Metodo de Newton-Raphson | Explicación y ejercicio resuelto

FísicayMates
18 Sept 201414:13

Summary

TLDREste video ofrece una explicación detallada y sencilla del método de Newton-Rapson para estimar soluciones de ecuaciones. A través de una geometría gráfica y un ejemplo práctico, se muestra cómo aproximarse progresivamente a la raíz de una función mediante iteraciones. El proceso se basa en tomar un valor inicial cercano a la raíz y mejorar la aproximación mediante la fórmula de Newton-Rapson, que involucra calcular la derivada de la función y su aplicación en iteraciones sucesivas. El video ilustra la eficacia del método y cómo puede ser útil para resolver problemas matemáticos complejos.

Takeaways

  • 📚 El método de Newton-Rapson es utilizado para estimar la solución de una ecuación no lineal de la forma F(x) = 0.
  • 🎯 El objetivo del método es encontrar raíces de ecuaciones a través de una sucesión de aproximaciones llamadas iteraciones que se acercan a la solución.
  • 🔍 Se selecciona un valor inicial x₀ cercano a la raíz y se utiliza para calcular una serie de iteraciones sucesivas.
  • 📈 La explicación geométrica del método muestra cómo trazar la recta tangente a la gráfica de la función en el punto cercano estimado y encontrar el punto de intersección con el eje x.
  • 🔢 El proceso analítico implica utilizar la fórmula x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n) para calcular las iteraciones sucesivas.
  • 📌 En el ejemplo dado, se busca una buena aproximación a una raíz de la función F(x) = x^3 - x - 1, tomando x = 1 como punto de partida.
  • ✍️ La primera iteración resulta en x₁ ≈ 1.5, que es una aproximación inicial lejos de la raíz buscada.
  • 🔄 Con cada iteración, la aproximación se hace más precisa, y se puede observar un acercamiento notable a la raíz en cuestión.
  • 📊 A través de múltiples iteraciones, en este caso hasta la cuarta, se puede determinar la raíz con una precisión de un decimal, en este ejemplo, aproximadamente 1.3.
  • 💡 El método de Newton-Rapson es efectivo para encontrar raíces de ecuaciones, aunque requiere de atención al detalle y precisión en los cálculos.
  • 👍 El video proporciona una explicación detallada y un ejemplo práctico para que los espectadores aprendan a aplicar el método de manera efectiva.

Q & A

  • ¿Qué es el método de Newton-Raphson?

    -El método de Newton-Raphson es un procedimiento para estimar la solución de una ecuación no lineal de la forma F(x) = 0, buscando raíces de ecuaciones a través de una serie de aproximaciones sucesivas llamadas iteraciones.

  • ¿Cuál es el objetivo principal del método de Newton-Raphson?

    -El objetivo principal del método es encontrar las raíces de una ecuación, es decir, los valores de x que satisfacen la condición F(x) = 0, a través de una serie de aproximaciones iterativas que se acercan progresivamente a la solución.

  • ¿Cómo se inicia el proceso con el método de Newton-Raphson?

    -Se inicia eligiendo un valor inicial x0 que se cree que está cercano a la raíz de la ecuación. Este valor se utiliza como punto de partida para las iteraciones sucesivas.

  • ¿Qué es una iteración en el contexto del método de Newton-Raphson?

    -Una iteración es una aproximación que se obtiene a través del proceso iterativo del método de Newton-Raphson. Cada iteración se obtiene a partir de la anterior, usando la fórmula dada por el método y se utiliza para acercarse más a la solución exacta.

  • ¿Cómo se representa gráficamente el proceso del método de Newton-Raphson?

    -Gráficamente, se representa la función F(x) y se trazan las rectas tangentes en los puntos de corte con el eje x, a partir de un punto inicial cercano a la raíz. Estas rectas tangentes intersectan el eje x en puntos que representan las iteraciones sucesivas, y el proceso continúa hasta alcanzar una buena aproximación a la raíz.

  • ¿Qué fórmula se utiliza para calcular las iteraciones en el método de Newton-Raphson?

    -La fórmula utilizada para calcular las iteraciones es x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n), donde x_n es la aproximación actual, F(x_n) es la función en el punto x_n, y F'(x_n) es la derivada de la función en el punto x_n.

