Conway's Base 13 Function - Numberphile

Summary

Este video explora la asombrosa función base 13 de Conway, una propuesta matemática que mapea números reales a valores decimales no únicos. A través de una explicación accesible, se desentraña cómo esta función, basada en el sistema numérico base 13, genera una estructura fractal que llena el plano con infinitos puntos cercanos a un mismo valor. La función revela la complejidad oculta en las matemáticas y cómo incluso números como pi o la raíz cuadrada de dos pueden tener múltiples representaciones. Un concepto intrigante que desafía nuestra percepción de los números y sus interacciones.

Takeaways

• 😀 La función de Conway en base 13 es un concepto matemático fascinante que involucra una transformación única de números reales en una secuencia de decimales en base 13.
• 😀 Las funciones matemáticas pueden ser entendidas como asignaciones de valores únicos a entradas específicas, pero Conway crea una función que permite múltiples valores para una misma entrada.
• 😀 Una función es un proceso predefinido y siempre devuelve el mismo valor para una entrada dada, pero las funciones no necesariamente tienen que ser continuas.
• 😀 La base 13 amplía el sistema de numeración más allá del sistema decimal tradicional, introduciendo símbolos como A, B y C para representar los valores 10, 11 y 12.
• 😀 Para convertir un número en base 10 a base 13, se divide el número entre 13 y se toma el residuo como parte del número resultante.
• 😀 La función de Conway no solo convierte números en base 13, sino que utiliza una secuencia de dígitos decimales y una regla específica para generar un nuevo número decimal.
• 😀 La función de Conway permite transformar números reales en base 13 en números decimales de forma que no sean únicos, permitiendo la aproximación a valores arbitrarios como pi o la raíz cuadrada de 2.
• 😀 En base 13, los números se representan con una secuencia de dígitos, y los valores después del último dígito específico (por ejemplo, A o B) se ignoran en la función de Conway.
• 😀 La función de Conway crea un sistema que puede generar números decimales que son arbitrariamente cercanos a cualquier número real, mostrando una relación fractal entre los puntos.
• 😀 Aunque base 13 es utilizada en este ejemplo, la función de Conway puede aplicarse a otras bases, como base 7 o base 4, y sigue funcionando de manera similar.
• 😀 La función de Conway tiene implicaciones en la teoría de funciones y matemáticas puras, pero su verdadera belleza radica en cómo transforma la representación de números reales en algo totalmente nuevo.

Q & A

¿Qué es una función según el contexto de este video?

Una función es una relación matemática que asigna un valor único a cada entrada. Si tomamos una entrada y la aplicamos a la función, siempre debe darnos el mismo valor de salida. No importa cuántas veces apliquemos la misma entrada, la salida será constante.

¿Cómo se representa típicamente una función en matemáticas?

Normalmente, se representa como f(x), donde f es el nombre de la función y x es el valor de entrada. Por ejemplo, una función común podría ser f(x) = x² + 1.

¿Qué diferencia existe entre una función continua y una no continua?

Una función continua tiene un gráfico suave y sin interrupciones, mientras que una función no continua, como una función escalonada, tiene saltos o discontinuidades en ciertos puntos del dominio.

¿Qué es el concepto de base en matemáticas y cómo se aplica en este video?

Una base es el sistema de numeración en el que se expresan los números. En este video se utiliza la base 13, donde se usan los dígitos 0-9 y los símbolos A, B y C para representar los valores 10, 11 y 12 respectivamente.

¿Cómo se convierte el número 99 de base 10 a base 13?

Para convertir el número 99 de base 10 a base 13, dividimos 99 entre 13, obteniendo un cociente de 7 y un residuo de 8. Por lo tanto, 99 en base 13 es 78.

¿Por qué es útil la base 13 según el video?

La base 13 es útil porque puede extenderse a todos los números reales, permitiendo la conversión de números como pi o la raíz cuadrada de 2 a base 13 de manera similar a cómo lo haríamos en base 10.

¿Qué hace la función de Conway con los números reales en base 13?

La función de Conway toma un número real en base 13, realiza una serie de transformaciones y genera un número decimal. La función no es única, ya que varios números pueden tener el mismo valor decimal como resultado.

¿Cómo se manejan los números negativos en la función de Conway?

Para los números negativos, se utiliza un procedimiento similar, pero con la diferencia de que el último dígito C se interpreta como el signo negativo, generando así un número negativo en base 10.

¿Qué significa que la función de Conway puede generar el mismo número decimal para diferentes números?

Esto significa que la función de Conway no es inyectiva, es decir, varios números reales diferentes pueden mapearse al mismo número decimal. De hecho, se pueden encontrar números muy cercanos entre sí que se mapean al mismo valor.

¿Por qué la función de Conway tiene una naturaleza fractal?

La función de Conway tiene una naturaleza fractal porque, al zoomear en el gráfico de la función, uno puede observar patrones infinitamente repetitivos y complejos, incluso si desde una distancia parece que la función colorea toda la planeación de manera continua.