DERIVADAS | MATEMÁTICA APLICADA.
Summary
TLDREl script explora el origen y aplicaciones fundamentales de la derivada en matemáticas, destacando su importancia en problemas antiguos como la velocidad, área bajo curvas, rectas tangentes y máximos y mínimos. Se ilustra con un ejemplo práctico de optimización en economía, donde se busca el tamaño del pedido óptimo para minimizar costos. La derivada se utiliza para encontrar puntos críticos y determinar el mínimo costo total de 480 equipos clínicos. Destaca cómo la derivada es esencial en ciencia, tecnología, economía y la vida cotidiana, ayudando a la toma de decisiones eficientes.
Takeaways
- 📚 La derivada es un concepto fundamental del cálculo diferencial que tiene sus orígenes en la antigua Grecia y surge para resolver cuatro problemas clave: la velocidad, el área bajo una curva, la recta tangente y los máximos y mínimos.
- 📈 La derivada es una herramienta matemática utilizada para calcular la respuesta de una función cuando se alteran sus valores iniciales.
- 📉 Representada gráficamente, la derivada de una función se observa cuando se superpone una línea recta a una curva, indicando la pendiente de la función en ese punto.
- 🔍 La determinación de la derivada no es solo un punto de vista teórico, sino que tiene una serie de aplicaciones vitales en diferentes campos, como la ingeniería física, los negocios y la economía.
- 📝 Un ejemplo práctico de aplicación de las derivadas es el cálculo del costo total en un pedido, utilizando la fórmula cdx = 4x + 720 + 921.600/x, donde x es el número de equipos clínicos.
- 🔑 La optimización de una función, como encontrar sus valores máximos y mínimos, es una de las aplicaciones más importantes de la derivada y es fundamental para resolver problemas en termodinámica, física y economía.
- 📉 Para encontrar el tamaño del pedido que minimiza el costo total, es necesario realizar un proceso de optimización utilizando la derivada de la función de costo.
- 🔍 El proceso de optimización implica reescribir la función y calcular su derivada para encontrar los puntos críticos, donde la derivada es cero.
- 📊 Una vez que se encuentran los puntos críticos, se evalúan para determinar cuál de ellos minimiza el costo total, como en el caso del ejemplo donde se buscaba el número óptimo de equipos clínicos.
- 📌 El ejemplo del costo total muestra que la derivada es una herramienta esencial para ayudar a las empresas a tomar decisiones de optimización y a economizar de manera eficiente.
- 🌐 La derivada tiene una amplia gama de aplicaciones en la ciencia, la tecnología, la economía y en la vida diaria, siendo una parte integral de la matemática moderna.
Q & A
¿Cuál es el origen de la derivada en el ámbito de la matemática?
-La derivada, considerada como el eje principal del cálculo diferencial, tiene su origen en la antigua Grecia y surge como resultado de cuatro problemas fundamentales: la velocidad, el área bajo la curva, la recta tangente y los máximos y mínimos.
¿Qué es una derivada y cómo se representa gráficamente?
-Una derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. Está representada gráficamente cuando una línea recta se superpone sobre cualquier curva, indicando la pendiente de la función respecto al eje sobre el cual se está estudiando.
¿Por qué son importantes las derivadas en el ámbito de la ingeniería física y otros campos?
-Las derivadas son importantes porque tienen una serie de aplicaciones vitales en la ingeniería física, negocios y economía, permitiendo calcular áreas, optimizar costos y resolver problemas relacionados con la maximización de ganancias, entre otros.
¿Qué es un punto crítico en el contexto de las funciones matemáticas?
-Un punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, lo que significa que no existe una variación en el valor de la función en ese punto específico.
¿Cómo se definen los costos fijos y variables en relación con la optimización de costos?
-Los costos fijos son aquellos que no dependen de la cantidad producida, mientras que los costos variables se incrementan o disminuyen en función del número de unidades fabricadas. La optimización de costos busca encontrar los valores que minimizan el costo total.
¿Qué significa optimizar una función y cómo se relaciona con las derivadas?
-Optimizar una función consiste en encontrar sus valores máximos y mínimos, es decir, determinar los valores en el dominio de la función para los cuales se alcanza el máximo o mínimo. Las derivadas son fundamentales en este proceso, ya que permiten identificar los puntos críticos donde podrían ocurrir estos valores extremos.
¿Cómo se plantea el problema de optimización en el script proporcionado?
-El problema de optimización planteado en el script es determinar el tamaño del pedido que minimiza el costo total, dado por la función cdx = 4x + 720 + 921.600/x, siendo x el número de equipos clínicos.
¿Cómo se reestructura la función para encontrar el punto crítico en el problema de optimización del costo total?
-Para encontrar el punto crítico, se reestructura la función de costo total como cdx = 4x + 720 + (921.600/x - 1), y luego se toma la derivada de esta expresión para igualarla a cero y resolver para x.