  • ¿Qué es la derivada en el contexto del método de Newton-Raphson?

    -La derivada es la función F'(x), que representa la pendiente de la tangente a la gráfica de la función F(x) en un punto dado. Es necesaria para calcular las iteraciones en el método de Newton-Raphson, ya que permite determinar la dirección en la que se aproxima la solución.

  • ¿Cómo se determinan las iteraciones sucesivas en el método de Newton-Raphson?

    -Las iteraciones sucesivas se determinan aplicando la fórmula x_n+1 = x_n - F(x_n) / F'(x_n) repetidamente, sustituyendo el valor de la iteración anterior (x_n) y sus correspondientes valores de la función y su derivada para obtener la siguiente aproximación (x_n+1).

  • ¿Qué sucede si la primera aproximación x0 es muy lejana de la raíz?

    -Si la primera aproximación x0 está muy lejos de la raíz, el método de Newton-Raphson puede no convergir o puede convergir lentamente hacia la solución. En estos casos, es posible que se requiera una mejor estrategia para elegir un punto de partida o se deba considerar el uso de otros métodos numéricos.

  • ¿Cómo se puede verificar la precisión de la aproximación a la raíz en el método de Newton-Raphson?

    -La precisión de la aproximación a la raíz se puede verificar comparando los valores sucesivos de las iteraciones. Si los valores de dos iteraciones consecutivas son iguales o muy cercanos, se puede asumir que la aproximación es precisa dentro del margen de error deseado.

  • ¿Qué es el problema que se resuelve en el ejemplo del script?

    -El problema que se resuelve en el ejemplo del script es encontrar una buena aproximación a una raíz de la función F(x) = x^3 - x - 1, tomando como punto de partida x = 1 y utilizando el método de Newton-Raphson.

  • ¿Cuál es la aproximación final a la raíz en el ejemplo del script?

    -La aproximación final a la raíz en el ejemplo del script, después de varias iteraciones, es de aproximadamente 1.32, determinada cuando las iteraciones consecutivas comienzan a coincidir en los dos primeros decimales.

Outlines

00:00

📚 Introducción al Método de Newton-Rapson

En este primer párrafo, se presenta el Método de Newton-Rapson como una técnica para estimar la solución de una ecuación F(x)=0, es decir, para encontrar las raíces de una función. Se explica que el objetivo es producir una serie de aproximaciones, llamadas iteraciones, que se acercan a la solución. Se menciona que el proceso comienza seleccionando un valor inicial x0 cercano a la raíz y luego se utiliza la función y su derivada para calcular sucesivas aproximaciones. Además, se proporciona una explicación geométrica del método, utilizando una gráfica de función para ilustrar cómo se aproxima a la raíz.

05:02

🔢 Aplicación Práctica del Método de Newton-Rapson

Este párrafo muestra un ejemplo práctico de cómo se aplica el Método de Newton-Rapson. Se presenta un problema específico de encontrar una buena aproximación a una raíz de una función dada, utilizando el Método de Newton-Rapson con x=1 como punto de partida. Se describe el proceso de calcular la derivada de la función y luego utilizarla para iterar y aproximarse a la raíz. Se detalla cada paso de la iteración, mostrando las operaciones matemáticas necesarias para llegar a una aproximación cada vez más precisa de la raíz.

10:03

📈 Conclusión y Dificultades del Método de Newton-Rapson

En el último párrafo, se concluye el video con una discusión sobre las dificultades y el proceso general del Método de Newton-Rapson. Se resalta que, aunque el concepto básico del método es sencillo, la dificultad surge en la precisión y el manejo de los cálculos, especialmente cuando se trata de sustituir valores en la función y su derivada. Además, se pide a los espectadores que den su like y se unan al canal para estar al tanto de futuros contenidos, y se les anima a compartir el video con otros posibles受益人.

Mindmap

Keywords

💡Método de Newton-Rapson

El Método de Newton-Rapson es un procedimiento para estimar la solución de una ecuación, específicamente para encontrar la raíz de una función. Consiste en producir una sucesión de aproximaciones, llamadas iteraciones, que se acercan progresivamente a la solución. En el video, se detalla cómo este método se utiliza para aproximarse a la raíz de la función f(x) = x^3 - x - 1, partiendo de un valor inicial x0 y utilizando una fórmula iterativa.

