Solving An Insanely Hard Problem For High School Students

Summary

В этом видео Преш Талвалкар объясняет решение задачи из Международной математической олимпиады (IMO), на которой требуется найти все функции f, определённые на целых числах, удовлетворяющие уравнению f(2a) + 2f(b) = f(f(a+b)). Он шаг за шагом показывает, как решить эту задачу, начиная с подстановки специальных значений и анализа уравнений. В конце концов, Преш приводит два возможных решения: f(x) = 0 или f(x) = 2x + n, где n — целое число. Это видео помогает понять сложность олимпиадных задач и подходы к их решению.

Takeaways

• 😀 IMO (International Mathematical Olympiad) — это ежегодное соревнование для студентов до колледжа, в котором участвуют более 100 стран.
• 😀 В IMO каждая страна отправляет команду из 6 лучших математиков, которые решают 6 задач за два дня.
• 😀 Каждая задача оценивается в 7 баллов, всего можно набрать 42 балла.
• 😀 Средний балл участников в 2019 году составил около 16 баллов, но некоторые участники набрали все 42 балла.
• 😀 В этом видео рассматривается задача из первого дня IMO, которая заключается в нахождении всех функций f, которые удовлетворяют данному уравнению.
• 😀 Решение задачи является сложным для большинства, но около 60% участников решают ее за 7 баллов, считая ее легкой.
• 😀 Для поиска решения важно экспериментировать с различными значениями переменных, чтобы выявить закономерности.
• 😀 Применяя специальные значения для a и b, можно получить упрощенные уравнения, которые помогают найти функцию.
• 😀 Выводится, что функция f(x) должна быть линейной, и её можно представить в виде f(x) = mx + n.
• 😀 С помощью подстановки линейной функции обратно в исходное уравнение и решения системы уравнений, приходят к двум возможным решениям: f(x) = 0 или f(x) = 2x + n, где n — целое число.
• 😀 Эти два решения являются единственными возможными: либо функция идентично равна нулю, либо имеет вид f(x) = 2x + n для некоторого целого n.