Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze

Summary

In diesem Video erklärt Mathe Vogel, wie man das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze berechnet. Beide Begriffe hängen mit dem Tiefpunkt der Stückkostenfunktion zusammen, den man durch Ableitungen und das Anwenden notwendiger und hinreichender Bedingungen ermittelt. Der Betriebsoptimum ist der x-Wert des Tiefpunkts, während die langfristige Preisuntergrenze der zugehörige y-Wert ist. Der Zuschauer wird durch alle Schritte der Berechnung geführt, angefangen von der Ableitung der Funktion bis hin zur Bestimmung der minimalen Stückkosten und dem Preis, der ohne Verlust erzielt werden kann.

Takeaways

• 😀 Das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze sind wichtige Begriffe in der Kostenrechnung, die den Tiefpunkt der Stückkostenfunktion darstellen.
• 😀 Die Stückkostenfunktion wird berechnet, indem die Kostenfunktion durch die Menge x geteilt wird.
• 😀 Das Betriebsoptimum entspricht dem x-Wert des Tiefpunkts der Stückkostenfunktion.
• 😀 Die langfristige Preisuntergrenze ist der zugehörige y-Wert des Betriebsoptimums.
• 😀 Um den Tiefpunkt der Stückkostenfunktion zu finden, müssen zwei Ableitungen gebildet und die notwendigen sowie hinreichenden Bedingungen überprüft werden.
• 😀 Bei der Ableitung der Stückkostenfunktion wird der Summand 10/x als x^-1 umgeformt, um die Ableitung zu vereinfachen.
• 😀 Die erste Ableitung der Funktion wird gleich null gesetzt, um den x-Wert des Tiefpunkts zu ermitteln (Betriebsoptimum).
• 😀 Die zweite Ableitung wird verwendet, um zu überprüfen, ob es sich um einen Tiefpunkt handelt, indem ein Wert größer als 0 bestätigt wird.
• 😀 Der x-Wert des Betriebsoptimums wurde mit 6,26 ermittelt, und der y-Wert (langfristige Preisuntergrenze) beträgt 13,63.
• 😀 Wenn die Produktion die Menge des Betriebsoptimums erreicht, können die Stückkosten auf die langfristige Preisuntergrenze gesenkt werden, ohne Verluste zu machen.
• 😀 Klassische Formulierungen in Aufgaben zu diesem Thema beinhalten oft das Berechnen des Betriebsoptimums und der langfristigen Preisuntergrenze oder das Bestimmen des Preises, zu dem die Ware ohne Verlust verkauft werden kann.

Q & A

Was versteht man unter dem Begriff 'Betriebsoptimum'?

Das Betriebsoptimum ist der x-Wert des Tiefpunkts der Stückkostenfunktion, also der Punkt, an dem die Stückkosten am geringsten sind.

Wie berechnet man das Betriebsoptimum?

Das Betriebsoptimum wird durch Berechnung des Tiefpunkts der Stückkostenfunktion ermittelt, was bedeutet, dass die erste Ableitung der Funktion gleich null gesetzt wird und anschließend die zweite Ableitung überprüft wird, um zu bestätigen, dass es sich um einen Tiefpunkt handelt.

Was ist die langfristige Preisuntergrenze?

Die langfristige Preisuntergrenze ist der y-Wert des Tiefpunkts der Stückkostenfunktion, der den Preis beschreibt, bei dem das Unternehmen gerade noch keine Verluste macht, sondern lediglich alle Kosten deckt.

Wie wird die langfristige Preisuntergrenze berechnet?

Die langfristige Preisuntergrenze wird berechnet, indem der x-Wert des Betriebsoptimums in die Stückkostenfunktion eingesetzt wird, um den entsprechenden y-Wert zu finden.

Warum ist die Stückkostenfunktion eine gebrochen rationale Funktion?

Die Stückkostenfunktion enthält einen Bruch, bei dem der Nenner das x im letzten Summanden darstellt, was sie zu einer gebrochen rationalen Funktion macht.

Was ist der Trick, um die Ableitung der gebrochen rationalen Funktion zu vereinfachen?

Der Trick besteht darin, den Ausdruck 1/x als x^-1 zu schreiben, um dann die Potenzregel für die Ableitung anzuwenden.

Wie berechnet man die zweite Ableitung der Stückkostenfunktion?

Die zweite Ableitung wird berechnet, indem die erste Ableitung nochmals abgeleitet wird, wobei die Potenzregel erneut angewendet wird.

Was ist die notwendige Bedingung zur Berechnung des Tiefpunkts?

Die notwendige Bedingung ist, dass die erste Ableitung der Funktion gleich null gesetzt wird, um die Extrempunkte zu finden.

Wie überprüft man, ob es sich bei einem Extrempunkt um einen Tiefpunkt handelt?

Man überprüft, ob es sich um einen Tiefpunkt handelt, indem man den x-Wert des Extrempunkts in die zweite Ableitung einsetzt. Ist der Wert größer als null, handelt es sich um einen Tiefpunkt.

Wie lautet die klassische Formulierung für Aufgaben, die das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze betreffen?

Typische Formulierungen lauten: 'Berechnen Sie das Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze' oder 'Ermitteln Sie die Höhe der minimalen Stückkosten'. Diese Aufgaben beziehen sich direkt auf den Tiefpunkt der Stückkostenfunktion.