💡Iteraciones

Las iteraciones son los pasos repetitivos que se siguen en un proceso para alcanzar una solución. En el contexto del Método de Newton-Rapson, cada iteración implica calcular una nueva aproximación a la raíz de la función, utilizando la fórmula x_n+1 = x_n - f(x_n) / f'(x_n), donde x_n es la aproximación actual y f'(x_n) es la derivada de la función en x_n.

💡Derivada

La derivada de una función es una medida matemática que describe cómo cambia la función en relación con un cambio en su variable. En el Método de Newton-Rapson, la derivada es necesaria para calcular la pendiente de la recta tangente en el punto actual, lo que se utiliza para determinar la siguiente aproximación a la raíz.

💡Aproximación

Una aproximación es una估值 que se acerca a un valor real o objetivo. En el Método de Newton-Rapson, cada iteración proporciona una mejor aproximación a la raíz de la función, reduciendo la distancia entre la aproximación actual y la verdadera solución.

💡Raíz de una función

La raíz de una función es el valor para el cual la función se anula, es decir, el valor de x que hace que f(x) = 0. El objetivo del Método de Newton-Rapson es encontrar dichas raíces con una aproximación numérica.

💡Recta tangente

La recta tangente es una línea que toca la gráfica de una función en un único punto y tiene la misma pendiente que la función en ese punto. En el Método de Newton-Rapson, la recta tangente se utiliza para determinar la dirección en la que se aproxima la solución de la función.

💡Geométrico

El término geométrico se refiere a la explicación visual o el análisis de figuras y formas en el espacio. En el video, se utiliza una explicación geométrica para ilustrar cómo funciona el Método de Newton-Rapson y cómo se aproxima a la raíz de una función.

💡Función

Una función es una relación matemática que asigna a cada valor de una variable, llamada dominio, un valor único en otra variable, llamada rango. En el video, la función f(x) = x^3 - x - 1 es la que se está analizando para encontrar su raíz.

💡Gráfica

Una gráfica es una representación visual de los datos o de una función. En el contexto del video, la gráfica es una herramienta para visualizar la función y su relación con la raíz que se busca encontrar.

💡Punto de partida

El punto de partida es el valor inicial que se toma para comenzar un proceso de aproximación. En el Método de Newton-Rapson, el punto de partida es la primera estimación de la raíz que se utiliza para calcular las siguientes iteraciones.

💡Valores sucesivos

Los valores sucesivos son los resultados que se obtienen en cada paso de un proceso iterativo. En el Método de Newton-Rapson, los valores sucesivos son las aproximaciones a la raíz que se calculan en cada iteración.

Highlights

Explicación detallada y fácil del método de Newton-Rapson.

El objetivo del método es estimar la solución de una ecuación F(x)=0.

Las aproximaciones se llaman iteraciones y se obtienen sucesivamente.

Ejercicio práctico para aprender a usar el método de manera efectiva.

La función y su gráfica son útiles para entender el proceso geométrico.

El punto de partida x0 debe estar cercano a la raíz buscada.

El método de Newton-Rapson consiste en calcular sucesivas aproximaciones.

La raíz gráfica se identifica como el punto de intersección con el eje X.

El proceso analítico comienza con una primera aproximación a la solución.

La fórmula de Newton-Rapson se utiliza para obtener sucesivas iteraciones.

Ejemplo práctico: encontrar una buena aproximación a una raíz dada.

La función y su derivada son claves en el proceso de Newton-Rapson.

La primera iteración nos acerca al punto x1=1.5.

La segunda iteración nos da x2=1.34782.

La tercera iteración nos proporciona x3=1.34782.

A partir de la tercera iteración, las aproximaciones son muy cercanas a la raíz.

El método de Newton-Rapson es efectivo para encontrar raíces de ecuaciones.

La dificultad del método radica en las operaciones matemáticas precisas.

