Volumen entre 2 cilindros verticales y logaritmo natural | POLARES | Ej. 36 Sección 14.3 LARSON
Summary
TLDREn este video, el canal online aborda el desafío de resolver un ejercicio de cálculo de la novena edición del texto de cálculo de Larson, que involucra la utilización de integrales dobles en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido determinado. El problema se centra en un sólido acotado por las gráficas de logaritmos naturales y los radios de dos cilindros concéntricos de radios 1 y √4. Para visualizar y resolver el ejercicio, se utiliza la herramienta GeoGebra para modelar tanto el sólido como el plano de integración. El proceso incluye la integración de la región anular entre los cilindros, utilizando técnicas de integración por partes y el teorema fundamental del cálculo. El resultado final se verifica con programas de matemáticas y se ofrece una respuesta detallada en forma de volumen en unidades cúbicas. El video también anima a los espectadores a utilizar tecnologías gratuitas para facilitar el aprendizaje de cálculo y a practicar con más ejercicios de integrales dobles y triples.
Takeaways
- 📚 Se resuelve un ejercicio de cálculo de volumen utilizando integrales dobles polares.
- 📖 El texto de referencia es de 'Cálculo' de Ron Larson y Edwards, novena edición, página 1009.
- 📏 El problema involucra un sólido acotado por dos cilindros de radio 1 y √4, respectivamente.
- 🚫 El volumen se encuentra entre el plano z=0 y la superficie definida por el logaritmo natural de (x² + y²).
- 📈 Se utiliza GeoGebra para modelar gráficamente el sólido y las regiones de integración.
- 🛠️ La integración es por partes, con límites desde 1 hasta 2, y el ángulo varía de 0 a 2π.
- 🧮 La integral resultante es resuelta aplicando técnicas de integración por partes.
- 📐 Se simplifica la expresión integral utilizando propiedades trigonométricas y logarítmicas.
- 📉 El límite superior del cilindro exterior es 2, y el inferior es 1, formando una región anular.
- 🎨 Se modela el sólido en 3D para visualizar mejor la región de integración y el volumen a calcular.
- 📝 Se recomienda el uso de tecnología para facilitar el cálculo de integrales dobles y triple, como Maple o aplicaciones similares.
Q & A
¿De qué texto de cálculo se trata el ejercicio que se resuelve en el video?
-El ejercicio proviene del texto de cálculo de Ron Larson, incluso Edwards, en su novena edición.
¿En qué página del libro se encuentra el ejercicio que se discute?
-El ejercicio se encuentra en la página mil nueve.
¿Qué tipo de integral se utiliza para encontrar el volumen del sólido en cuestión?
-Se utiliza una integral doble en coordenadas polares.
¿Cuál es la forma de la región que limita el sólido cuyo volumen se busca encontrar?
-La región está limitada por dos cilindros concéntricos, uno de radio 1 y otro de radio 2 (raíz de 4).
¿Qué herramienta se utiliza para modelar el sólido y visualizar el ejercicio?
-Se utiliza GeoGebra para modelar el sólido y visualizar el ejercicio.
¿Cómo se determina el 'techo' del sólido en coordenadas cartesianas?
-El 'techo' del sólido es determinado por la expresión del plano xy formado por los dos cilindros, que es z = logaritmo natural de (r^2).
¿Cuál es la región a integrar en el plano xy?
-La región a integrar es la zona anular entre el cilindro de radio 1 y el cilindro de radio 2.
¿Cómo se abordan las coordenadas polares en la integral doble?
-Se utilizan las ecuaciones polares para convertir la región a integrar en coordenadas polares, donde 'r' es el radio y 'θ' es el ángulo de barrido.
¿Cómo se evalúa la integral doble para encontrar el volumen?
-Se evalúa la integral doble aplicando el teorema fundamental del cálculo, integrando primero con respecto a 'r' y luego con respecto a 'θ', y utilizando la propiedad logarítmica del volumen.
¿Qué resultado se obtiene para el volumen del sólido?
-El volumen del sólido se calcula como 4π(r^2 log(r)) evaluado entre los radios 1 y 2, lo que resulta en 4π(2^2 log(2) - 1^2 log(1)).
¿Cómo se verifica la respuesta obtenida en el video?
-La respuesta se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple, que confirman el volumen calculado.
