Intervalos de confianza de la media poblacional con una desviación estándar conocida
Summary
TLDREl tutorial explica cómo calcular el intervalo de confianza para la media poblacional con una desviación estándar conocida. Se discuten niveles de confianza y cómo convertir porcentajes en valores Z a través de tablas de distribución normal estándar. Se ilustra con ejemplos, incluyendo el cálculo del intervalo de confianza para el gasto promedio de fumadores en cigarrillos y la capacidad de botellas de agua purificada. Se enfatiza la importancia de esta técnica para estimar parámetros poblacionales con precisión.
Takeaways
- 📚 El tutorial explica el concepto de intervalo de confianza para la media poblacional con una desviación estándar conocida.
- 🔢 Los niveles de confianza pueden variar desde el 0% hasta el 100%, siendo los más comunes 99%, 95% y 80%.
- 📉 Para calcular un nivel de confianza, se transforma el porcentaje a decimales y se divide entre dos para encontrar la mitad de la distribución normal.
- 📈 Se utiliza una tabla de áreas de la distribución normal estándar para encontrar el valor Z correspondiente al nivel de confianza buscado.
- 📝 La fórmula para el intervalo de confianza es: media de la muestra ± (valor Z * desviación estándar / √n).
- 🚬 En un ejemplo, se calcula el intervalo de confianza para la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos en una semana, con una muestra de 45 fumadores.
- 💧 En otro ejemplo, se construye un intervalo de confianza para la capacidad de un envase de agua purificada de 5 litros, con una muestra de 50 botellas.
- 📉 El valor Z para un nivel de confianza del 95% es 1.96, para el 99% es 2.58, y para el 80% es 1.28.
- ✅ El intervalo de confianza se utiliza para estimar el valor real de la población, y se interpreta como un rango que, con cierta probabilidad, incluirá el valor poblacional.
- 📋 Al final del tutorial, se sugiere que los estudiantes anoten los resultados de los intervalos de confianza y las conclusiones en sus evaluaciones.
- 🔗 Se menciona la posibilidad de compartir una tabla de áreas de la distribución normal estándar en un enlace adicional.
Q & A
¿Qué es el intervalo de confianza y cómo se relaciona con la media poblacional?
-El intervalo de confianza es un rango numérico que estima con un cierto nivel de certeza el valor real de la media poblacional, utilizando una muestra estadística. Se calcula a partir de la media de la muestra, la desviación estándar poblacional y el tamaño de la muestra.
¿Cuáles son los niveles de confianza más comunes utilizados en la estadística?
-Los niveles de confianza más comunes son el 99%, 95% y 80%, aunque pueden variar y ser expresados como porcentajes que van desde 0 hasta 100%.
¿Cómo se transforma un nivel de confianza en un valor Z?
-Para transformar un nivel de confianza en un valor Z, primero se convierte el porcentaje en decimal (por ejemplo, 99% se convierte en 0.99), se divide entre dos y se busca en una tabla de la distribución normal estándar el valor Z correspondiente.
¿Qué es la fórmula para calcular el intervalo de confianza con una desviación estándar conocida?
-La fórmula para calcular el intervalo de confianza es: media de la muestra ± (valor Z * (desviación estándar / √n)), donde n es el tamaño de la muestra.
¿Cómo se determina el estimador puntual de la media poblacional en el ejemplo de la encuesta sobre fumadores?
-El estimador puntual de la media poblacional en este caso es la media de la muestra, que es de 20 pesos, y se usa para aproximar la media de la población.
¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para la cantidad que los fumadores gastan en cigarrillos por semana según el ejemplo?
-El intervalo de confianza del 95% para la cantidad que los fumadores gastan en cigarrillos por semana es de 18.55 a 21.45 pesos.
¿Cómo se determina si la empresa de agua purificada cumple con su afirmación sobre la capacidad de los envases según el intervalo de confianza del 99%?