¿Cuál es el resultado de la derivada de la función de costo total presentada en el script?
-La derivada de la función de costo total, c'(x), es igual a 4 - (921.600/x^2), donde 4 es la derivada de 4x, 0 es la derivada de la constante 720, y -(921.600/x^2) es la derivada de (921.600/x - 1).
¿Cómo se determina el tamaño del pedido que minimiza el costo total según el script?
-Para determinar el tamaño del pedido que minimiza el costo total, se iguala a cero la derivada de la función de costo total y se resuelve la ecuación resultante, encontrando que x = 480, lo que indica que el pedido que minimiza el costo total es de 480 equipos clínicos.
¿En qué áreas se aplican las derivadas más allá del ámbito académico?
-Las derivadas se aplican en áreas como la ciencia, la tecnología, la economía y en la vida diaria de las personas, ayudando a determinar tamaños de pedidos, tiempos de entrega, ganancias máximas y muchos otros aspectos.
Outlines
📚 Origen y Aplicaciones de la Derivada
El primer párrafo introduce la derivada como un concepto fundamental del cálculo diferencial, con raíces en la antigua Grecia y asociada a cuatro problemas clave: la velocidad, el área bajo una curva, la recta tangente y los máximos y mínimos. Se describe cómo la derivada, representada gráficamente por una línea tangente a una curva, es utilizada para estudiar el cambio de una función cuando se alteran sus valores iniciales. Además, se menciona que la derivada no solo tiene un valor teórico sino que tiene aplicaciones prácticas en áreas como la ingeniería física, los negocios y la economía, como se ejemplifica con un problema de optimización del costo total de un pedido de equipos clínicos.
🔍 Proceso de Optimización y Cálculo de la Derivada
El segundo párrafo se enfoca en el proceso de optimización a través de la derivada, utilizando el ejemplo del costo total de un pedido de equipos clínicos. Se describe cómo se reescribe la función de costo total para facilitar el cálculo de su derivada. Luego, se procede a encontrar los puntos críticos, que son los valores donde la derivada es cero, indicando posibles máximos o mínimos. El texto guía a través de los pasos para resolver la ecuación y encontrar el tamaño del pedido que minimiza el costo, que resulta ser de 480 equipos. El párrafo concluye destacando la importancia de la derivada en la matemática y su aplicación en diversas disciplinas y áreas de la vida cotidiana, como la economía y la gestión empresarial.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Optimización
💡Puntos críticos
💡Costo total
💡Función
💡Área bajo la curva
💡Recta tangente
💡Máximos y mínimos
💡Ingeniería física
💡Negocios y economía
Highlights
La derivada es considerada el eje principal del cálculo diferencial y tiene su origen en la antigua Grecia.
La derivada surge como resultado de cuatro problemas fundamentales: la velocidad, el área bajo la curva, la recta tangente y los máximos y mínimos.
La derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a cambios en sus valores iniciales.
La derivada de una función se representa gráficamente mediante una línea recta que se superpone sobre una curva.
El valor de la pendiente de la derivada respecto al eje es conocido como el derivado.
La aplicación de la derivada va más allá del ámbito teórico y tiene aplicaciones vitales en diversos campos.
Las derivadas son fundamentales en la ingeniería física, negocios y economía.
Se plantea un ejercicio para determinar el tamaño del pedido que minimiza el costo total, utilizando una función dada.
El costo total es la suma de los costos fijos y los costos variables, que dependen de la cantidad producida.
Para optimizar una función, se buscan sus valores máximos y mínimos en su dominio.
Los puntos críticos son donde la derivada de la función es cero.
El proceso de optimización es una de las aplicaciones más importantes de la derivada.
Se describe un método para reescribir y reestructurar la función dada para encontrar su derivada.
Se calcula la derivada de la función dada, simplificando y encontrando la expresión para c'(x).
Para encontrar los puntos críticos, se iguala la primera derivada a cero y se resuelve la ecuación.
Se resuelve la ecuación 4 - 921.600x^(-2) = 0 para encontrar el tamaño del pedido que minimiza el costo total.
Se determina que el tamaño del pedido que minimiza el costo total es de 480 equipos clínicos.
La derivada tiene una gran cantidad de aplicaciones en la ciencia, la tecnología, la economía y en la vida cotidiana.