¿Qué consejo se da al final del video para mejorar la comprensión de integrales dobles y triples?
-Se recomienda la práctica y el uso de tecnología, como aplicaciones gratuitas para modelar integrales, para mejorar la comprensión y habilidad en cálculo de integrales dobles y triples.
Outlines
📘 Introducción al ejercicio de cálculo de volumen
El primer párrafo presenta el tema del video, que es la resolución de un ejercicio de cálculo de volumen de una figura geométrica determinada por límites específicos en coordenadas polares. Se menciona que el ejercicio proviene del texto de cálculo de Larson, Edwards, en su novena edición, página 1009. El problema involucra el uso de integrales dobles polares para encontrar el volumen de un sólido acotado por gráficos determinados. Se indica que se utilizará GeoGebra para modelar el sólido y visualizar el plano en el espacio.
📐 Modelado del sólido y definición de límites
Este párrafo se enfoca en la modelación del sólido y la definición de sus límites. Se describen los cilindros concéntricos con radios 1 y √4 (2), respectivamente, y cómo se define la región anular que se va a integrar. Se utiliza la aplicación GeoGebra para visualizar y modelar los cilindros y la región de integración en el plano XY. Se destaca la importancia de entender la geometría del sólido y cómo se recorta la integral doble para representar el volumen del sólido.
🧮 Proceso de integración y cálculo del volumen
El tercer párrafo detalla el proceso de integración para calcular el volumen del sólido. Se discuten las ecuaciones polares y cómo se aplican para definir la integración. Se menciona la técnica de integración por partes para manejar el logaritmo natural en la integral. Se proporciona un resumen de los pasos para resolver la integral y se destaca la importancia de entender las propiedades logarítmicas y las reglas de integración para simplificar el cálculo. Finalmente, se evalúa la integral y se presenta la respuesta final del volumen, que se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple.
Mindmap
Keywords
💡Cálculo
💡Integral doble polar
💡Volumen
💡Cilindro
💡Logaritmo natural
💡Coordenadas polares
💡GeoGebra
💡Integral por partes
💡Teorema Fundamental del Cálculo
💡Modelado
💡Maple
Highlights
El ejercicio proviene del texto de cálculo de Larson, Novena Edición, página mil nueve.
Se utiliza una integral doble en coordenadas polares para encontrar el volumen de un sólido acotado por gráficas específicas.
El volumen buscado está limitado por el plano z=0 y la intersección de dos cilindros de radio 1 y raíz de 4.
Para visualizar el sólido, se utiliza la aplicación GeoGebra para modelar y representar el espacio en 3D.
La región de integración es anular, excluyendo el cilindro de radio 1 y dentro del cilindro de radio 2.
La integral doble se resuelve utilizando las coordenadas polares y las ecuaciones polares para x y y.
La función z es el logaritmo natural de r, donde r es el radio en coordenadas polares.
La integral se realiza primero con respecto al radio y luego al ángulo, utilizando técnicas de integración por partes.
El límite superior de integración para el radio es el radio del segundo cilindro, y el inferior es el del primer cilindro.
El ángulo se integra sobre un intervalo completo de 0 a 2π, sin restricciones.
La solución final del volumen se verifica utilizando programas de cálculo simbólico como Maple.
El resultado final del volumen se expresa en términos de π y logaritmos naturales.
El uso de tecnología y aplicaciones educativas, como GeoGebra, es fundamental para facilitar la comprensión de conceptos complejos.
El proceso de modelado y la integración se describen paso a paso para que el espectador pueda seguir y entender.
Se destaca la importancia de la precisión en las operaciones de integración por partes y el manejo de límites.
El video ofrece recursos adicionales, como enlaces a secciones de integrales y cálculo triple, para reforzar el aprendizaje.
El ejercicio de cálculo es un ejemplo de cómo se pueden resolver problemas de volumen en geometría analítica.
El canal ofrece soporte y recursos para ayudar en la resolución de ejercicios de cálculo de manera efectiva.