Transcripts

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Hola amigos Bienvenidos a otro vídeo más

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del Canal física y mates en este vídeo

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vamos a explicar de una forma detallada

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muy fácil el método de Newton rapson y

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vamos a hacer un ejercicio para que

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aprendáis a usar este método de una

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forma rápida y eficaz primero vamos a

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ver lo que sería la definición del

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método para saber exactamente Para qué

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se usa nos dicen que el objetivo de este

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método el objetivo de este método para

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estimar la solución de una ecuación F

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dex = 0 es decir que el objetivo de este

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método es encontrar raíces de ecuaciones

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es producir una sucesión de

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aproximaciones que se acerquen a la

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solución cada una de esas aproximaciones

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se llaman iteraciones esto lo Vais a ver

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Ahora más adelante en el problema y lo

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Vais a entender perfectamente dice que

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escogemos el primer número x 0 de la

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secuencia un número lo que sucede que

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esté cercano a la raíz y luego en

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circunstancias favorables el método hace

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el resto moviéndose paso a paso hacia la

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raíz es decir

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en en Romano paladín este método lo que

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consiste en lo siguiente tenemos una

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función que por el motivo que sea es

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complicado encontrar Cuál es el valor

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exacto de la de la raíz entonces lo que

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vamos a hacer es tomar un valor x u0 que

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creemos que puede estar cerca de la raíz

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eh Y a partir de ese de ese punto x o0

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aplicamos el método que consigue

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consiste en ir haciendo una serie de

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aproximaciones sucesivas c una cada una

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de ellas se llama iteraciones hasta que

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llegamos al valor casi exacto de de la

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raíz de acuerdo en eso consiste el

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método de Newton rapson Bueno pues vamos

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a ver ahora cómo se procede con este

play01:59

método

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antes de comenzar con el procedimiento

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del método de Newton rapson y hacer el

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problema me gustaría perder un minutito

play02:07

en dar una explicación geométrica al

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procedimiento Porque si entendéis bien

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la explicación geométrica Vais a

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entender muy bien este tipo de problemas

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fijaros tenemos en color azul una

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función I = FX = F dex pintada en color

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azul a la que le queremos encontrar una

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raíz por el procedimiento del método de

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Newton gráficamente podemos observar que

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la raíz es este cuadradito de color azul

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Es decir es el corte de la función con

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el eje X en qué consiste el

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procedimiento del método pues tomamos un

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punto x sub c0 que consideremos que está

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cercano a la raíz Cómo consideramos que

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está cercano a la raíz pues vemos la

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Gráfica de la función a la que le

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queremos calcular la raíz o bien lo

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echamos a suertes no en ese punto x su0

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trazamos la recta tangente a la gráfica

play03:00

y vemos el punto de corte con el eje x y

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obtenemos un punto x sub1 en este punto

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x sub1 volvemos a repetir el mismo

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procedimiento trazamos una recta

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tangente a la Gráfica y calculamos el

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punto de corte con el eje x y calculamos

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y obtenemos así el punto x sub2 en este

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punto x sub2 qué es lo que hacemos

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trazamos la recta tangente a la función

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y calculamos el punto de corte con el

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eje x que es x sub 3 en esto consiste el

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mé de Newton fijaros como a partir de X

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sub 0 vamos obteniendo el punto x sub 1

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el X sub 2 y el X sub 3 en solo tres

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iteraciones fijaros qué cercano estamos

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ya de la raíz que estamos buscando x1

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sería una aproximación muy mala porque

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está muy lejos del punto x sub2 ya sería

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una aproximación No muy buena pero

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tampoco muy mala porque está

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relativamente cerca del punto pero

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fijaros que el punto x sub 3 ya ser una

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aproximación relativamente buena a la

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raíz que estamos buscando gráficamente

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Ese es el método de Newton ahora vamos a

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ver analíticamente cómo se hace con

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números el procedimiento es el siguiente

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dice adivine una primera aproximación a

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la solución de la ecuación es decir

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cuando dice adivine dice que cojas el

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punto x su0 con el que vas a empezar nos

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dicen aquí una gráfica de la función te

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puede ayudar use la primera aproximación

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para obtener la segunda la segunda para

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obtener la tercera y así sucesivamente

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usando esta fórmula que tenemos aquí que

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vamos a aprender a usarla ahora mismo

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haciendo el problema Es decir con el

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primer valor la primera aproximación que

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lo tenemos que tomar nosotros según

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nuestro criterio lo metemos en esta

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fórmula y obtendremos el X sub 1 después

