Límite con cambio de variable 1

Summary

El guion trata sobre cómo resolver un límite indeterminado utilizando el cambio de variable. Se explica que al sustituir h por cero, el numerador da 0 y el denominador da 0, indicando un límite indeterminado. Se sugiere cambiar de variable para eliminar la raíz quinta, y se despeja h en términos de m. Al cambiar la variable, se resuelve el límite y se factoriza el numerador para simplificar la expresión. Finalmente, se evalúa el límite cuando m tiende a -1, obteniendo un resultado de 20/3.

Takeaways

• 🔢 Se presenta un ejercicio de cálculo de límite con una función que incluye una raíz quinta.
• 🤔 Al sustituir h = 0 directamente, se obtiene una forma indeterminada c/c.
• 🔄 Se sugiere usar la técnica de cambio de variable para resolver el límite indeterminado.
• 📐 Se explica que la técnica de racionalización no es adecuada para raíces de índice superior a 2.
• 🆕 Se introduce una nueva variable m para simplificar la expresión, cambiando h por una función de m.
• 🔄 Se despeja la variable h en términos de m, encontrando h = m^(5/3).
• 🔄 Se reescribe el límite original en términos de la variable m, facilitando la simplificación.
• 🔄 Se aplica la propiedad de los límites para factorizar y simplificar la expresión.
• 🔄 Se identifica que el límite sigue siendo indeterminado después de la simplificación inicial.
• ✅ Se resuelve el límite indeterminado mediante factorización y cancelación de términos.

Q & A

¿Cuál es el ejercicio que se presenta en el video?

El ejercicio consiste en calcular el límite cuando h tiende a cero de la función 4h sobre la raíz quinta de (3h - 1) más 1.

¿Por qué el límite presenta una forma indeterminada inicialmente?

El límite presenta una forma indeterminada porque al sustituir h por 0, el numerador se vuelve 0 (4 * 0 = 0) y el denominador también da 0, debido a que la raíz quinta de (-1) más 1 resulta en 0.

¿Por qué no es recomendable aplicar la técnica de racionalización en este caso?

No se recomienda la técnica de racionalización porque la raíz es de índice cinco, y racionalizar raíces de un índice superior a tres es un proceso complicado.

¿Qué técnica se sugiere para resolver el límite?

Se sugiere aplicar la técnica de cambio de variable para simplificar el problema y eliminar la raíz quinta.

¿Cuál es el cambio de variable propuesto para eliminar la raíz quinta?

El cambio de variable propuesto es definir m^5 = 3h - 1, de modo que la raíz quinta se cancele al trabajar con la nueva variable m.

¿Cómo se despeja h en términos de la nueva variable m?

Despejando h en términos de m, obtenemos que h = (m^5 + 1) / 3.

¿Qué sucede con el límite al cambiar de variable de h a m?

Al cambiar de h a m, el límite cambia a ser cuando m tiende a -1, porque al sustituir h = 0 en la ecuación original se obtiene que m^5 = -1, lo que implica que m = -1.

¿Por qué es necesario aplicar una factorización en el límite resultante?

Es necesario aplicar una factorización porque, después del cambio de variable, el límite sigue presentando una forma indeterminada 0/0, lo que se puede resolver factorizando el numerador.

¿Cuál es la factorización del polinomio m^5 + 1?

El polinomio m^5 + 1 se puede factorizar como (m + 1) * (m^4 - m^3 + m^2 - m + 1).

¿Cuál es el resultado final del límite después de simplificar y evaluar?

El resultado final del límite es 20/3, después de simplificar la expresión y evaluar m = -1 en la función factorizada.

