La Ley de la caída de los Cuerpos (Universo Mecánico 2)

Summary

Este guion explora la ley de la gravedad, una de las misterios más grandes de la física, desde su descubrimiento por Galileo hasta su perfeccionamiento por Newton y Einstein. Se explica cómo todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante en el vacío, independientemente de su peso. A través de experimentos y la introducción de conceptos matemáticos como la derivada, se demuestra cómo los cuerpos caen y se calcula su movimiento, aceleración y velocidad. El cálculo diferencial, fundamental para entender el movimiento uniformemente acelerado, es un logro crucial en las matemáticas que permite describir con precisión el comportamiento de la gravedad.

Takeaways

• 📚 La ley de la gravedad fue descubierta por Galileo, perfeccionada por Isaac Newton y fue fundamental en la teoría de la mecánica del cosmos de Albert Einstein.
• 🌌 La ley establece que todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante, independientemente de su peso, en un campo gravitatorio.
• 🔍 La comprensión de la aceleración constante requiere el uso del concepto matemático de derivada, que mide el ritmo de cambio de una cantidad con respecto a otra.
• 🌐 La ley de la gravedad parece contraintuitiva porque la mayoría de las experiencias con la gravedad en la Tierra están influenciadas por la resistencia del aire.
• 🌑 En el vacío, donde no hay resistencia del aire, todos los objetos caen a la misma velocidad, demostrando la ley de la gravedad en su forma pura.
• 🚀 El astronauta Dave Scott de la misión Apollo 15 replicó el experimento de Galileo en la Luna, donde una pluma y un martillo caen a la misma velocidad en ausencia de aire.
• 🤔 Antes de Galileo, se pensaba que objetos más pesados caían más rápido, pero Galileo descubrió que en el vacío, todos los cuerpos caen a la misma velocidad.
• 📉 Galileo y Leonardo da Vinci estudiaron el movimiento acelerado, con da Vinci sugiriendo que las distancias recorridas seguían la serie de números enteros y Galileo, la serie de números impares.
• 📐 La distancia recorrida por un objeto en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo, lo que se puede expresar matemáticamente mediante una ecuación simple.
• 📉 El cálculo diferencial, desarrollado por Newton y Leibniz, es esencial para entender y describir el movimiento uniformemente acelerado y la aceleración como la derivada de la velocidad.

Q & A

¿Quién descubrió la Ley de la Gravedad?

La Ley de la Gravedad fue descubierta por Galileo Galilei, perfeccionada por Isaac Newton y fue fundamental en la teoría de la mecánica del cosmos de Albert Einstein.

¿Qué significa la Ley de la Gravedad?

La Ley de la Gravedad, también conocida como Ley de la Caída de los Cuerpos, establece que todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante, independientemente de su peso.

¿Por qué es importante la Ley de la Gravedad en la física?

La Ley de la Gravedad es crucial en la física porque describe el comportamiento de los cuerpos en presencia de una fuerza gravitatoria, y ha sido clave en el desarrollo de la mecánica celeste y la teoría de la relatividad.

¿Qué es una aceleración constante y cómo se relaciona con la caída de los cuerpos?

Una aceleración constante es una cantidad que no varía con el tiempo, y en el caso de la caída de los cuerpos, significa que la velocidad de los cuerpos aumenta linealmente con el tiempo mientras caen en un campo gravitatorio.

¿Cómo influye la resistencia del aire en la caída de los cuerpos?

La resistencia del aire puede afectar la velocidad a la que caen los cuerpos, haciendo que cuerpos ligeros como una pluma caigan más lentamente que cuerpos pesados como una moneda en la Tierra. Sin embargo, en el vacío, donde no hay resistencia del aire, todos los cuerpos caen a la misma velocidad.

¿Qué demostración histórica es famosa para ilustrar que todos los cuerpos caen a la misma velocidad en ausencia de resistencia del aire?