-Se verifica si el rango del intervalo de confianza, que es de 4.82 a 5.18 litros, incluye la capacidad afirmada de 5 litros. Como lo incluye, la empresa cumple con su afirmación.
¿Cuál es el valor Z para un nivel de confianza del 99% según el script?
-El valor Z para un nivel de confianza del 99% es 2.58, según la tabla de la distribución normal estándar utilizada en el script.
¿Cómo se calcula el intervalo de confianza para el ejemplo de la botella de agua purificada?
-Se utiliza la fórmula del intervalo de confianza y se sustituyen los valores correspondientes: la capacidad de la botella (5 L), el valor Z para un 99% de confianza (2.58), y la desviación estándar (0.5 L) dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra (√50).
¿Por qué es importante el intervalo de confianza en la toma de decisiones estadísticas?
-El intervalo de confianza es importante porque proporciona un rango dentro del cual se espera que caiga el valor real de la media poblacional con un cierto nivel de certeza. Esto ayuda a los tomadores de decisiones a entender la incertidumbre asociada a sus estimaciones y a tomar decisiones más informadas.
Outlines
📚 Introducción al Intervalo de Confianza
El primer párrafo introduce el tema del intervalo de confianza para la media poblacional, explicando la importancia de los niveles de confianza y cómo transformar porcentajes en valores Z. Se menciona que los niveles de confianza comunes son del 99%, 95% y 80%, y se da un ejemplo práctico de cómo calcular el valor Z para diferentes niveles de confianza, utilizando una tabla de distribución normal estándar.
📉 Aplicación del Intervalo de Confianza
Este párrafo presenta un ejemplo práctico de cómo calcular el intervalo de confianza utilizando una muestra de fumadores y su gasto promedio en cigarrillos. Se describe el proceso de calcular el estimador puntual de la media poblacional y cómo construir el intervalo de confianza al 95%, utilizando la fórmula dada y los valores Z correspondientes.
💧 Intervalo de Confianza para un Nuevo Producto
El tercer párrafo se centra en otro ejemplo, esta vez para una empresa de agua purificada y su nueva presentación de 5 litros. Se pide construir un intervalo de confianza del 99% para la capacidad de llenado de la botella, utilizando una muestra de 50 botellas y una desviación estándar de 0.5 litros. Se sigue el proceso de cálculo, obteniendo los límites del intervalo y concluyendo si la empresa cumple con sus afirmaciones.
🙏 Conclusión del Tutorial
El último párrafo concluye el tutorial, ofreciendo un resumen de los conceptos aprendidos y animando a los estudiantes a aplicarlos en sus pruebas y evaluaciones. El presentador desea éxito a los estudiantes y menciona la posibilidad de compartir una tabla de áreas de la distribución normal en un enlace posterior en el video.
Mindmap
Keywords
💡Intervalo de confianza
💡Desviación estándar
💡Niveles de confianza
💡Valor Z
💡Áreas de la distribución normal estándar
💡Media de la muestra
💡Estimador puntual
💡Fórmula del intervalo de confianza
💡Raíz cuadrada
💡Ejemplos prácticos
Highlights
Tutorial sobre el concepto de intervalo de confianza para la media poblacional con una desviación estándar conocida.
Niveles de confianza que pueden variar desde el 0% hasta el 100%, siendo los más comunes 99%, 95% y 80%.
Explicación de cómo transformar porcentajes en valores Z para resolver problemas de intervalos de confianza.
Proceso de búsqueda de valores Z en la tabla de áreas de la distribución normal estándar.
Ejemplo práctico de cómo calcular el valor Z para un nivel de confianza del 99%.
Uso de la fórmula del intervalo de confianza con una muestra y una desviación estándar conocida.
Ejemplo de aplicación: encuesta sobre la cantidad media que los fumadores gastan en cigarrillos semanalmente.
Determinación del estimador puntual de la media poblacional a partir de la media de la muestra.