Outlines

00:00

📚 Introducción al cambio de variable en límites

El vídeo comienza explicando cómo resolver un ejercicio de límites utilizando la técnica de cambio de variable. Se presenta una función con indeterminación de la forma 0/0 y se sugiere que la técnica de racionalización no es adecuada para raíces de índice superior a 2. En su lugar, se propone el cambio de variable para eliminar la raíz quinta, sugiriendo que si dentro de la raíz hay una variable elevada a la quinta potencia, se puede simplificar. Se da un ejemplo de cómo cambiar la variable 'h' por 'm', y se explica el proceso de despeje de 'h' en términos de 'm'.

05:00

🔍 Análisis del cambio de variable y simplificación

Se continúa el análisis del cambio de variable, reemplazando 'h' por 'm' en la función y simplificando la expresión. Se señala la importancia de adaptar la tendencia de la variable 'm' cuando se hace el cambio de variable. Se discute cómo, aunque 'h' tiende a cero, 'm' tiende a -1, y se sugiere que ambos límites serán iguales. Se plantea la necesidad de aplicar técnicas adicionales para resolver la indeterminación en el límite.

10:01

🔢 Aplicación de factorización para resolver el límite

El vídeo concluye con la factorización del numerador para resolver la indeterminación en el límite. Se sugiere la división sintética como técnica de factorización y se proporciona una factorización específica del numerador. Se explica cómo, después de la factorización, se puede cancelar un término común y se evalúa el límite cuando 'm' tiende a -1, obteniendo un resultado final de 20/3.

Keywords

💡Límite

El límite es un concepto fundamental en el cálculo que se refiere a la tendencia de una función cuando el argumento se acerca a un cierto valor. En el vídeo, el límite es el objetivo principal de estudio, donde se busca entender cómo se comporta la función cuando 'h' tiende a cero. Se menciona que el límite puede presentar una forma indeterminada, lo que requiere técnicas especiales para resolverlo.

💡Cambio de variable

La técnica de cambio de variable es una estrategia utilizada para transformar una expresión matemática de manera que se facilite su análisis o resolución. En el vídeo, este método se aplica para 'deshacerse' de una raíz quinta complicada, cambiando la variable 'h' por 'm', lo que permite simplificar el límite y eliminar la raíz.

💡Forma indeterminada

Una forma indeterminada en cálculo ocurre cuando una expresión algebraica no puede ser evaluada directamente debido a su estructura. En el guion, se menciona que el límite inicial presenta una forma indeterminada de tipo '0/0', lo cual indica que se requiere una técnica diferente para evaluarlo.

💡Racionalización

La racionalización es una técnica usada para simplificar expresiones algebraicas que involucran fracciones, eliminando radicaciones del denominador. Aunque se menciona en el vídeo, se señala que no es adecuada para raíces de índice superior a 2, como la quinta, y por eso se opta por el cambio de variable.

💡Despeje

El despeje es el proceso de aislar una variable en una ecuación. En el vídeo, se realiza un despeje de 'h' en relación con 'm', lo cual es esencial para reescribir el límite en términos de la nueva variable y proceder con el análisis.

💡Factorización

La factorización es el proceso de expresar una función o polinomio como el producto de sus factores. En el vídeo, se sugiere usar la factorización para resolver el límite una vez que se ha cambiado la variable y se ha identificado que el numerador sigue siendo indeterminado.

💡División sintética

La división sintética es un método para factorizar polinomios, que consiste en dividir el polinomio por otro de menor grado. Aunque no se explica detalladamente en el vídeo, se menciona como una técnica para factorizar el numerador una vez que se ha cambiado la variable.

💡Propiedades de los límites

Las propiedades de los límites son reglas que permiten manipular expresiones en límites de funciones. En el vídeo, se usa la propiedad de que una constante multiplicando una función puede ser retirada del límite para simplificar la expresión.

💡Indeterminación

La indeterminación en matemáticas se refiere a una situación donde una expresión algebraica no puede ser evaluada directamente. En el vídeo, la indeterminación aparece cuando el límite sigue siendo de la forma '0/0' incluso después de aplicar el cambio de variable.