El astronauta del Apolo 15, Dave Scott, realizó una demostración en la Luna donde dejó caer una pluma y un martillo simultáneamente, y ambos objetos到达 el suelo a la misma velocidad, ilustrando la Ley de la Gravedad en un entorno sin aire.

¿Qué es la derivada y cómo se relaciona con el movimiento de los cuerpos?

Una derivada es un concepto matemático que representa el ritmo de cambio de una cantidad con respecto a otra, como la velocidad es la derivada de la distancia con respecto al tiempo en el movimiento de los cuerpos.

¿Cómo llegó Galileo a la conclusión de que las distancias recorridas por un cuerpo en caída libre crecen según los números impares?

Galileo llegó a esta conclusión después de realizar una serie de experimentos con bolas que rodaban por planos inclinados y observando que las distancias recorridas seguían una secuencia de números impares.

¿Cuál es la relación entre la distancia recorrida en caída libre y el tiempo?

Según la Ley de la Gravedad, la distancia recorrida en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo, lo que se puede expresar matemáticamente como 'distancia = constante × tiempo^2'.

¿Qué método matemático permitió a Newton y Leibniz describir con precisión el movimiento uniformemente acelerado?

El cálculo diferencial, desarrollado por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, es el método matemático que permite describir y analizar el movimiento uniformemente acelerado con precisión.

Outlines

00:00

🌌 La Ley de la Gravedad y sus Descubridores

Este párrafo introduce la Ley de la Gravedad, explicando su relevancia en la física y cómo fue descubierta por Galileo, perfeccionada por Isaac Newton y cómo Albert Einstein contribuyó con su teoría de la mecánica del cosmos. Se menciona que todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante, independientemente de su peso, lo cual es una idea clave en la comprensión de la gravedad. Además, se destaca la importancia de la derivada en el entendimiento de la caída de los cuerpos y se menciona que estos conceptos pueden contradecir nuestra intuición común.

05:03

🌑 Galileo y la Caída de los Cuerpos

Este párrafo se enfoca en las observaciones y experimentos de Galileo sobre la caída de los cuerpos. Se describe cómo Galileo dedujo que, en ausencia de la resistencia del aire, todos los cuerpos caerían a la misma velocidad. Se explora la paradoja que Galileo planteó con un cuerpo pesado unido a uno ligero y cómo esto llevó a la conclusión de que todos los cuerpos caen a la misma velocidad. Además, se menciona el trabajo de Leonardo da Vinci en el estudio de la caída de los cuerpos y cómo sus teorías sobre el movimiento acelerado influyeron en las conclusiones de Galileo.

10:10

🎢 La Montaña Rusa y la Ley de los Números Impares

Este párrafo utiliza la metáfora de una montaña rusa para ilustrar la ley de los números impares, que Galileo observó en la caída de los cuerpos. Se explica cómo la distancia recorrida por un objeto en caída libre se relaciona con los números impares y cómo esta relación se manifiesta en la distancia total recorrida en intervalos de tiempo. Se introduce la ecuación de Galileo que relaciona la distancia caída con el tiempo al cuadrado, y se discute cómo esta fórmula permite calcular la distancia recorrida en cualquier momento de la caída.

15:33

🔢 El Cálculo Diferencial y la Velocidad Instantánea

Este párrafo aborda el concepto de velocidad instantánea y cómo se relaciona con el cálculo diferencial. Se describe el desafío de calcular la velocidad en un punto específico durante la caída de un objeto y cómo el cálculo diferencial ofrece una solución a este problema. Se introduce la derivada como una herramienta para determinar el ritmo de cambio de una cantidad, en este caso, la velocidad de una caída. Se explica cómo la aceleración, que es la derivada de la velocidad, resulta ser una constante, lo que finalmente resuelve el dilema de la aceleración constante durante la caída.

