La conjecture de Syracuse - Deux (deux ?) minutes pour...

Summary

Dans cette vidéo, l'essayiste et conférencier Nacré Bassidji aborde la célèbre conjecture de Syracuse, un problème mathématique non résolu depuis les années 1950. Il décrit le processus de l'application de Syracuse, où un nombre entier est manipulé par une série d'opérations simples, mais où le cycle semble toujours se limiter à 4-2-1. Bien qu'aucune preuve définitive n'ait encore été apportée, il explique comment des milliers de mathématiciens ont exploré ce problème sans succès. Le discours met en lumière la complexité et la persistance de cette conjecture, tout en explorant des pistes probables pour son éventuelle démonstration.

Takeaways

• 😀 En 2020, l'essayiste et conférencier Nacré Bassidji annonce avoir résolu la conjecture de Syracuse, un problème mathématique complexe qui reste sans solution depuis les années 50.
• 😀 La conjecture de Syracuse, aussi appelée conjecture de Collatz, consiste à appliquer une série d'opérations sur un nombre entier : si le nombre est pair, on le divise par deux, sinon on le multiplie par trois et on ajoute un.
• 😀 En appliquant cette règle plusieurs fois, on obtient une suite de nombres qui finit toujours par entrer dans un cycle 4-2-1, quel que soit le nombre de départ.
• 😀 La conjecture de Syracuse n'a jamais été démontrée, et malgré des tentatives de preuve, personne n'a réussi à prouver que tous les nombres finissent dans le cycle 4-2-1.
• 😀 Le nom 'conjecture de Syracuse' provient de l'Université de Syracuse, où le problème a été popularisé, bien qu'il n'ait aucun lien avec la ville sicilienne.
• 😀 Depuis la proposition de cette conjecture, de nombreux mathématiciens et amateurs ont tenté de la résoudre, mais aucun contre-exemple n'a été trouvé à ce jour.
• 😀 Un contre-exemple, s'il existait, serait un nombre qui ne finit pas dans le cycle 4-2-1 mais qui diverge vers l'infini ou entre dans un cycle non trivial.
• 😀 Il est prouvé que l'application de Syracuse réduit la séquence de nombres, en moyenne, ce qui suggère que la conjecture pourrait être vraie pour presque tous les entiers.
• 😀 La conjecture a été formulée pour des nombres entiers positifs, mais des explorations avec des nombres négatifs ont révélé des cycles non triviaux, qui ne sont pas concernés par la conjecture originale.
• 😀 La conjecture de Syracuse est reliée à des problèmes mathématiques connexes et des généralisations, et bien que des progrès aient été faits, sa résolution complète reste un défi majeur pour les mathématiciens.

Q & A

Qui a résolu la conjecture de Syracuse en 2020 selon le script ?

L'essayiste et conférencier Nacré Bassidji a annoncé avoir résolu la conjecture de Syracuse en 2020, mais personne n'y croyait vraiment, car de nombreux mathématiciens, amateurs et professionnels, avaient échoué à résoudre ce problème depuis les années 50.

Quelle est l'opération de base utilisée dans la conjecture de Syracuse ?

L'opération consiste à prendre un nombre entier et, si ce nombre est pair, de le diviser par deux. Si ce nombre est impair, on le multiplie par trois et on ajoute un. Cette opération est répétée plusieurs fois sur le nouveau nombre obtenu.

Quel cycle finit toujours par se produire lors de l'application de la conjecture de Syracuse ?

Le cycle 4-2-1 finit toujours par se produire. Peu importe le nombre de départ choisi, l'application finit toujours par atterrir dans ce cycle.

Quel est le but principal de la conjecture de Syracuse ?

Le but principal de la conjecture de Syracuse est de déterminer si tous les entiers, quelle que soit leur valeur initiale, finiront un jour par atteindre le cycle 4-2-1.

Quel est le lien entre la conjecture de Syracuse et l'université de Syracuse ?

Bien que la conjecture porte le nom de 'conjecture de Syracuse', il n'y a aucun lien direct avec la ville sicilienne de Syracuse. Le nom fait référence à l'université de Syracuse, dans l'État de New York, où le problème a été largement diffusé.

Pourquoi la conjecture de Syracuse reste-t-elle non prouvée ?

La conjecture de Syracuse reste non prouvée car, malgré des années de recherches par des mathématiciens, aucun contre-exemple n'a été trouvé et aucune preuve définitive n'a été formulée pour démontrer qu'elle est vraie ou fausse.

Quels types de nombres peuvent être éliminés dans la recherche de contre-exemples ?

Les nombres pairs peuvent être éliminés rapidement, car l'opération les divise par deux dès la première étape, ce qui les empêche de créer des contre-exemples. Il en reste donc principalement les nombres impairs à tester.

Quels sont les sous-problèmes associés à la conjecture de Syracuse ?

Deux sous-conjectures importantes sont la conjecture des divergences (qui dit qu'aucun vol ne diverge vers l'infini) et la conjecture des cycles non triviaux (qui dit qu'il n'existe aucun autre cycle que le cycle 4-2-1).

Qu'est-ce que la 'conjecture des cycles non triviaux' implique ?

La conjecture des cycles non triviaux implique qu'il n'existe aucun cycle autre que le cycle 4-2-1 parmi les suites générées par l'application de Syracuse sur les nombres entiers positifs.

Quel est l'argument probabiliste utilisé pour expliquer le comportement de l'application de Syracuse ?

L'argument probabiliste repose sur l'idée qu'à chaque étape de l'application de Syracuse, un nombre est multiplié par environ 0,86 en moyenne, ce qui conduit généralement à une décroissance de la suite et à une convergence vers zéro.