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el X sub 1 lo metemos en esta fórmula y

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obtendremos el X sub2 el X sub 2 lo

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metemos en esta fórmula y obtenemos el X

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sub 3 y así sucesivamente hasta que

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lleguemos muy muy muy muy cerca de la

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raíz buscada Bueno pues vamos a hacer un

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problema para que veáis Cuál es el

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procedimiento de cálculo el problema es

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el siguiente nos dicen que encontremos

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una buena aproximación a una raíz de la

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siguiente

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función usando el método de Newton

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rapson tomamos como Punto de partida el

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x = 1 Bueno he colocado aquí la la

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fórmula que condensa el método de Newton

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y es la función a la que le tenemos que

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que calcular

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eh una buena aproximación a su raíz en

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la función x cu - x - 1 que yo he

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igualado a 0 pues para que veamos que es

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una ecuación a la que le tenemos que

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encontrar las

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raíces nos dan como Punto de partida el

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x = 1 quiero que miréis eh la Gráfica

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que tenemos aquí esta gráfica se

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corresponde con la función a la que a la

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que le queremos encontrar la raíz

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fijaros que la que la raíz

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se encuentra justamente entre el un Y el

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dos la raíz es este punto de aquí vale

play06:09

Esa es la

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raíz entonces tiene tiene sentido que

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tomemos como Punto de partida el x = 1

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porque es un punto que está cercano a la

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raíz tiene sentido que tomemos el x = 1

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como Punto de partida de acuerdo

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Entonces vamos a comenzar la primera

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iteración con el uno y nos iremos

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acercando hasta que lleguemos

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con muy buena aproximación a la raíz

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fijaros que está un poquito antes del de

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la mitad del segmento que un el uno con

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el dos por lo tanto va a ser menos de

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1,5 verdad a Ojo va a ser menos que 1,5

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bueno pues vamos a aplicar el método de

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Newton rapson para que veáis cómo es

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tenemos que nuestro Punto de partida es

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x = 1 bueno primero voy a calcular la

play06:53

derivada de esta función puesto que

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fijaros que tengo aquí hacer uso de la

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derivada y lo voy a

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necesitar F prima de X la derivada de

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esta función sería 3x cu - 1 de acuerdo

play07:05

Bueno ya la tengo calculada Bueno pues

play07:08

comenzamos con El Punto de partida pues

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Tendremos que x sub 1 vale 1 de acuerdo

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esa es nuestra primera iteración vamos

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con la segunda iteración aplicamos la

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fórmula x sub2 será igual a anterior que

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es el X sub 1

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men f x sub 1 parido por F prima de X

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sub 1 esto es igual x sub 1 vale 1

play07:35

menos F de 1 que no es más que sustituir

play07:40

el 1 en la función F y ver cuánto te da

play07:44

entre F prima de 1 que no es más que

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sustituir el 1 en la función derivada y

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ver cuánto te das Bueno pues

play07:53

esto bueno esta primera la voy a hacer

play07:55

así paso a paso esto sería 1

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menos 1 al cubo - 1 - 1 es sustituir el

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1 en la función y aquí es sustituir el 1

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en la función derivada Me quedaría 3 * 1

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cu - 1 Bueno pues si hacéis esta

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operación os va a salir que esto vale

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1.5 es decir la primera iteración nos da

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que la raíz Sería bueno la segunda

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iteración Perdón nos da que la raíz

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estaría en el 1 y Med fijaros que en el

play08:23

1 y Med no está está un poquito antes

play08:25

pero bueno es una primera aproximación

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vamos a seguir iterando tercera

play08:30

iteración x sub 3 Pues sería la anterior

play08:32

x sub2 menos una fracción f evaluado en

play08:37

la iteración anterior F prima evaluada

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en la iteración

play08:42

anterior es decir esto es igual la

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iteración anterior es 1 y5 1 y5

play08:50

menos la función f evaluada en el 1 y

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Med es decir sustituimos el 1 y Med aquí

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y la función F F prima evaluada También

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en en el 1 y medio es decir sustituimos

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el 1 y medio aquí Bueno pues si hacemos

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esto parece un TR y es un 5 eh si

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sustituimos el 1 y Med aquí y el 1 y Med