20:35

📉 La Ley de la Gravedad y el Movimiento Uniformemente Acelerado

Este párrafo resume las conclusiones del video sobre la caída de los cuerpos y cómo estas se relacionan con la Ley de la Gravedad. Se explica que los cuerpos caen con una aceleración constante, su velocidad es proporcional al tiempo y la distancia recorrida es proporcional al cuadrado del tiempo. Se menciona que este tipo de movimiento se conoce como movimiento uniformemente acelerado y se destaca la importancia del cálculo diferencial en el análisis de este movimiento. Además, se reconoce el trabajo pionero de Galileo y otros matemáticos en el entendimiento de estos conceptos.

25:37

📚 Conclusiones Finales sobre la Ley de la Gravedad

Este último párrafo reitera los tres principales puntos sobre la caída de los cuerpos según la Ley de la Gravedad: la caída con aceleración constante, la velocidad proporcional al tiempo y la distancia recorrida proporcional al cuadrado del tiempo. Se enfatiza una vez más la importancia de las derivadas en el entendimiento de estos conceptos y cómo estos principios simples son fundamentales para la comprensión de fenómenos físicos más complejos.

Keywords

💡Galileo

Galileo Galilei fue un científico italiano que realizó importantes descubrimientos en física y astronomía. En el guion, se menciona que fue uno de los primeros en entender que todos los cuerpos caen a la misma velocidad en ausencia de resistencia, como el aire, lo que desafía la intuición común y establece las bases para la comprensión de la gravedad. Su trabajo fue fundamental para el desarrollo de la física clásica y la teoría de la gravedad.

💡Isaac Newton

Sir Isaac Newton fue un matemático y físico inglés que perfeccionó la comprensión de la gravedad y las leyes del movimiento. En el guion, se destaca su contribución a la teoría de la gravedad y cómo su trabajo continuó el legado de Galileo, estableciendo las leyes de la mecánica que son fundamentales para entender el movimiento de los cuerpos en la Tierra y en el cosmos.

💡Albert Einstein

Albert Einstein fue un físico teórico alemán conocido por su contribución a la teoría de la relatividad, que transformó nuestra comprensión de la gravedad y el espacio-tiempo. Aunque no se menciona directamente en el guion, su teoría general de la relatividad es un desarrollo significativo de la comprensión de la gravedad que siguió a Newton, y proporciona una base para entender fenómenos que no pueden ser explicados por la física clásica.

💡Ley de la gravedad

La ley de la gravedad, también conocida como la ley de la caída de los cuerpos, es una ley fundamental de la física que describe cómo los cuerpos son atraídos entre sí. En el guion, se explica que todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante en el vacío, independientemente de su peso, lo que es una consecuencia directa de la ley de la gravedad.

💡Derivada

Una derivada es un concepto matemático que representa el cambio instantáneo de una cantidad con respecto a otra, como la velocidad con respecto al tiempo. En el guion, se utiliza la derivada para explicar cómo se calcula la velocidad instantánea de un objeto en caída libre, que es crucial para entender el movimiento uniformemente acelerado.

💡Movimiento uniformemente acelerado

Este término describe un tipo de movimiento en el que la aceleración es constante. En el guion, se discute cómo los cuerpos en caída libre experimentan un movimiento uniformemente acelerado, donde su velocidad aumenta linealmente con el tiempo debido a la aceleración de la gravedad.

💡Cuerpos en el vacío

El concepto de 'cuerpos en el vacío' se refiere a una situación hipotética en la que un objeto cae sin la resistencia del aire o cualquier otro medio. En el guion, se menciona que en el vacío, todos los cuerpos caen a la misma velocidad, lo que ilustra la ley de la gravedad en ausencia de fuerzas resistentes.

💡Resistencia del aire

La resistencia del aire, también conocida como drag, es la fuerza que actúa en contra del movimiento de un objeto a través del aire. En el guion, se discute cómo la resistencia del aire afecta la caída de objetos en la Tierra, haciendo que objetos ligeros como una pluma caigan más lentamente que objetos más densos, a diferencia de lo que ocurriría en el vacío.

