
4 por lo tanto x0 equivale a 4 y el
objetivo es encontrar el valor de l
en este punto empezamos analizando la
definición del límite y comprendemos
esta palabrita tiende esto significa que
nos debemos aproximar a acercar a este
número seleccionado nos vamos al eje x
aquí se encuentra el 4 si yo me acerco
desde la izquierda y desde la derecha
tengo que ver qué sucede con la función
en el eje y eso significa tiende a
acercarse no deben olvidarse de esa
palabrita por lo tanto me acercaré desde
la izquierda y a medida que me voy
acercando al 4 voy trazando líneas
verticales hacia la función de esta
forma mire
y luego donde tope la función tras una
línea horizontal hacia el eje y y
obtengo esta representación seleccionó
un número más cercano al 4 entonces tras
una línea vertical hacia la función y a
partir de este punto tras una línea
horizontal hacia el eje y entonces miren
a medida que me acerco al 4 desde la
izquierda los valores de la función en
el eje y se acercan al 2 desde abajo se
están acercando hacia el 2 veamos qué
sucede en cambio si me acerco desde la
derecha hacia el 4 de igual manera
selecciona un número cercano al 4 y tras
una línea vertical hacia la función para
ver qué sucede con la misma ahora que
tenemos este punto tras una línea
horizontal hacia el eje jr y obtengo un
valor aproximado en el eje y de 2,4
veamos qué sucede sin hacer más al 4
desde la derecha seleccionamos este
punto me acerco a la función de forma
vertical y luego tras una línea
horizontal y miren lo que está pasando a
medida que me acerco desde la
hacia el 4 la función está tomando un
valor cercano al 2 desde arriba ya puedo
obtener el resultado del límite cuando x
tiende a 4 de la función me acerco desde
la izquierda me acerco desde la derecha
hacia el 4 lo que pasa con la función es
que desde abajo y desde arriba se están
acercando al 2 este es mi resultado
entonces tengo que 2 es el límite de la
función y es así como se encuentra el
resultado del límite tengo que analizar
los valores aproximados hacia el valor
seleccionado y ver qué sucede con la
función ver qué pasa con mi función en
el eje y prácticamente lo que vemos es
que en 4 cuando yo me acerco al 4
mientras más cerca esté al 4 la función
se va acercando en el eje y al número 2
qué les parece si resolvemos un
ejercicio y vamos comprendiendo aún más
de qué trata el límite vamos a encontrar
el límite cuando x tiende a 2 de la
función x al cuadrado menos
y para encontrar dicho límite se puede
optar por tres procedimientos o tres
análisis distintos que se pueden
realizar uno de ellos es mediante la
gráfica aquí tenemos la representación
gráfica de esta función y como vimos en
la introducción tenemos que analizar el
valor hacia donde tiende x que en este
caso es 2 así que nos vamos al eje x y
buscamos este numerito aquí se encuentra
analizamos los valores que se aproximan
a este número desde la izquierda y desde
la derecha empecemos desde la izquierda
y tomaré este valor tras una línea
vertical hacia la función y luego en
este punto una línea horizontal hacia el
eje y hasta ahí podríamos decir que
tenemos un valor de 125 aproximadamente
sigamos acercando al 2 desde la
izquierda voy a seleccionar este valor
me acerco hacia la función y luego tras
una línea horizontal continuamos tomemos
un valor más cercano al 2 mucho más
cercano y me acerco hacia la función con
una línea vertical
parece si tomamos un valor mucho más
cercano casi casi cerca del 2
bien aproximado entonces me acerco a la
función y luego línea horizontal y miren
lo que está pasando a medida que me
acerco al 2 desde la izquierda desde
abajo me estoy acercando al número 3 en
el eje y que pueden darse cuenta de eso
veamos qué sucede en cambio si me acerco
desde la derecha tomaré ya un valor bien
cercano al 2
este valor citó y vamos a acercarnos
hacia la función con una línea vertical
llegamos de la función y ahora una línea
horizontal las elegí y miren lo que pasó