💡Evaluación

La evaluación es el proceso de calcular el valor de una expresión dada. En el vídeo, la evaluación se refiere a la acción final de reemplazar 'm' por '-1' para determinar el valor del límite.

Highlights

Introducción al ejercicio de cálculo de límites utilizando la técnica de cambio de variable.

Explicación de la necesidad de verificar si el límite es indeterminado antes de aplicar técnicas de cálculo.

Proceso de sustitución para determinar si el límite es directo o presenta indeterminación.

Observación de que el numerador tiende a cero y el denominador a cero, indicando un límite indeterminado.

Decisión de aplicar la técnica de cambio de variable en lugar de racionalización debido a la complejidad de la raíz quinta.

Explicación detallada del proceso de cambio de variable para eliminar la raíz quinta del denominador.

Descripción del cambio de variable donde se introduce una nueva variable m elevada a la quinta potencia.

Proceso de despeje de la variable original h en términos de la nueva variable m.

Cambio de la tendencia de la variable original h a la nueva variable m y su impacto en el límite.

Análisis de la persistencia de la indeterminación incluso después del cambio de variable.

Decisión de aplicar la técnica de factorización para resolver la persistencia de la indeterminación.

Reescritura del límite en términos de la variable m para facilitar la factorización.

Extracción de la constante del numerador para simplificar el proceso de factorización.

Aplicación de la división sintética para factorizar el numerador del límite.

Cancelación de términos comunes en el numerador y denominador después de la factorización.

Evaluación del límite cuando m tiende a -1 y la sustitución de m por -1 para obtener el resultado final.

Conclusión del cálculo del límite,得出最终结果为 20/3.