💡Experimento de la Luna

El experimento de la Luna se refiere a una demostración realizada por el astronauta Dave Scott durante la misión Apollo 15, donde una pluma y un martillo fueron liberados simultáneamente en el vacío lunar, cayendo a la misma velocidad. Este experimento se menciona en el guion para ilustrar la ley de la gravedad en un entorno sin aire.

💡Cálculo diferencial

El cálculo diferencial es una rama de las matemáticas que estudia cómo las funciones cambian cuando sus argumentos cambian. En el guion, se destaca el papel crucial del cálculo diferencial en la descripción y comprensión del movimiento uniformemente acelerado, permitiendo calcular velocidades instantáneas y aceleraciones.

Highlights

Galileo descubre que todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante, independientemente de su peso.

Isaac Newton perfecciona la teoría de la gravedad.

Albert Einstein proporciona una teoría de la mecánica del cosmos con su trabajo en la gravedad.

La ley de la gravedad es uno de los mayores misterios de la física.

En el vacío, todos los cuerpos caen con la misma aceleración constante.

La resistencia del aire afecta la caída de los cuerpos en el mundo real, pero no en el vacío.

Un experimento en el vacío demuestra que una moneda y una pluma caen a la misma velocidad.

Dave Scott del Apollo 15 realiza un experimento similar en la Luna, demostrando la ley de la gravedad.

Galileo deduce que en ausencia de resistencia del aire, todos los cuerpos caen a la misma velocidad.

Leonardo da Vinci estudia la caída de los cuerpos y propone que las distancias recorridas siguen la ley de los números enteros.

Galileo encuentra que las distancias recorridas están relacionadas con los números impares, en lugar de los enteros.

Galileo realiza experimentos con bolas por planos inclinados para medir el tiempo de caída.

La distancia recorrida en caída es proporcional al cuadrado del tiempo.

La velocidad instantánea de un cuerpo en caída es la derivada de la distancia con respecto al tiempo.

El cálculo diferencial, especialmente la derivada, es esencial para entender el movimiento uniformemente acelerado.

La aceleración en caída es una constante, representada por la letra g.

El movimiento de los cuerpos en caída es descrito como uniformemente acelerado.

Galileo y otros eruditos del siglo XVII analizaban el movimiento usando proporciones y geométricas antes del cálculo diferencial.

Newton y Leibniz son creditados con el descubrimiento del cálculo diferencial, que revoluciona el análisis de movimientos.

Transcripts

[Música]

fue descubierto por galileo

perfeccionado después por isaac newton y

en manos de albert eisntein proporcionó

una teoría de la mecánica del cosmos

fue uno de los mayores misterios de la

física

todos los cuerpos caen con la misma

aceleración constante

ley de la gravedad o ley de la caída de

los cuerpos

en el vacío todos los cuerpos

cae con la misma

aceleración constante

esta es la ley de la gravedad no parece

que esto quiera decir mucho pero veamos

ahora exactamente en qué consiste

dice esta ley que el efecto de la

gravedad en todos los cuerpos es siempre

el mismo con independencia de su peso

desde galileo a isaac newton y hasta

albert einstein este fue uno de los

mayores misterios de la física y hay más

también dice que los cuerpos caen con

una aceleración constante

ahora bien entender esto sería casi

imposible si no contáramos con un

dispositivo matemático llamado derivada

luego veremos lo que significa y

finalmente aunque esto nos parezca muy

profundo e interesante está violentando

nuestra más simple intuición porque esto

que decimos sucede en el vacío y no en

el mundo que nos es familiar

seguramente para todos nosotros nuestro

primer contacto con las leyes de la

naturaleza habrán sido el efecto de la

fuerza de la gravedad en la tierra

[Música]

entendamos o no cómo funciona la fuerza

de la corona

[Música]