Transcripts
la derivada considerada como el eje
principal del cálculo diferencial tiene
su origen en la antigua Grecia y surge
como resultado de cuatro problemas
fundamentales el de la velocidad el del
área bajo la curva el de la recta
tangente y el de máximos y mínimo Qué
son es un elemento utilizado en la
matemática para calcular respuestas de
una función a la que se le están
alterando sus valores iniciales la
derivada de una función está
representada gráficamente cuando una
línea recta superpuesta sobre cualquier
curva el valor de esta pendiente
respecto al eje sobre el cual está
haciendo estudiar la función recibe el
nombre de derivado aplicación a
determinación de la derivada no está
alimentada solamente un punto de vista
teórico para que de esta forma los
estudiantes puedan entender distintos
temas de las Matemáticas sino que hay
una serie de aplicaciones vitales de las
derivadas El ejemplo del área real las
derivadas se encuentran un lugar vital
en la ingeniería física Incluso en los
negocios y la economía entre
el ejercicio que se planteó para
realizar la actividad desde el siguiente
el costo total en miles de pesos del
pedido y distribución de X equipos
clínicos es
cdx igual a 4x + 720 más
921.600 sobre x siendo x siendo c el
costo total nos piden entonces
determinar el tamaño del pedido que
minimiza el costo total para tener en
cuenta
optimización optimizar una función
consiste en encontrar sus valores
máximos y mínimos esto significa que hay
que encontrar los valores en El dominio
de la función para los cuales se alcanza
el máximo y ni mínimo en el condominio
el proceso de optimización hace parte de
una de las aplicaciones más importantes
de la derivada existen una serie de
problemas que requieren la determinación
de los valores mínimos y máximos de
alguna función tal como la determinación
del menor tiempo cálculo de mayor
ganancia entre otros
puntos críticos tienen una cantidad
bastante de aplicaciones que incluye la
termodinámica la física de la materia
comunitaria un punto crítico es aquel
donde la derivada de la función es cero
no existe en absoluto sea igual costo
total es la suma de Los costos fijos que
no dependen de la cantidad producida y
Los costos variables que se incrementan
o disminuyen en función del número de
las unidades fabricadas
para la solución de este problema
primero se debe hacer mención de que
este es un ejercicio de optimización la
cual es una de las aplicaciones de la
derivada en este caso como ya se
mencionó nos piden minimizar el valor de
una variable que es el costo total
primero se debe reescribir la función
cdx igual a 4x + 720 +
921.600 sobre x la cual quedaría de la
siguiente forma
ex cdx igual a 4x + 720 más
921.600 x a la menos 1 la x que está en
el denominador o sea acá
se pasa al numerador o sea aquí lo cual
genera un cambio de signo el exponente
luego de haber
reestructurado
de haber reestructurado se pasa a
realizar la derivada entonces la
derivada quedaría
c prima de X es igual a la derivada de
4x que es 4 menos
la derivada
de la de 720 que es igual a 0 o sea como
sabemos la derivada de una constante
Siempre será cero
menos
921.600 x a la menos 2 elevada al
exponente menos 2
se debe recordar que este exponente el
exponente menos 1 baja a multiplicar
con este número con el
921.600 por esta razón el exponente que
tiene
lo restamos y uno menos uno es igual a
menos 2
entonces aquí ya logramos encontrar la
derivada
de esta ecuación
luego de haber encontrado la derivada
procedemos a encontrar los puntos a
encontrar los puntos críticos para
hallar los puntos críticos tomamos la
primera derivada se prima de x y la
igualamos a cero
entonces tomamos la expresión que
obtuvimos 4 -
921.600 x elevado a la menos 2 y lo
igualamos a cero como se observa aquí
luego de esto procedemos
a reescribir la función como 4 -
921.600 x al cuadrado igual a cero lo
que hemos hecho es pasar esta potencia
al denominador para que nos quede como
exponente positivo me refiero al x menos
2
Esto está igualado a 0 como se puede
lograr ver aquí ahora vamos a pasar la
fracción que está negativa la pasamos al
otro lado es decir que quede positiva
Por ende nos queda 4 igual a
921.600 x al cuadrado
luego de esto pasamos la x al cuadrado
hacia el otro ovalado lo cual hace que
ésta pasa a multiplicar quedaría 4x al
cuadrado igual a 921.600
luego de esto procedemos a despejar x al
cuadrado Se observa aquí lo cual
quedaría x al cuadrado igual a
921.600 dividido entre 4 lo cual daría x
al cuadrado igual a 230.000 400 para
despejar la x al cuadrado
ambos de ambos lados los ponemos sobre
raíz cuadrada más o menos Entonces
quedaría raíz cuadrada x al cuadrado
igual más menos raíz cuadrada de 230 mil
400
Lo que daría igual a x más menos 480
acaba de hacer la aclaración Que en este
ejercicio
x
equivale a los equipos clínicos en el
tamaño del pedido Por ende sería ilógico
decir que hay menos
480 equipos clínicos Por lo cual x es
igual a 480
no llegar a la conclusión que el tamaño
de pedido que minimiza el costo total de
equipos es de
480 equipos para que no haya un sobre
costo
una de las conclusiones es la siguiente
la derivada representa un papel
fundamental en las matemáticas debido a
su gran cantidad de aplicaciones en la
ciencia la tecnología la economía e
incluso en la vida misma de las personas
a través de la derivada se logró
determinar Cuál es el tamaño del pedido
mínimo lo cual le ayuda a las empresas a
economizar de manera eficiente
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