Fracciones parciales caso 2

Cátedra de Matemática FCE-ULACIT

13 Jul 202307:46

Summary

TLDREl guión del video ofrece una explicación detallada sobre cómo expresar una fracción racional en fracciones parciales. Se analiza el denominador, se factoriza y se identifican las restricciones. Seguidamente, se descompone la fracción original en términos de fracciones parciales, utilizando técnicas como el uso de fórmulas notables y la distribución algebraica. El proceso culmina en el establecimiento de un sistema de ecuaciones para resolver los coeficientes A, B y C, obteniendo así la representación en fracciones parciales del polinomio dado.

Takeaways

📚 El ejercicio 119 trata sobre la expresión en fracciones parciales de una fracción racional dada.
🔍 Se analiza el denominador para determinar si está factorizado o si puede serlo, y se identifica que es un producto notable.
📐 Se factoriza el denominador como x(x - 1)^2 y se distribuye el numerador entre este denominador factorizado.
📝 Se establecen las restricciones para la fracción parcial, que son x = 0, x = 1 y x = -1.
📈 Se utiliza el método de fracciones parciales para descomponer la fracción en términos de x, (x - 1) y (x - 1)^2.
🧩 Se asignan letras a los factores para facilitar la resolución del sistema de ecuaciones resultante.
🔄 Se distribuyen los términos y se agrupan los coeficientes de x^2, x y los constantes.
📉 Se establece un sistema de ecuaciones para resolver los valores de A, B y C.
📌 Se resuelve el sistema de ecuaciones, encontrando los valores de A como 5, B como -3 y C como 6.
📝 Se reemplazan los valores de A, B y C en la fracción para obtener las fracciones parciales finales.
📑 El resultado final es la representación de la fracción racional en forma de fracciones parciales con los valores calculados.

Q & A

¿Qué es una fracción racional y cómo se expresa en fracciones parciales?
-Una fracción racional es una expresión matemática que combina un polinomio numerador y un polinomio denominador. Para expresar una fracción racional en fracciones parciales, se descompone en una suma de fracciones más simples, donde cada fracción tiene un factor del denominador como su denominador.
¿Cuál es el primer paso para expresar una fracción racional en fracciones parciales según el guión?
-El primer paso es estudiar el denominador y verificar si está factorizado. Si no lo está, se debe factorizar para poder proceder con la descomposición en fracciones parciales.
¿Cómo se factoriza el denominador dado en el guión?
-El denominador se factoriza sacando una x común y luego aplicando el producto notable, resultando en x(x - 1)^2.
¿Por qué es importante dejar el denominador expresado como un producto notable?
-Es importante para identificar claramente los factores que se repetirán en las fracciones parciales y para facilitar el proceso de descomposición.
¿Cómo se asignan las letras a las fracciones parciales en el caso de un denominador factorizado al cuadrado?
-Se asigna una letra a cada factor del denominador, y cuando un factor se repite, se asigna la misma letra con un exponente correspondiente a la cantidad de repeticiones, como en el caso de (x - 1)^2 donde se escribe B/(x - 1)^2.
¿Cuáles son las restricciones para la fracción dada en el guión?
-Las restricciones son los valores que hacen que el denominador sea cero, en este caso, x = 0, x = 1 y x = -1.
¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C en las fracciones parciales?
-Se establecen las ecuaciones de igualdad entre los coeficientes de los términos de las fracciones parciales y los términos correspondientes del numerador original, y se resuelven para encontrar los valores de A, B y C.
¿Qué se hizo con el término independiente del numerador original, 5, en el proceso de descomposición en fracciones parciales?
-El término independiente 5 se asignó al término que no contiene x en la fracción parcial correspondiente a (x - 1)^2, lo que resultó en la ecuación C = 5.
¿Cómo se distribuyen los términos en el proceso de descomposición?
-Se distribuyen los términos multiplicando cada coeficiente A, B y C por los factores correspondientes del numerador, y se agrupan los términos con x al cuadrado, los términos con x y los términos independientes.
¿Cuál es la finalidad de la descomposición en fracciones parciales y cómo se aplica en el guión?
-La descomposición en fracciones parciales permite simplificar fracciones racionales y facilitar su integración o diferenciación. En el guión, se aplica para descomponer la fracción dada y encontrar sus fracciones parciales correspondientes.
¿Cómo se identifican los valores de A, B y C en las fracciones parciales resultantes?
-Se identifican al resolver el sistema de ecuaciones formado por igualar los coeficientes de los términos correspondientes en las fracciones parciales y el numerador original.
¿Qué valores se obtuvieron para A, B y C en el ejemplo del guión?
-Se obtuvieron los valores A = 5, B = -3 y C = 6 para las fracciones parciales.

Outlines

00:00

📚 Expresión de Fracciones Parciales

El primer párrafo discute cómo expresar una fracción racional en fracciones parciales. Se analiza el denominador para factorizarlo y se identifica como un producto notable. Se describe el proceso de asignar letras a los factores y se destaca la importancia de expresar el denominador como un cuadrado para facilitar la división en fracciones parciales. Se establecen las restricciones para la fracción y se procede a sumar las fracciones utilizando un denominador común, permitiendo cancelar los denominadores debido a las restricciones. Finalmente, se resuelve la fracción resultante.