Transcripts
bienvenido una vez más a su canal online
en esta oportunidad para resolver un
ejercicio que viene del texto de cálculo
de round larsson incluso edwards de su
novena edición en la página mil nueve
para coordenadas polares dice utilizar
una integral doble coronas polares para
hallar el volumen del sólido limitado o
acotado por las gráficas del problema en
esta oportunidad el 36 que es igual a
logaritmo natural de kiko gramos y el
cuadrado que están set igual a 0 que
sería el plano y lo que yo no me llamo
el piso
en la parte externa de un cilindro de
radio 1 y la parte interna de un
cilindro el radio o dos porque es la
raíz de 4 y la raíz de uno en mayor o
igual que uno en la parte externa menor
igual en la parte interna para este
ejercicio
recuerden que voy a utilizar geogebra
para modelar el sólido quiero que lo
veas pero también vamos a utilizar para
modelar lo que es el plano debido a que
como es integral es doble verán ya
sabemos que z es cero para el piso y el
techo del sólido va a ser esta expresión
es decir que del plano xy hecho de los
dos cilindros vamos a sacar lo que el
radio del ángulo y barrido gracias al
eje polar y el sólido va a ser para
representar y ver cómo queda en el
espacio en realidad el ejercicio no es
difícil de plantear y es rápido para
plantear realmente gracias que es un
cilindro instadas todo concéntrico pues
como el origen voy a retirar esto de acá
vamos a ir a ginebra para modelar
primero el plan de que luego el sólido
retiramos esto acá ahora vamos a hacer
evra para que vean como modelando los
cilindros y cómo se representa en el
plan aquí
chévere y aquí estamos en la aplicación
aquí tenemos z el azul que x sería el
eje rojo y el eje verde tenemos dos
cilindros uno de radio uno y otra radio
dos
acuérdense que se saca la raíz cuadrada
del número que tenga después de la
igualdad como son x cuadrado más y
cuadrado al no tener zetas son vertical
es decir que es el eje z está en el
centro y yo son paralelos al seno se
extiende ingrese voy a colocar aquí está
el primer cilindro de radio uno aquí
está como lo pueden apreciar miran
cilindro de radio uno aquí está el color
rojo véanlo bien y el otro es de radio
2x cuadrados de 4 igual a 4 la raíz de 4
es 2 aquí está mira este es aquí están
los 2
cilindros que es lo que me va a modelar
lo que es el piso es decir que la
función se está todavía no lo voy a
colocar voy a colocar acá las trazas o
la circunferencia estos son la
circunferencia que me está dejando mira
esta son la circunferencia que me está
dejando en el plano xy
ahora vamos a hacer una vista superior y
también a lo siguiente abarcar la región
de integración y que está pendiente de
eso que dice que es mayor o igual que
uno es decir fuera del cilindro rojo y
menor igual que cuatro sea dentro del
cilindro ver tiene que ser esta región
anular quebrantada ok se vamos a hacer
una vista
es superior si vamos a ser provista
superior marcado aquí tenemos una vista
superior voy a retirar el ez
aquí tenemos la vista superior y vamos a
sombrear la zona anular o la región
anular que vamos a integrar
aquí están señores esta es la zona oeste
es la base del sólido del espacio sea el
sólido va a tener esta base ahora la
figura del espacio como tal y ahorita
vamos a modelar primero vamos a tomar
esto quita de 1 a 2 sobre tomar esta
región vamos a regresar a la lámina como
pueden ver exterior o mayor o igual que
uno fuera decir y menor o igual que 4 o
del cilindro de radio 2 que sería esta
región anular que ver acá vamos a la
lámina para tomar los límites
integración aquí estamos de vuelta en la
lámina vamos a tomar la imagen que
acabamos de ver por supuesto el eje
polar sólo unas el origen aquí está y el
radio vean que es constante porque el
eje polar para donde lo coloque siempre
va a tener los mismos radios pero en
este caso el radio no requiere ser sino
que va de 1 a 2 porque vean que la
región es la azul entonces ente acá ante
la región interna el cilindro lo que
vieron no hay nada no hay volumen es de
1 a 2 si ya tenemos me recordó que el
radio no siempre arranca en cero no en
estos casos anular es
de un radio a otro radio el ángulo de
barrido es un poco más sencillo porque
arranqué el sms x positivo antihorario 0
pm diop y 32 bits entonces no me hablan
de primero obstante no la primera
comienza que es ser igual a cero los