tenemos un temor innato a sus efectos

pero que es exactamente ese efecto de la

gravedad

hay cuerpos que caen con rapidez y de

forma rectilínea

pero hay otros en cambio que tienen un

comportamiento diferente

en algunos casos casi no se puede

definir cómo y por qué cae en los

cuerpos

debemos distinguir el efecto de la

gravedad sobre un cuerpo que cae del

efecto de oposición del aire por donde

cae

en otras palabras tenemos que

imaginarnos un cuerpo que cae en el

vacío

por ejemplo si una moneda y una pluma

caen simultáneamente desde la misma

altura se comportarán como esperábamos

han caído a diferente velocidad pero eso

es solo a causa de la resistencia del

aire sobre ambos objetos

en el vacío una moneda una pluma y

cualquier otro objeto caerían a la misma

velocidad

la moneda y la pluma están ahora en el

tubo de cristal sin prácticamente aire

es decir en el vacío y ahora seremos

testigos de la ley de la gravedad en

acción

sin el efecto que produce la resistencia

del aire todos los cuerpos

independientemente de su peso

caen exactamente a la misma velocidad

[Música]

cuando el astronauta del apolo 15 dave

scott exploraba la luna sin nada de aire

hizo una demostración de este

tradicional experimento

bien

aquí tengo una pluma y un martillo una

de las razones por las que vinimos a la

luna fue porque un caballero llamado

galileo hizo un importante

descubrimiento sobre la caída de los

objetos en campos gravitatorios y donde

encontraríamos un sitio mejor para ver

si su descubrimiento era correcto que en

la luna los dejaré caer aquí mismo es de

suponer que los dos golpeen en el suelo

a la vez

qué les ha parecido por lo visto el

señor galileo tenía razón

[Música]

el señor del ideo tenía razón hace casi

400 años cuando todo el mundo pensaba

que los cuerpos pesados caían con más

rapidez que los ligeros galileo se dio

cuenta de que en el vacío todos los

cuerpos caerían a la misma velocidad

por supuesto galileo no podía conseguir

un vacío pero pudo imaginar uno

pintó un cuerpo pesado unido a otro

ligero este cuerpo compuesto caería más

deprisa o más despacio que el cuerpo

pesado sólo si el cuerpo ligero caía más

despacio retardaría la caída del cuerpo

pesado pero al mismo tiempo un cuerpo

compuesto tiene que pesar más que uno

solo pesado por lo tanto el cuerpo

compuesto tendría que caer más deprisa

que el cuerpo pesado solo pero nunca más

despacio es obvio que la idea de que un

cuerpo pesado cae con más rapidez sólo

conduce a una ineludible contradicción

[Aplausos]