Construcción de un intervalo de confianza al 95% para la media poblacional de los gastos en cigarrillos.
Cálculo del intervalo de confianza utilizando la raíz cuadrada del número de datos de la muestra.
Ejemplo de cómo interpretar y presentar el resultado del intervalo de confianza en exámenes o evaluaciones.
Conclusión sobre la estimación de la media poblacional de los gastos en cigarrillos con un intervalo de confianza del 95%.
Aplicación de un intervalo de confianza del 99% para la capacidad de un envase de agua purificada de 5 L.
Análisis de si la empresa cumple con su afirmación sobre la capacidad del envase de agua purificada.
Conclusión sobre si el rango del intervalo de confianza incluye la capacidad afirmada por la empresa.
Promesa de compartir la tabla de áreas de la distribución normal estándar en un enlace del video.
Agradecimiento y despedida del tutorial, invitación a comentarios, sugerencias y dudas.
Transcripts
[Música]
revisemos ahora el tutorial referente al
tema de lo que es intervalo de confianza
de la media poblacional con una
desviación estándar conocida antes les
voy a explicar esta parte de los niveles
de confianza siempre cuando se presenten
problemas referentes a este tema les van
a presentar niveles de confianza que
pueden ir desde 0 hasta el 100% los
porcentajes más usuales son
99% 95 por u 80% puede variar ahora Lo
importante es que ustedes aprendan a
transformar estos porcentajes a valores
zas o valor Z lo cual les va a permitir
resolver los problemas vamos a ver cómo
se realiza Por ejemplo si les piden un
nivel de confianza del 99%
lo primero que tienen que hacer es
transformar este porcentaje a decimales
que en este caso quedaría pun
9900 utilicen cuatro decimales después
esta cantidad la van a dividir entre dos
y esto sería igual a
4950 este valor representa una de las
Mitades de nuestra distribución normal
ahora qué es lo que van a hacer van a
buscar esta cantidad en la siguiente
tabla que se les voy a presentar
Aquí esta tabla muestra lo que son las
áreas de la distribución normal estándar
entonces el punto 4950 lo van a buscar
en esta parte este valor lo deben de
buscar igual o aproximado por ejemplo
aquí tenemos en esta
parte
4949 después tenemos punto 49
951 vamos a utilizar este valor que es
eh mayor al que tenemos Y en este caso
es el que más acerca ahora qué es lo que
van a hacer van a buscar la coordenada
del valor Z primero horizontalmente que
sería
2.5 después se regresan y van a subir
verticalmente que sería
0.08 Entonces el valor Z sería
2.58 y lo van a anotar Aquí bueno en
este caso yo lo
anoto
2.58 ahora otro ejemplo si les piden 95
por De igual forma lo van a transformar
a decimales que sería
9500 son cuatro cifras lo dividen entre
dos y les va a dar pun
4750 esta cantidad también la van a
buscar en su su tabla y vamos a ver cuál
es el que más se aproxima en este caso
veamos aquí tenemos pun 47 44 y después
4750 Aquí no hay problema porque es el
valor Exacto que estamos buscando y De
igual forma vamos a buscar la coordenada
del valor Z horizontalmente tenemos
1.9 nos regresamos después verticalmente
y tenemos
0.05 por lo tanto el valor Z sería de 1
pun
90 no en este caso Perdón es 0.06
Entonces sería
1.96 sería nuestro valor
Z y lo
ponemos después otro ejemplo tenemos el
80% también lo transformamos a decimales
que sería punto eh 8000 lo vamos a
dividir entre dos y nos va a dar punto
eh 4000 no vamos a buscarlo también en
nuestra
tabla vean aquí tenemos
eh aquí tenemos por ejemplo pun 3880
después pun 3997 y pun 40 15 Cuál es el
que más aproxima en este caso sería este
entonces una vez localizado vamos a
determinar el valor Z horizontalmente
1.2 después verticalmente
