Área de polígono inscrito en circunferencia- formula general

Summary

En este video se explica cómo derivar una fórmula general para calcular el área de un polígono inscrito en un círculo. Usando conceptos de geometría y trigonometría, se demuestra cómo el área depende del radio del círculo y del número de lados del polígono. A través de la división del círculo, el cálculo del ángulo central y el uso de identidades trigonométricas, se llega a la fórmula final, que permite calcular el área solo conociendo el radio y el número de lados del polígono. Esta fórmula es útil para diversos tipos de polígonos regulares inscritos.

Takeaways

• 😀 El objetivo del vídeo es encontrar una fórmula general para calcular el área de un polígono inscrito en un círculo.
• 😀 Se requiere conocer solo dos datos: el radio del círculo (r) y el número de lados del polígono (n).
• 😀 Para dibujar un polígono dentro de un círculo, se debe dividir la circunferencia entre el número de lados del polígono.
• 😀 El ángulo central de cada lado del polígono se calcula dividiendo 360° entre el número de lados (α).
• 😀 Al dividir el ángulo central (α) a la mitad, obtenemos el ángulo θ, el cual es crucial para derivar el área del polígono.
• 😀 Usando trigonometría, el seno de θ se relaciona con los catetos de los triángulos rectángulos formados por el apotema y el radio del círculo.
• 😀 La longitud de un lado del polígono (l) se puede expresar como 2r × seno(π/n).
• 😀 El perímetro del polígono se obtiene multiplicando la longitud de un lado (l) por el número de lados (n).
• 😀 La fórmula estándar para el área de un polígono es A = (P × a) / 2, donde P es el perímetro y a es el apotema.
• 😀 Después de sustituir las expresiones para el perímetro y el apotema, la fórmula general para el área es A = (n × r² × seno(2π/n)) / 2.
• 😀 La fórmula derivada solo requiere el valor del radio (r) y el número de lados (n) para calcular el área de cualquier polígono regular inscrito en un círculo.

Q & A

¿Cómo se determina el ángulo alfa en el caso de un polígono inscrito en un círculo?

El ángulo alfa se obtiene dividiendo la circunferencia del círculo (360° o 2π radianes) entre el número de lados del polígono (n), es decir, α = 360° / n o α = 2π / n.

¿Qué se obtiene al trazar una bisectriz del ángulo alfa?

Al trazar la bisectriz del ángulo alfa, se obtiene un ángulo de mitad, denominado θ, que es igual a α / 2, es decir, θ = π / n.

¿Cuál es la fórmula que relaciona el seno del ángulo θ con el cateto opuesto y la hipotenusa en los triángulos rectángulos formados?

La fórmula es sin(θ) = cateto opuesto / hipotenusa, donde el cateto opuesto es la mitad de un lado del polígono (l / 2) y la hipotenusa es el radio del círculo (r).

¿Cómo se calcula la longitud de un lado (l) del polígono?

La longitud del lado (l) se calcula usando la fórmula l = 2r * sin(π / n), donde r es el radio del círculo y n es el número de lados del polígono.

¿Cómo se obtiene el perímetro del polígono inscrito?

El perímetro se obtiene multiplicando la longitud de un lado (l) por el número de lados (n), es decir, P = n * l. Como l = 2r * sin(π / n), el perímetro es P = n * 2r * sin(π / n).

¿Qué es el apotema de un polígono inscrito en un círculo?

El apotema es la distancia desde el centro del círculo hasta el centro de uno de los lados del polígono. Se calcula usando la fórmula apotema = r * cos(π / n), donde r es el radio del círculo.

¿Cómo se calcula el área de un polígono inscrito en un círculo?

El área se calcula con la fórmula A = (P * apotema) / 2, donde P es el perímetro y el apotema es la distancia desde el centro hasta el centro de un lado.

¿Qué se obtiene al sustituir el perímetro y el apotema en la fórmula del área?

Sustituyendo el perímetro (n * 2r * sin(π / n)) y el apotema (r * cos(π / n)) en la fórmula A = (P * apotema) / 2, se obtiene A = n * r² * sin(π / n) * cos(π / n).

¿Cómo se simplifica la expresión para el área utilizando una identidad trigonométrica?

Usando la identidad trigonométrica 2 * sin(θ) * cos(θ) = sin(2θ), la fórmula se simplifica a A = (n * r² / 2) * sin(2π / n).

¿Cuál es la fórmula final para el área de un polígono inscrito en un círculo?

La fórmula final para el área de un polígono inscrito en un círculo es A = (n * r² / 2) * sin(2π / n), donde n es el número de lados y r es el radio del círculo.