galileo se dio cuenta entonces de que la

única opinión lógicamente aceptable era

que todos los cuerpos caen a la misma

velocidad cuando se suprime la

resistencia del aire

si todos los cuerpos caen en el vacío a

la misma velocidad la siguiente pregunta

es

y cuál es exactamente esa velocidad por

nuestras propias experiencias sabemos

que la velocidad de un cuerpo al caer

aumenta durante la caída lo cual

significa que acelera cayendo cada vez

con más rapidez

incluso antes de galileo algunos

eruditos ya habían intentado dar una

explicación a ese movimiento de

aceleración aproximadamente 100 años

antes leonardo da vinci ya había hecho

su propio estudio de la caída de los

cuerpos animado quizá por su sueño de

volar

más que preguntarse por la rapidez de la

caída de los cuerpos da vinci se

preguntaba cuánto caerían en los

sucesivos intervalos de tiempo

su teoría del movimiento acelerado era

que un cuerpo recorrería cayendo mayores

distancias en intervalos posteriores

después concluyó con la teoría de que

las distancias seguían la ley de los

números enteros es decir una unidad de

distancia en el primer intervalo de

tiempo dos unidades en el segundo

intervalo de tiempo etcétera

galileo adoptó el método de descripción

de leonardo davinci pero llegó a una

conclusión diferente de cómo crecían las

distancias en lugar de crecer de ese

modo galileo tenía la teoría de que las

distancias estaban relacionadas con los

números impares una unidad de distancia

en el primer intervalo de tiempo tres

unidades de distancia en el segundo

intervalo cinco unidades de distancia en

el tercer intervalo etcétera

en otras palabras según galileo la

distancia recorrida en cada intervalo es

proporcional a los números impares

galileo llegó a sus conclusiones después

de realizar una brillante serie de

experimentos en los que medía el tiempo

que rodaba una bola por planos

inclinados cada vez más empinados

la ley de los números impares de galileo

se puede ver en acción en algún lugar

sorprendente y que a galileo le hubiera

causado más asombro que la misma

superficie de la luna

en una montaña rusa de un parque de

atracciones al sur de california

los visitantes pagan con gusto una

cantidad de dinero por el privilegio de

dejarse caer en caída libre a través del

espacio bajo la influencia de la

gravedad

gandhi es mucho mejor

y esto no me gusta nada

de hecho esta parte del paseo es gratis

por lo que realmente pagan los

visitantes es por una serie de medidas

que se han tomado y que les permite

sobrevivir a cualquier velocidad pero y

que hay de galileo

[Música]

si esto es una unidad de distancia esto

debería de ser 3 y esto 5 y así

sucesivamente y realmente lo son galileo

tenía razón

en sucesivos intervalos de tiempo las

distancias recorridas cayendo siguen los

números impares aquí hay algo más que

galileo también vio fíjense en la

distancia total recorrida en un instante

después del primer intervalo de tiempo

una unidad de distancia después del

segundo intervalo cuatro unidades de

distancia

después del tercer intervalo nueve

unidades de distancia después del cuarto

16 unidades

en otras palabras al final de cada

intervalo la distancia total recorrida

cayendo es de 14 9 16 25 y así

sucesivamente y esos números son por

supuesto cuadrados perfectos o sea que

la distancia recorrida en la caída es

proporcional al cuadrado del tiempo y de

este modo la ley de galileo se puede

escribir en una simple ecuación

utilizando ese para la distancia y t

para el tiempo

qué quiere decir que estamos hablando de

la distancia como función del tiempo

esta constante ce numéricamente es igual

a la distancia que recorre el cuerpo

cayendo durante el primer segundo es

decir 16 pies aproximadamente 5 metros

en cualquier punto de la caída la

distancia es igual a ce veces el

cuadrado del tiempo así después de dos

segundos la distancia recorrida cayendo

es igual a ce veces 2 al cuadrado o sea

4 c si tomamos el valor 16 para hacer

sabemos que ha caído 64 pies unos 19

metros y medio de nuevo esta fórmula

quiere decir que para cualquier instante

t se puede encontrar el valor de s

en este punto cualquier visitante aunque

petrificada por el susto puede

preguntarse cuánto ha recorrido en su

caída en cada instante

y quizá quiera también saber con qué

rapidez está cayendo se divide entonces

la distancia que recorre cayendo entre

el tiempo que ha empleado

por ejemplo como durante los dos

primeros segundos cayó 64 pies su

velocidad media será de 32 pies por

segundo unos 9 metros y medio por

segundo pero eso es solo su velocidad

media al comienzo ella estaba parada

después de dos segundos ella está

cayendo mucho más deprisa que 32 pies

por segundo

pero lo que realmente desea saber esta

mujer no es su velocidad media sino su

velocidad exacto instantánea en

cualquier instante dado sin embargo si

queremos utilizar la misma ecuación

dividiendo la variación de distancia por

la variación de tiempo se nos plantea un

serio problema

en cualquier instante durante la caída

digamos a 1.5 segundos la variación en

la distancia y en el tiempo es

exactamente cero así una fórmula que

determine la velocidad dividiendo la

variación en el tiempo no es útil cuando

se tiene un punto pero no un punto

separado b para trabajar con él y para

complicar aún más las cosas el máximo y

el mínimo del cociente serían 0 dividir

por 0 es un desastre matemático tal vez

la expresión velocidad instantánea sea

una contradicción en sus términos sin

embargo el propio sentido común nos dice

que un objeto en movimiento debe tener

una cierta velocidad en cada instante y

el problema es mucho más que un juego

ingenioso de palabras es un dilema que

ha importado durante miles de años a

todos los matemáticos pero no había modo

de resol

en lugar de pedir la velocidad

instantánea en un tiempo exacto te pida

cuál es la velocidad media entre el

tiempo

y un tiempo h segundos más tarde el

tiempo de más h

el cambio en el tiempo es h segundos si

la distancia recorrida cayendo en un

tiempo t es igual a c veces que al

cuadrado la distancia recorrida cayendo

en el tiempo de más h debe ser igual a c

veces t h al cuadrado

[Música]

