UNIDAD 3: Integrales dobles en coordenadas rectangulares - Volumen de un sólido

Summary

このビデオでは、立体の体積を求める方法について説明しています。まず、与えられた複数の表面（円柱、平面など）で囲まれた立体をグラフで表し、その境界を特定します。次に、その領域に対して二重積分を使い、立体の体積を計算します。最終的に、計算によって得られる体積は64立方単位となります。この手法は、複雑な三次元形状の体積を求める際の基本的なアプローチを示しています。

Takeaways

• 😀 この問題では、特定の曲面で制限された立体の体積を計算する方法を学びます。
• 😀 最初に立体の形状をグラフ化して、表面の相互作用を視覚化します。
• 😀 問題に登場するのは、円柱、平面、そして交差する曲線です。
• 😀 円柱の方程式は z = x² で、平面 z = 4 と交差します。
• 😀 グラフ上で平面 x + y = 6 の影響を描き、立体の外形を確認します。
• 😀 この立体を定義する平面の方程式をすべて導出し、必要な条件を整えます。
• 😀 体積を求めるために、二重積分を使用します。
• 😀 体積の二重積分は、xy平面上での領域の投影に基づいて設定されます。
• 😀 積分の範囲は x が -2 から 2 まで、y は x² から 4 の間です。
• 😀 最終的に体積を求めた結果、立体の体積は 64 単位立方になります。

Q & A

この問題で求めるべきは何ですか？

この問題では、複数の面で囲まれた立体の体積を求めることが求められています。

体積を求めるために使用する方法は何ですか？

体積を求めるためには二重積分を使用し、立体がxy平面上で投影された領域に対して積分を行います。

この立体の境界面となる式は何ですか？

この立体の境界面は、円柱と2つの平面であり、それぞれz = 6 - x、x²、y = 4、x = ±2です。

円柱の方程式は何ですか？

円柱の方程式はz = x²です。

平面x = 4の特徴は何ですか？

平面x = 4はxz平面に平行な平面であり、y軸と交わり、x = 4で平面が切断されます。

z = 6 - xの式はどのように得られましたか？

z = 6 - xは、平面の方程式をzについて解いた結果です。これが上面の境界を定義します。

立体の体積計算で使用する領域Dの説明をしてください。

領域Dは、xy平面上で円柱と平面の交線によって囲まれた領域で、xは-2から2の範囲、yはx²からy = 4の間で変動します。

立体の体積を求めるための積分式はどのように設定されますか？

体積を求めるための積分式は、二重積分で、関数f(x, y) = 6 - xを積分します。積分範囲はxが-2から2、yがx²から4です。

xの範囲はどのように求めましたか？

xの範囲は、円柱と平面x = 4との交点から求められ、x = ±2という解が得られます。

最終的な体積の値はどのように求められましたか？

体積は積分を計算した結果、最終的に64立方単位となりました。