también sin hacerlo desde la derecha
hacia el 2 me estoy acercando hacia el 3
pero desde arriba de tal manera que si
seleccionó el valor de 2 y tras una
línea hacia la función veamos qué sucede
llegué a la función y luego tras una
línea horizontal y el resultado entonces
de mi límite
por lo tanto el límite cuando x tiende a
2 de x al cuadrado menos uno es 3
básicamente me acerco al 2 desde la
izquierda y desde la derecha estoy
aproximando acercando y veo que sucede
con mi función en cambio en el eje y
puedo notar que se va acercando desde
arriba y desde abajo hacia el número 3
ahora como les mencioné para encontrar
el límite de una función se puede optar
por tres procedimientos el primero que
es la gráfica el segundo es mediante una
tabla de valores y la tabla queda de
esta manera en el centro de la tabla
vamos a ubicar el valor hacia donde
tiende x que es 2 y ahora desde la
izquierda y desde la derecha
seleccionamos valores cercanos al 2 un
valor cercano al 2 sería en 1.5 desde la
izquierda más cercano el 1,9 mucho más
cercano el 1,99 y si quiere un valor más
cercano 19999 no se olviden que entre el
199 hasta el 2 que existen aún infinitos
decimales infinito
números veamos qué sucede desde la
derecha un número cercano sería el 25
mucho más cercano el 21
queremos un número más cercano al 2 el
20 1 y si queremos un número más cercano
al 2 el 2000 01 ahora lo que hacemos con
estos valores es reemplazar en la
variable x de la función si reemplazamos
15 en la función obtendremos 125
reemplazamos del 19 y obtendremos 261
reemplazando en 199 obtendremos 296
veamos qué sucede desde la derecha si
reemplazamos el 2.5 5,25 para el caso
del 2,13 41 y finalmente el 2013 04
miren desde la izquierda a qué número me
estoy acercando este 296 aquí número 60
se aproxima al número 3
este 304 que número se está aproximando
también se aproxima al 3 desde la
izquierda y desde la derecha se
aproximan al mismo número por lo tanto
el límite de la función cuando x tiende
a 2 estrés que obviamente coincide con
el análisis gráfico y el último
procedimiento con el cual podemos
encontrar el límite de una función es la
evaluación directa es decir reemplazar
directamente este 2 en la función
abrimos paréntesis y copiamos 2 al
cuadrado menos 1 y resolvemos 2 al
cuadrado 4 menos 14 menos uno es 3 y
también hemos obtenido el mismo
resultado en los tres casos tenemos el
mismo valor que es 3 y posiblemente aquí
viene la pregunta de qué nos sirve
realizar la gráfica o la tabla de
valores si directamente puedo reemplazar
este numerito en la variable x y así
encontrar el límite de una forma rápida
y sencilla la respuesta es que no todas
las funciones son continuas en este caso
resultó fácil reemplazar
de dos en la función porque esta función
cuadrática es una función continua una
función polinomiales fácil de analizar
pero recordemos que tenemos un sinnúmero
de funciones mucho más complejas y
también se debe comprender que el límite
no es una evaluación directa del valor
hacia donde tiende x en la función sino
más bien el límite es encontrar valores
aproximados hacia donde tiende x para
analizar qué sucede con la función en el
eje y no se olvidan de eso el límite no
es evaluar pero es claro mencionar que
lo que más se utiliza es la evaluación
directa pero siempre y cuando nosotros
conozcamos la definición real de lo que
es el límite
veamos un ejemplo más bien resolvamos el
límite cuando existen de 3 de x al
cuadrado menos 9 sobre x 3 se trata de
una función racional y como expliqué
anteriormente podemos utilizar tres
procedimientos para resolver uno de
ellos es la grada
pero graficar esta función nos llevará
tiempo así que no es recomendable que
les parece si optamos por el reemplazo
directo o la evaluación directa de este
número en la breve equis entonces
tendremos 3 al cuadrado menos 9
esto sobre reemplazamos en x 3 y menos 3
igual 3 al cuadrado es 9 menos 9 sobre 3
menos 30 990 y esto sobre 0 acabamos de