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aquí os digo ya el resultado esto sale

play09:19

1.34

play09:21

782 fijaros que ya no sería 1 y Med sino

play09:26

sería

play09:27

1.34 vale en adelante lo que vale

play09:30

nuestra raíz vamos a hacer otra

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iteración más porque todavía no nos

play09:34

estamos acercando y ahora Vais a ver

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porque sé que no nos estamos acercando x

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sub 4 Pues sería x sub 3 men el F de X

play09:44

sub 3 par por el F prima de X sub 3 es

play09:47

decir x sub 3 sería

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1.34

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782

play09:54

menos el F de

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1.34 7 8 2 que no es más que sustituir

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este número con ts decimales en la

play10:05

función y obtener lo que te da y aquí el

play10:09

F prima de

play10:11

1.34 782 que no es más que sustituir en

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la función F prima ese valor Bueno pues

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esto da os lo digo que lo tengo aquí

play10:20

calculado

play10:22

1.

play10:25

32

play10:27

52 quiero que veáis una cosa fijaros ya

play10:30

estamos muy muy muy cerca Por qué Porque

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en la iteración tercera en la iteración

play10:37

tercera obtuvimos

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1. 34782 y en la iteración cuarta ya

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estamos repitiendo el 1

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con3 os dais cuenta aquí era 1.34 y pico

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y aquí es 1.32 y pico es decir ya la

play10:53

tercera iteración y la

play10:55

cuarta coinciden en el 1.3 es decir que

play10:59

nuestra raíz nuestra raíz si quisiéramos

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tomarla con la precisión de un decimal

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ya podríamos decir que es 1 con3 Vamos a

play11:08

ver cuánto es la que qué obtendríamos en

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la quinta iteración x sub 5 es = x sub 4

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men F de X sub 4 partido por el F prima

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de X sub

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4 x sub 4 sería

play11:27

1.325 2

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menos la f en el 1 3 2 5 2 y la f prima

play11:37

evaluada en el

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1.32 52 creo que no me equivocado verdad

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Bueno pues esto da

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1.32 47 fijaros

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ahora ya no solamente tiene en común con

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el

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anterior el el primer decimal sino

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también el segundo lo veis entre la

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tercera y la cuarta

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iteración nos da como información que la

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raíz va a ser 1 con3 como mínimo 1 con3

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que son los dos dígitos que coinciden

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pero si comparamos la cuarta con la

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quinta ya ya no coinciden dos dígitos

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sino tres es decir dos decimales

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entonces podemos concluir ya en la

play12:26

quinta iteración en la quinta itera

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podemos concluir que con

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una exactitud de dos decimales nuestra

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raíz Es

play12:37

aproximadamente

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1.32 de acuerdo

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1.32 en esto consiste el método de

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Newton rapson como podéis ver la la

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dificultad de este método consiste en

play12:54

tener que sustituir estos valores en la

play12:56

función porque bueno sustituir calcular

play12:59

F de1 y F prima de 1 es relativamente

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sencillo es poner el un un aquí

play13:03

calcularlo y un uno aquí y calcularlo

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pero cuando tengáis que calcular F de

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1.34 782 es decir Elevar ese número al

play13:12

cubo menos ese número menos 1 pues ya

play13:15

eso es una cuenta más complicada No y lo

play13:18

mismo aquí no

play13:20

1,34 782 al cuad y lo que te dé por TR y

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la restas uno tampoco mucho No pero

play13:25

quiero que veáis cómo se cómo es el

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procedimiento y que la dificultad está

play13:30

en operar bien con los números de

play13:32

acuerdo Bueno amigos Espero que hayáis

play13:35

entendido perfectamente En qué consiste

play13:37

el método de Newton rapson que el vídeo

play13:39

os haya gustado si ha sido así por favor

play13:41

Dale al botoncito de me gusta es una

play13:43

forma de darme las gracias eh

play13:46

suscribiros al Canal para así estar al

play13:48

corriente de todos de todos los vídeos

play13:51

que vamos subiendo y bueno compartir con

play13:53

vuestros compañeros Este vídeo porque

play13:56

seguro que le puede resultar muy útil y

play13:59

os lo agradecen un abrazo amigos nos

play14:00

vemos en el siguiente vídeo hasta

play14:11

pronto

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