0.08 por lo tanto nuestro valor Z sería
de
1.28 y lo
anotamos Así es como se determinan los
valores Z cuando les piden cierto nivel
de confianza ahora vamos a ver la
fórmula que se que van ustedes a ocupar
para determinar el intervalo de
confianza eh con una desviación estándar
conocida que es esta que tengo aquí
anotada Qué representan los valores esta
x barra es la media de la muestra este
signo que tenemos aquí es la deviación
estándar poblacional y n es el número de
datos de la muestra por lo tanto la
media de la muestra más menos el valor Z
por la deviación estándar entre la raíz
cuadrada del número de datos de la
muestra Esa es la forma de interpretarla
bien Vamos a ver un ejemplo uno qué es
lo que nos dice este problema una
empresa de investigación llevó a cabo
una encuesta para determinar la cantidad
media que los fumadores gastan en
cigarrillos durante una semana la
empresa descubrió que la distribución de
cantidades que gastan por semana tendía
a seguir una distribución normal con una
desviación estándar de cinco ya tenemos
la desviación estándar necesaria para
nuestra fórmula una muestra de 45
fumadores reveló que eh la media de la
muestra es de 20 pesos Okay ahora inciso
A qué es lo que nos dicen cuál es el
estimador puntual de la media de la
población explique lo que indique inciso
B con el nivel de confianza de
95 Determine el intervalo de confianza
de la media poblacional vamos a resolver
primero el inciso A cuál es el estimador
puntual de la media de la población en
este caso sería la media de la muestra
que es de 20 pesos este va a ser nuestro
estimador puntual que se podría
aproximar a la media de la población
ahora vamos a hacer el inciso B tenemos
que construir un intervalo de confianza
con eh
un nivel del 95 por siempre cuando
ustedes tengan este tipo de de problemas
anoten sus datos es el primer paso en
este caso tenemos que anotar primero n
que es el número de la muestra que es de
45 vamos a
anotarlo después tenemos la media de la
muestra que es de
20 la desviación estándar que para este
caso sería de
cco el nivel de confianza se va a
representar de esta forma y lo que nos
están pidiendo es el 95 por. ahora si
recuerdan el valor Z para el 95 es de
1.96 ahora El segundo paso ya tenemos
nuestra fórmula simplemente vamos a
meter estos datos sustituyendo de tal
forma que aquí tenemos
que primero va la media de la muestra
que es de 20 lo voy a poner aquí arriba
es 20 más menos tenemos el valor Z que
es de 1.
96 y lo vamos a multiplicar por la
desviación estándar que es de 5 entre la
raíz cuadrada de n que es
45 Ahora Esto va a ser igual Tenemos
aquí 20 más menos
1.96 5 entre van a sacar la raíz
cuadrada de 45 que sería
6.70 yo estoy manejando dos decimales
también depende lo que eh sus profesores
les digan Entonces ahora qué es lo que
hay que hacer seguimos 20 má men
1.96 vamos a dividir 5 entre
6.70 que nos va a dar un
resultado de pun
[Música]
74 y después tenemos 20 más menos si
multiplicamos
1.96 por pun 74 nos va a dar
1.45 ahora qué es lo que sigue en este
en este en este proceso del desarrollo
de la Fórmula 20 lo vamos a 20 le vamos
a sumar
1.45 para determinar un intervalo y
después 20 - 1.45 para
determinar el siguiente el segundo
límite de nuestro
intervalo ahora 20 +
1.45 nos va a dar
21.45 y 20 - 1.45 nos va a dar
18.55 estos datos van a ser los límites
de nuestro intervalo ahora
e Cómo van a anotar esto a manera de
resultado para que pues ustedes lo lo
pongan en sus evalua en sus evaluaciones
o exámenes el resultado lo van a notar
de la siguiente forma el primer límite
que es de
18.55 de esta forma y después el segundo
límite que es de 21 pun 45 así van a
notar el resultado y bien ahora también
les pueden pedir una conclusión que