Transcripts

Hola a todos Espero se encuentren bien

en esta ocasión nos dedicaremos a

trabajar en este ejercicio que puede ser

resuelto mediante la técnica de cambio

de variable el ejercicio dice lo

siguiente resuelva límite cuando h

tiende a cero d y vean que la función

que nos brindan en este caso Es 4h sobre

la raíz quinta de 3h - 5+ 1 bueno veen

que en este caso lo primero que

tendríamos que hacer es verificar si el

límite presenta alguna forma

indeterminado si es un límite directo

para ello Recuerden que basta con

sustituir este valor en la función que

nos Entonces sería tendríamos en el

numerador 4 por 0 Y en el denominador

tendríamos la raíz

quinta de 3 * 0 - 1 más el 1 que tenemos

fuera de la raíz Pero si ustedes se

fijan bueno en el numerador 4 por0 Nos

está dando 0 definitivamente y en el

denominador lo que tenemos

es 3 * H - 1 + 1 es decir 3 * 0 nos da 0

entonces tendríamos la raíz quta de -1

pero la raíz quta de -1 es -1 Y si a -1

yo le sumo 1 pues vean que también

estamos cayendo en cero por lo tanto

estamos en un límite que presenta forma

indeterminada c entre C Qué técnica

podríamos aplicar Bueno aquí Alguien

podría tal vez confundirse y pensar que

eh Bueno de hecho no sería confundirse

pensar en en utilizar la técnica de

racionalización lo que pasa es que

racionalizar esa raíz quinta no es un

proceso Tan sencillo De hecho de de un

índice superior a tres pues ya no es un

proceso Tan sencillo de la

racionalización por eso la aplicamos a

raíces cuadradas y a raíces

cúbicas de ahí en adelante es

conveniente pues usar Esta técnica de

cambio de variable ya les voy a a

comentar En qué

consiste tenemos que ver De qué manera

nos deshacemos de esa raíz entonces

Bueno copiemos el el enunciado del

límite veen que estamos calculando el

límite cuando h tiende a cer0 de la

función y vean que la función que nos

están dando es

4h y en el denominador lo que tenemos es

la raíz quinta de 3h - 1 y por ahí pues

tenemos un más un fuera de la raíz hay

que tener mucho cuidado con esos

detalles lo que les decía verdad

necesitamos de alguna manera deshacernos

de esa raíz Pero la única manera de

deshacernos de esa raíz es que dentro de

esa raíz tuviéramos algo elevado a la

c cualquier cosa elevada a la 5

particular ente podríamos decir una

variable ahí cualquiera m elevada a la 5

por qué bueno porque recordemos que esto

por propiedades da m o sea se cancela

Entonces vamos a hacer el siguiente

cambio de variable que nos va a ayudar a

deshacernos de

esa de esa raíz vamos a decir

sea y veen que nosotros lo que

necesitamos quitar es eso que hay dentro

de la raíz y convertirlo por algo que

elevado a la c entonces voy a decir esto

que hay dentro de la raíz voy a

convertirlo en m a la

c pero bueno cuando hacemos esto tenemos

que considerar que por ejemplo Aquí hay

una H verdad estamos viendo un cambio de

variable pero necesitamos entonces

reescribir este límite ahora solamente

en términos de la nueva variable m o sea

ya no puede aparecer la H aquí tenemos a

h y en el nuevo límite que vamos a tener

no puede aparecer la H solamente puede

aparecer la m entonces lo que se hace

usualmente es realizar un despeje de

esta de esta igualdad eh para h verdad

entonces bueno despejemos H vean que

este uno que está restando podríamos

pasarlo nosotros al otro lado a sumar y

nos quedaría m a la 5 +

1 y este tres que está

multiplicando pues entonces tendríamos

que pasarlo a dividir y nos quedaría que

m Perdón que H es igual a m a la 5 + 1

sobre 3 de esta manera ya tenemos el

despeje para h Por qué es importante

tener el despeje para h por la siguiente

razón vean lo que vamos a tener vamos a

tener límite cuando m tiende a a y aquí

voy a dejar un cuadrito y ya casi les

voy a explicar por qué dejo un cuadrito

ahí o un espacio en blanco d y ojo lo

que nos va a quedar acá dice que yo

tengo cuatro

por h Pero quién es h con mi cambio de

variable dice que H es m a la 5 + 1

sobre 3 Entonces yo tengo que cambiar

esta H

por m a la 5 + 1 sobre

3 y en el denominador qué voy a tener en

el denominador voy a tener la raíz

quinta de 3h -1 pero ya había dicho que

3h - 1 es m a la 5 igual si quieres

hacer el cambio de H por esto resuelves

las operaciones y al final de cuentas

vas a caer en m a la 5 Entonces como

ustedes gusten aquí sería entonces la

raíz quinta de m a la 5 más el un que

teníamos por ahí o sea todo esto lo

cambiamos por m a la

5 para qué hacemos Esto bueno para que

esta raíz se nos cancele con este 5 y

vean que entonces ya nos va quedando una

expresión un poco más sencilla de

trabajar sin embargo hay un pequeño