cimientos están completos así que señor
en la vuelta completa 0 2 p no hay
limitantes para el dibujo entonces la
integral como una integral doble o el
triple si fuera triple el zeta fuese
después acordonar cilíndrica fuera de
cero
el logaritmo pero en este caso va a ser
doble entonces se coloca directamente la
función receta pero ya sabes que es etc
y las ecuaciones polares o shrek o seno
para x rc no para ayer x koroma ya 4
cuadrado que es el que vamos a utilizar
acá porque al plantear la integral doble
en todo tiene que estar recortada por
entonces estas cartesianas tienen que
enviar al cuadrado en el argumento y el
diferencial
aria rtr diferencial de la puede llamar
dentistas de cita como lo llamen ningún
problema se le integra el doble de 0 2
piqué es el diferencial del ángulo el
diferencial de radio de 12 logaritmo
natural aquí cambia esto con el escolar
que el cuadrado de red de r
entonces y el diferencial de la q lo que
está es el integral doble para hacer
todo el volumen ahora quiero que me
vuelva a acompañar a ginebra para quiero
que quede el volumen o quiero que se vea
el volumen que vamos a calcular para que
les quede claro como como es cómo se
representa y luego volvemos a hacer la
integración con ya es quien gana te
resuelve el integral ya con esto ni
problema vea que es muy sencillo no hace
falta el volumen en el espacio con el
cilindro o el piso suficiente que sea
tengo cero ahora vamos a ver el sólido
cómo quedó por favor acompáñenme
aquí tenemos ya el sistema de quisiese
está esperándonos y esta le puse a
sombrío se nivele a cero que el plan x
bien voy a colocar la curva séptico al
organismo natural de equipo era mágico
rápida en esta belleza
[Música]
y si no vemos
en una vista lateral de a la curva
logarítmica mira el comportamiento de la
problemática de siempre cortando en el
11 para que sea menos 1 porque el x
cuadrado
el x está cuadrada y está al cuadrado
vean que siempre es lo modela a los
costados la curva logarítmica y en el
espacio esto lo que se ve no una belleza
sin duda alguna vamos a colocar el
cilindro de radio uno primero recordé
que fuera de este cilindro fuera de este
cilindro y hay otro de radio 2 que el
verde éste se fuera del cilindro rojo
dentro del verde sobre se está igual a 0
y arriba el logaritmo no sé de esta
parte que venga acá ahora pero como lo
podemos ver mejor como podemos tomar el
sólido
yo les preparé ya como siempre unas
trazas los cortes aquí por ejemplo están
los dos
las dos los dos cilindros dos círculos
que se forman ok la circunferencia que
se forma claro x y por supuesto la que
se forman cuando portal cuando atraviesa
el cilindro bm mira aquí está este la
clase de corte del logaritmo natural con
el cilindro verde también le hice unas
adicionales ok me hice unas trazas
adicionales
para que aquí más o menos está agarrando
forma el sólido mira que llama - sabe
sonidos que esta parte del cilindro y
también les hice unas trabas adicionales
buenas curvas que cuatro curvas
logarítmica que estaban aquí se se ve
just se ve mejor mira
este es el sólido fuera de lo azul
pero como siempre les prepare el sólido
como tal cosa bien bien definido bien
visto el piso aquí están sombreado el
cilindro verde aquí está hilo azul aquí
está vea que quitó el verde momento
miren
aquí está el azul está en la parte
interna del sólido mira el piso que
salga a la radio anular y lo verde que
va a estar por fuera mira aquí está este
es el sólido esta es el sólido que nace
de la intersección del logaritmo natural
con ozil pero voy a quitar lo que no me
interesa lo voy a quitar las partes
sobresalientes este organismo se va los
de los cilindros se va señores
es una belleza este es el sólido vamos a
verlo está el sol y del piso de arriba
anular quedan las paredes la pared verde
vean vean la zona azul como entra curva
como un embudo ya que aquí está la parte
verde la parte externa aquí adentro se
puede leer luego al sólido este el
sólido esta belleza este el sólido que
vamos a
de terminar bueno con esta belleza nos
despedimos para regresar a la lámina y
terminar la integral doble ya tenemos el
sólido modelado quedó espectacular quedó
muy bien espero que les guste este
modelo vamos entonces pensamos la lámina
para terminar el ejercicio
bien de vuelta a la lámina aquí tenemos
ya la integral doble este 2 que está en
el argumento para que sea más fácil el