ustedes interpreten esto que están
poniendo cómo sería bien
aproximadamente 95 por de los intervalos
construidos de forma similar incluirán
la media poblacional de lo que gastan
los fumadores en la compra de
cigarrillos dur durante una semana los
límites son
18.55 y
21.45 esa es la conclusión a la que
ustedes tendrían que llegar y si ustedes
la notan en sus evaluaciones van a eh
obtener seguramente una buena impresión
de sus profesores bien Vamos a revisar
un ejemplo dos nos dice una empresa de
agua purificada lanza al mercado una
nueva presentación cuyo en base tiene la
capacidad de 5 L el proceso de llenado
muestra una desviación estándar de 0.5 l
si la inspección hace un muestreo
aleatorio en el mercado y emplea una
muestra de 50 botellas Construye un
intervalo de confianza del 99% para
dicho producto La pregunta es cumple la
empresa con lo que afirma vamos a ver
Recuerden que siempre tienen que
comenzar anotando sus datos n tenemos
que son el número de la muestra 50
botellas lo ponemos después tenemos la
media de la muestra no la tenemos
explícitamente pero vamos a utilizar la
capacidad de esta nueva presentación que
es de 5 L y la vamos a poner después la
desviación estándar que vemos aquí una
desviación estándar de
0.5 después el nivel de confianza que
nos están pidiendo y que Recuerden que
se representa de esta forma es del
99% y el el 99% convertido a valor Z
sería
2.58 ahora vamos a meter estos datos en
nuestra fórmula Recuerden que la fórmula
es la media de la muestra más menos el
valor Z multiplicado por la desviación
estndar entre la raíz cuadrada del
número de la muestra vamos a sustituir
esto sería igual la media de la muestra
es de
5 más menos el valor Z
2.58 multiplicado por la desviación
estándar que es
0.5 entre la raíz cuadrada de el número
de la muestra que es de
50 vamos a seguir aquí abajo después 5 +
men
2.58
0.5 primero hay que sacar la raíz
cuadrada de 50 que
sería
7.07 yo sigo manejando dos decimales
después igual 5 + men
2.58 si dividimos
0.5 /
7.07 nos va a dar como resultado punto7
7 después Esto va a ser igual a 5 más
menos si multiplicamos
2.58 por pun 07 nos va a dar pun
188 y después 5 primero
más pun 18 va a ser igual y después 5
men 18 nos van a permitir estas dos
partes determinar nuestro intervalo aquí
5 + punto 18 nos va a dar
5.18 y 5 -18 nos va a dar
4.82 y aquí tenemos los límites de
nuestro intervalo que son
4.82 y
5.18 bien Ahora ya que tenemos
determinados nuestros límites tenemos
que anotar
nuestro resultado que lo van a poner de
la siguiente forma el límite menor que
es
4.82 van a poner así la
media y el límite mayor que
5.18 de esta forma ustedes eh tienen que
anotar su su resultado ahora A qué
conclusión tenemos que llegar
sería de la siguiente forma
aproximadamente 99% de los intervalos
construidos de forma similar incluirán
la media poblacional de la capacidad de
litros de un envase de agua purificada
la pregunta que también nos hacía es
cumple la empresa con lo que afirma Eh
sí porque nuestro Rango que es de 4.82 y
5.18 incluye lo que es la capacidad de
esta nueva presentación que es de 5 L
esa sería
e pues su su conclusión y bien así
llegamos al final de este vide tutorial
Espero que les eh Sirva y que puedan
aplicar todo esto de forma correcta en
sus pruebas en sus evaluaciones Les
deseo mucho éxito y en cuanto a la tabla
de las áreas de la distribución normal
Espero poder eh pasársela después aquí
con un link en el video y pues bueno
agradezco que nos hayan visitado con
gusto esperamos sus comentarios
sugerencias dudas y pues Bueno nos vemos
en un siguiente video y que Dios los
bendiga gracias por su
[Música]
atención
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