obtener una indeterminación así que se
pueden dar cuenta que el reemplazo
directo no sirve para todas las
funciones sino simplemente para
funciones continuas o funciones
polinomiales entonces para resolver este
límite
podemos utilizar la tabla de valores
ubicamos el balón hacia donde tiende x
en la mitad de la tabla
ese número es 3 y empezamos a escribir
valores cercanos desde la izquierda y
desde la derecha teniendo el 2 desde la
izquierda un número más cercano el 2,5
mucho más cercano y el 2,9 más cercano a
1 el 2,99 veamos qué pasa desde la
derecha el más cercano es el 41 más
cercano del 35 tenemos el 3.1 y el 30
reemplazamos todos estos valores en
nuestra función y obtenemos los
siguientes resultados 555 59 y 599
pasemos al lado derecho empezamos con el
7 6 5 6 1 y 6 0 1 obviamente no vamos a
reemplazar el 3 porque ya sabemos que
obtendremos una indeterminación y lo que
debemos hacer es analizar los valores
obtenidos de asia qué números se están
aproximando y miren hacia donde nos
vamos aproximando 5.559 se está
aproximando al 6
qué pasa desde la derecha 7 6 5 6 1 6 0
1 también se va aproximando al 6 por lo
tanto con la ayuda de la tabla podemos
concluir que el límite de esta función
es 6 ahora ya pueden entender por qué el
reemplazo directo no representa la
definición del límite sino más bien el
tomar valores cercanos hacia el número
que estamos analizando eso es la
definición del límite de esa forma que
estamos encontrando el resultado que
necesitamos algo a tomar en cuenta es
que para resolver esta indeterminación
no siempre será factible utilizar la
tabla porque nos lleva mucho tiempo ahí
se utiliza un procedimiento de
factorización y ya veremos en vídeos
posteriores para finalizar con el vídeo
esperamos un poco de límites laterales
hasta el momento hemos estudiado
funciones continuas como son las
funciones polinomiales y también una
función racional en ambos casos el
límite de las funciones si existía
pero veamos qué sucede con esta función
a trozos podemos notar mediante la
gráfica que no es una función continua
entonces analicemos el límite de la
función cuando x tiende a 1 y ustedes se
preguntarán por qué tenemos dos límites
y eso se debe a que cuando trabajamos
con una función discontinua tenemos que
analizar desde la izquierda y desde la
derecha por separado cuando analizamos
desde la izquierda al numerito se le
pone un signo negativo
esto significa desde la izquierda está
re anotación y desde la derecha al
numerito se le pone un signo positivo
empecemos con el 1 desde la izquierda a
medida que tenemos valores cercanos
hacia el 1 la función tiene un resultado
de 2 si pueden notar a medida que nos
acercamos al 1 desde la izquierda la
función tiene un valor de 2 en el eje y
escribimos el resultado 2 se supone que
desde la derecha también a medida que me
acerco al 1 tengo que acercarme
al eje y al valor de 2 pero veamos qué
sucede me acerco hacia el 1 desde la
derecha
y qué pasa con la gráfica hacia donde
tiende la gráfica hacia 3 cuando me
acerco desde la derecha la gráfica se
aproxima o se acerca al 3 el resultado
de este límite es 3 cuando yo me acerco
desde la izquierda y desde la derecha
hacia el mismo número en el eje x pero
obtengo resultados diferentes en el eje
y significa que el límite de esta
función no existe porque para que el
límite exista estos dos numeritos deben
ser iguales como vimos en los ejemplos
anteriores si nos acercábamos desde la
izquierda desde la derecha obteníamos el
mismo resultado a esto se le conoce como
límites laterales que normalmente se
analizan en funciones a trozos bien
muchachos espero que este vídeo será
ayudar en próximos vídeos empezaremos a
calcular límites de diferentes funciones
así que les invito a suscribirse a este
canal sin más que tratar hasta la
próxima
[Música]
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Acercamiento al concepto de límite de una función.
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