05:03

🔍 Resolución de un Sistema de Ecuaciones para Fracciones Parciales

El segundo párrafo se enfoca en la resolución de un sistema de ecuaciones derivado de la expresión de fracciones parciales. Se detalla el proceso de distribución y agrupación de términos con el mismo grado, y se extrae un factor común para simplificar la ecuación. Se establece un sistema de ecuaciones con los coeficientes de los términos de x al cuadrado, x y los constantes. Se resuelve el sistema sustituyendo los valores adecuados para encontrar los coeficientes a, b y c. Finalmente, se aplica el resultado para obtener las fracciones parciales correspondientes al polinomio original.

Mindmap

Keywords

💡Fracciones parciales

Las fracciones parciales son una técnica matemática usada para simplificar una fracción racional dividiéndola en una suma de fracciones más simples, cada una de las cuales tiene un denominador más sencillo. En el video, se utiliza esta técnica para expresar la fracción dada en términos de fracciones más manejables, lo cual es central para el tema de la explicación matemática.

💡Factorización

La factorización es el proceso de descomponer un polinomio en un producto de sus factores más simples. En el script, se menciona la importancia de factorizar el denominador para poder aplicar las fracciones parciales, como se ve en la expresión 'x^3 - 2x^2 + x' que se factoriza en 'x(x^2 - 2x + 1)'.

💡Factor común

Un factor común es un término que se repite en cada uno de los términos de un polinomio y que se puede extraer para simplificar la expresión. En el video, se extrae 'x' como factor común para simplificar el denominador, lo que se refleja en la frase 'sacando una x si sacamos una x a factor común nos queda x por x^2 - 2x + 1'.

💡Producto notable

Un producto notable es una expresión matemática que es comúnmente usada y que se memoriza para facilitar cálculos. En el script, 'x(x - 1)^2' se menciona como un producto notable, lo que ayuda a identificar rápidamente cómo se pueden simplificar las fracciones parciales.

💡Restricciones

Las restricciones son los valores que hacen que una fracción sea indefinida o que cancelen términos en una expresión. En el video, las restricciones son 'x = 0', 'x = 1', y se mencionan para asegurarse de que no se divida por cero al simplificar las fracciones parciales.

💡Máximo común denominador (MCD)

El MCD es el menor denominador que es común a dos o más fracciones, y se usa para sumar o restar fracciones. En el script, se utiliza el MCD para combinar las fracciones parciales en una sola fracción, como se indica en 'vamos a sumarlas utilizando máximo común denominador'.

💡Distribución

La distribución es el proceso de multiplicar un término por cada término dentro de un paréntesis, lo que se hace para simplificar las fracciones parciales. En el video, se utiliza la distribución para expandir 'A(x - 1) + B(x - 1)^2 + C(x - 1)^2', lo que se ve en la parte donde se distribuye 'BX por x' y 'BX por -1'.

💡Agrupación

La agrupación es el proceso de reorganizar términos en una expresión para facilitar su simplificación. En el script, se agrupan los términos con 'x^2', 'x' y los constantes para formar un sistema de ecuaciones, como se describe en 'Este primer paréntesis, es donde está la agrupación de todo lo que tiene x al cuadrado'.

💡Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que se resuelve juntas para encontrar los valores de las variables. En el video, se forma un sistema de ecuaciones a partir de la agrupación de términos para determinar los coeficientes A, B y C en las fracciones parciales, como se muestra en 'montar el sistema de ecuaciones de este lado eso es lo que tiene el X al cuadrado y de este lado eso es lo que tiene x al cuadrado'.

💡Despeje

El despoje es el proceso de resolver una ecuación o sistema de ecuaciones para encontrar los valores desconocidos. En el script, se utiliza el despoje para determinar los valores de 'a', 'b' y 'c' en las fracciones parciales, como se indica en 'cuando ya tienen a y b, entonces solamente sustituyen ahí el B por los valores respectivos y despejan el c'.

Highlights

El ejercicio 119 pide expresar una fracción racional en fracciones parciales.

Es necesario estudiar el denominador para determinar si está factorizado o no.

Se puede aplicar el factor común o utilizar fórmulas generales para factorizar.

El denominador se factoriza como x(x - 1)^2.

Es importante expresar el denominador como un producto notable para facilitar el proceso.

La fracción original se expresa en términos del denominador factorizado.

Se asignan letras a los factores para utilizar fracciones parciales.

Dado que (x - 1) está al cuadrado, se repite en las fracciones parciales.

Se escriben las fracciones parciales de forma ascendente, aumentando el grado.

Las restricciones para las fracciones parciales son x = 0, x = 1 y x = -1.

Se utiliza el máximo común denominador para sumar las fracciones parciales.

Se cancelan los denominadores comunes que son restricciones.

Se distribuye el BX y se agrupan los términos con x^2, x y constantes.

Se forma un sistema de ecuaciones para resolver A, B y C.

Se resuelve el sistema de ecuaciones para encontrar los valores de A, B y C.

Se sustituyen los valores de A, B y C en las fracciones parciales.

Se obtienen las fracciones parciales finales para la fracción polinómica dada.