detalle acá y es que el momento en el

que ustedes decidan aplicar la técnica

de cambio de variable tenemos que hacer

un cambio en la tendencia de la variable

es decir inicialmente yo sabía que h

tendía a cero pero ahora yo no sé a

quién tiende m porque estoy haciendo un

cambio de variable pero es muy fácil

darse cuenta Eh Pues a entiende esta

nueva variable m por qué bueno porque ya

yo sé que h tiende a

cero pero si h tiende a cero ojo de esta

ecuación nosotros lo que podríamos decir

es que 3 * 0 -

1 es igual a m a la 5 pero si ustedes se

fijan 3 * 0 es 0 Entonces nos estaría

quedando que -1 es igual a m a la 5 y

cómo hago para despejar a m bueno vean

que m ahí la podríamos dejar aplicando

una raíz quinta a ambos lados sin

embargo la raíz quta de -1 nos da -1 por

lo tanto quiere decir que m en realidad

ahora tiende a

men1 Qué significa Esto bueno Esto

significa nada más y nada menos que

tanto este

resultado tanto este límite como este

límite nos van a dar exactamente los

mismos resultados Esa es la idea de

aplicar un cambio de variable entonces

claro Ya ahora tenemos un límite que no

tiene esa raíz quinta Bueno todavía la

tiene pero es que si ustedes aplican ahí

la propiedad que les había comentado

observen lo que nos queda límite cuando

m tiende a -1 d en el numerador

tendríamos entonces 4 * m a la 5 + 1

sobre 3 y en el denominador tendríamos

ra5 m la 5 que se cancela verdad lo que

les había comentado que era la idea

de este cambio de variable se cancela y

queda

M M + 1 y qué sigue en este punto bueno

tendríamos que verificar si este

límite Pues sigue presentando alguna

forma

indeterminada sin embargo este límite si

ustedes hacen ahí la prueba van a a

darse cuenta que

sigue apareciendo esa forma

indeterminada c Entonces tenemos que

aplicar alguna otra técnica y Qué

técnica podemos aplicar acá Bueno la

técnica que nosotros podíamos aplicar es

la técnica de factorización porque en

realidad lo que tenemos son puros

polinomios Entonces qué Vamos a hacero

vamos a reescribir esto de una manera

más bonita Porque este límite Así se ve

muy muy feo Entonces qué Vamos a poner

vamos a poner límite cuando m tiende a

-1

de quién y aquí es donde vamos a hacer

el cambio Si ustedes se fijan aquí sería

eh un 4/3 una constante verdad Entonces

saquemos esa constante de la fracción

para que ya no nos no nos siga

estorbando por ahí si yo saco el 4/3 que

es la constante Me quedaría entonces en

el numerador un m a la 5 +

1 Vamos a ponerlo por acá m a la 5 + 1

y en

el denominador Me quedaría M +

1 entonces Bueno ahí podemos aplicar la

técnica la propiedad de los límites

recordemos que hay una propiedad que nos

dice que si hay una constante

multiplicando una función esa constante

puede salir del límite por lo tanto

tendríamos

4/3 por el límite cuando m tiende a -1

de esta función que tenemos AC sin

embargo esa función sigue teniendo de la

misma forma indeterminada entonces hay

que resolverlo con Qué técnica lo

resolvemos con factorización Entonces

tenemos que factorizar ese numerador

porque vean que el denominador ya es un

término

lineal con Qué técnica podemos

factorizar ese numerador bueno podríamos

aplicar por ejemplo la técnica de de

división sintética que da como ejercicio

para ustedes verificar que la división

sintética de esta

expresión nos genera la siguiente

factorización M +

1 por m a la 4 - m a la 3 + m a la

2 - m + 1 ahí ustedes aplicando la

teoría de precálculo verifiquen por

favor que esa sea la factorización por

división sintética de m a la 5 + 1 y en

el denominador nosotros tendríamos M + 1

Entonces qué podemos hacer acá ahora

luego de tener factorizado Ahora sí

podemos aplicar la cancelación Y es que

si nosotros aplicamos esa cancelación

observen lo que nos está quedando nos

está quedando

4/3 por el límite cuando m tiende a -1

de quién y vean que ya aquí pues lo

único que nos está quedando es esto

verdad Entonces esto

es ahora donde nosotros tenemos que

evaluar este

-1 Qué pasa si nosotros hacemos esa

evaluación de es -1 bueno ahí verifiquen

ustedes nos va a quedar el 4/3 que

venimos arrastrando desde hace rato ya

multiplicado por y este límite que lo

que les digo es simplemente cambien las

m por -1 no se les va a indefinir ahí

les va a dar un un resultado directo y

el resultado les va a dar

5 Entonces 4/3 por 5 es

20/3 de esta manera Entonces nosotros

podemos asegurar que el resultado de

este límite cuando h tiende a oer de

esta función es

equivalente al resultado de este límite

que ya dijimos que el resultado da 20/3

por lo tanto la esta a este límite sería

ese 203