[Música]

hemos resuelto el problema y ahora ya

podemos calcular la velocidad media

comenzando en cualquier instante para

cualquier intervalo h h puede ser un

segundo medio segundo una décima de

segundo o incluso cero porque ahora no

estamos dividiendo por cero

ahora podemos reducir el intervalo y

hacerlo más pequeño más pequeño y más

pequeño hasta llegar al límite

en ese instante hemos calculado una

derivada ya que el intervalo se ha

reducido a cero si h es exactamente cero

nos encontramos con que en un instante t

cualquiera

existe una velocidad instantánea y la

llamaremos v v es igual a 2 c

si seguimos utilizando el valor 16 para

fe podríamos decirle a esa joven no se

preocupe señora

la distancia que usted ha recorrido es

sólo 16 veces t al cuadrado pies unos 5

metros y su velocidad en cada instante

ha sido 32 veces t pies por segundo casi

10 metros por segundo

obviamente se ha quedado impresionada

como lo cálculo podría preguntar

nosotros acabamos de inventar la

derivada

en el lenguaje común derivada quiere

decir que deriva de algo como por

ejemplo en la frase el dulce de

chocolate es derivado del chocolate pero

en matemáticas esa palabra tiene un

significado técnico muy concreto es el

ritmo con el que algo está cambiando la

velocidad de la caída de esta señora era

la derivada de la distancia desde lo

alto en otras palabras la velocidad es

la derivada de la distancia

al principio cuando hablamos de su

velocidad media estábamos haciendo

álgebra simplemente dando valores a la

ecuación velocidad igual a distancia

dividida por tiempo

pero cuando comenzamos a trabajar con un

intervalo de duración h y lo hicimos

tender a cero estábamos calculando una

derivada y entramos en el mundo del

cálculo diferencial

el cálculo diferencial es la matemática

de utilizar derivadas

calcular una derivada se llama

diferenciación las derivadas no sólo se

aplican a los cuerpos en movimiento se

puede calcular también una derivada que

represente el ritmo de cambio de una

población de delfines con relación a la

temperatura del océano

o del volumen de un globo respecto al

área de su superficie

oa la variación en el precio de una

pizza respecto a su diámetro

en otras palabras las derivadas se puede

calcular para casi toda situación en la

que haya variación en alguna cantidad

cuando otra de las cantidades aumente o

disminuya

para ir de la distancia a la velocidad

tuvimos que calcular una derivada pero y

qué pasa con la aceleración de un cuerpo

al caer pues que para ir de la velocidad

a la aceleración hacemos exactamente lo

mismo

sirve como función de t es igual a 27

entonces v

dt h igual a 2 c dt h

[Música]