ejercicio
yo lo puedo bajar a multiplicar
propiedad logarítmica pero queda 2
logaritmo del radio por el radio ese 2
puede salir de la integral pero es el
logaritmo por el radio es un integral
que es por partes la pueden hacer con
tabla con sus calculadoras pero yo voy a
tomarme
el proceso aquí manual para que lo
tengan la integrada por partes solamente
va a tomar la integral indefinida con
permiso a la audiencia y luego no
regreso ok para ahorrar tiempo y va a
ser el logaritmo recuerden la regla de
lille arte pero lugar indica se llama y
para la técnica de por partes de un día
vi una vaca íntegramente de este
uniforme y había una baja sin cola
vestida de uniforme como lo quieran
llamar es logarítmica se deriva en 1
entre el radio por el diferencial de ibm
es el resto lo que queda se integra
queda el radio al cuadrado sobre dos se
coloca mos la integral sería uno por b
que está menos la integral debe por de
que sea un día vi que sería una vaca que
está menos íntegramente vestida de
uniforme para seguir repasar integral
por partes tengo aquí en el canal las
secciones que eran les dejo en la
descripción del video para integrales y
también aquí en la misma sección de
integrales múltiples para que puedan
reforzar si les hace falta aquí podemos
simplificar un radio y en un medio sale
del integral aquí cancela un radio y
sale un medio se queda solamente un
radio para integrar luego la integra la
caja del radio sería radio al cuadrado
sobre dos más se declaró esto más cs
coloque porque una integral indefinida
porque algún profesor te puede quitar
puntos por eso que no lo cree pero lo
que me interesa es la integral porque
esto un integral definida lo voy a
regresar al ejercicio quedaría el 2 sale
de las integrales y éste la integración
por partes
ok vean que no hice cambio de límite
solamente me tomé el permiso hacerlo
aparte y de 1 a 2 vamos a hacer el
teorema fundamental del cálculo
el 2 primero y luego el 1 aquí
multiplicados por 2 4 por si acaso vamos
con el 2 1º 2 al cuadrado sobre dobló
gary 92 menos 2 al cuadrado sobre 4 -
paréntesis el 1 un medio logaritmo
natural de 1 - un cuarto
no olvidemos que logaritmo de 10 por eso
que esto se eliminan aunque aquí va a
quedar cuatro entradas que a 2 logaritmo
menos 4 entre 4 cada uno menos por menos
queda más cuarto aquí menos 1 más
opuesto está menos tres cuartos
aquí lo integral es el ángulo ya de una
vez aunque aquí está el ángulo ha
quitado natural de 2 menos 34 el 2 de
afuera con es cierto que salió al
principio evaluamos 2 y el 0 no hace
falta este 2 los juegos les van a caer
como exponente porque para que el
logaritmo de 4 si gustan quedaría
logaritmos de 4 menos 34 y este dos
pelos por colocar delante queda con un
factor común
enseña la respuesta es 4 y logaritmo de
4 - tres cuartos unidades públicas
porque claramente el problema no digo
señores un volumen y está modelado en el
espacio con hebras esa es este la
respuesta correcta del ejercicio de la
lesión no es muy complicado para
personas que tras integrar dobles porque
no hace falta hacer el gráfico del
espacio siempre sólo pide ahí si se pone
complicado porque hacerlo manualmente no
es fácil esto se utiliza tecnología y
obras una aplicación que pueden
descargar en su celular internet es
gratuito o lo pueden utilizar gratis
también en su computadora laptop o pc
como siempre voy a colocar la respuesta
verificada con maple o estos programas
que utilizo matemáticas y está muy bien
ellos hicieron acá distributiva cuatro
mil por tres cuartos el 4 cancela queda
menos tres pi y aquí 8 es porque ellos
el 2 del exponente lo dejaron abajo acá
y hay 4 por 28 es lo mismo en esta
expresión y esta es la misma todo
depende como lo quieras dejar factor
común desarrollado en su postura
excelente ejercicio me gustó mucho
remodelaciones despacio espero que
ustedes también les dejo entonces la
descripción del vídeo mi correo a mis
redes sociales que otros o te gustaría
ver aquí en mi canal gracias por su
apoyo aquí te dejo para que se suscriban
al el aic la campanita y comparte con
quien para quienes puedan servir este
ejercicio y aquí una sección para más
ejercicios interés dobles y triples
gracias por tu apoyo no olviden lavarse
bien las manos de las fuerzas que
acompañen siempre dando en el próximo
decisión
[Música]
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