dt igual 12 pero vean lo que ha ocurrido

primero la distancia s se mantiene

creciendo con el tiempo si hay variación

en t

hay variación también en s y la

velocidad v también crece con el tiempo

pero ahora nos hemos encontrado con que

la aceleración a no depende en absoluto

del tiempo es sencillamente una

constante a igual 12

independiente del valor de t es siempre

la misma por fin lo hemos conseguido

hemos obtenido que el resultado de la

gravedad es una aceleración constante

teníamos tres preguntas sobre la caída

de los cuerpos cuanto caían con qué

velocidad y con qué rapidez variaba su

velocidad con bastante facilidad pudimos

saber la distancia recorrida observando

a nuestra joven amiga su velocidad media

se obtuvo por medio del álgebra y luego

para saber a qué velocidad caía

exactamente el cuerpo en cada instante y

con qué rapidez variaba su velocidad

tuvimos que utilizar ese maravilloso

instrumento matemático la derivada

usando la derivada hemos podido explicar

el movimiento de caída de los cuerpos

los cuerpos caen con aceleración

constante como esa aceleración es muy

importante tiene su símbolo propio una g

minúscula

igual 2 c

y ahora ya podemos escribir las tres

expresiones de la ley de la gravedad en

su forma definitiva cambiando c por g

partido por 2

según esta ley un cuerpo cae con una

aceleración constante con velocidad

proporcional al tiempo y recorre una

distancia al caer proporcional al

cuadrado del tiempo

este tipo de movimiento se llama

movimiento uniformemente acelerado

es difícil pero no imposible llegar a

conocer esos tres hechos sobre el

movimiento uniformemente acelerado sin

hacer uso del cálculo diferencial

pero galileo comprendió los tres hechos

en realidad casi 300 años antes de

galileo un erudito francés llamado ni

colores me trabajo sobre el

comportamiento del movimiento

uniformemente acelerado ahora sme y

galileo utilizaron casi idénticos

métodos matemáticos para analizar el

problema dichos métodos se basaban no en

ecuaciones algebraicas sino en

proporciones entre cantidades y en

figuras geométricas

la derivada fue inventada una generación

después de la muerte de galileo por ser

isaac newton gottfried virgen online y

con este nuevo y poderoso método de

análisis se pueden analizar tipos aún

más complicados de movimientos describir

el movimiento uniformemente acelerado

llega a ser incluso muy fácil

sin las derivadas es muy difícil

entender qué significa aceleración y

menos aún describir el movimiento

uniformemente acelerado y explotar a

fondo sus consecuencias

y sin embargo es mi galileo lo hicieron

describieron el movimiento uniformemente

acelerado y sacaron sus consecuencias

fueron verdaderos genios

una de las tareas de la física es la de

encontrar principios sencillos

económicos pero importantes que

expliquen nuestro complicado mundo

y eso es lo que hemos hecho hoy

si yo dejo caer algo

cae bajo la influencia de la gravedad de

la tierra

al caer su movimiento ha sufrido una

cierta influencia debido a la oposición

del aire

sí ahora imagino que puedo deshacerme

del aire y dejó caer el objeto en el

vacío

enseguida descubro un dramático y a la

vez sorprendente hecho todos los cuerpos

caen a la misma velocidad

podría contentar me con este hecho

descubrirlo desde luego fue un logro

impresionante

pero no nos contentamos ahora queremos

saber por qué sucede esto así cuál es la

naturaleza de la gravedad que lleva tan

extraño comportamiento esa cuestión es

una de las más profundas de la física

duro hasta nuestro propio siglo fue el

punto de partida para la teoría general

de la relatividad de albert einstein

pero nos estamos adelantando en nuestra

historia

[Música]

una vez aprendimos que todos los cuerpos

al caer se regían por una ley nuestra

tarea consistió en explicar esa ley con

toda precisión todos los cuerpos caen

con la misma aceleración constante y la

aceleración es el ritmo de cambio de la

velocidad y la velocidad es el ritmo de

cambio de la distancia

así tenemos en realidad tres

proposiciones matemáticas precisas de la

ley de la gravedad se relacionan entre

sí por medio de un grande y crucial

descubrimiento de la historia de las

matemáticas el cálculo diferencial

descubierto por newton y por line es un

gran triunfo el suceso más importante en

matemáticas durante miles de años

newton y bone line y sacrificaron la

dicha de su descubrimiento en una amarga

discusión sobre quién lo descubrió

primero las tres proposiciones son cabos

sueltos de la historia que estamos

tratando de desarrollar no hay

contestación

según la ley de la gravedad un cuerpo

cae con una aceleración constante a una

velocidad proporcional al tiempo

y recorre en la caída una distancia

proporcional al cuadrado del tiempo