El hombre que pudo destronar a Fibonacci | Los números de Lucas
Summary
TLDRLos números de Lucas, eclipsados por los de Fibonacci, tienen su propia fascinación. Se exploran en un contexto peculiar: baños públicos. A través de un enfoque ameno, se revela su conexión con la proporción áurea y las sucesiones matemáticas. Además, se discute su relevancia en la teoría de números y en la criptografía, mostrando cómo conceptos aparentemente simples desembocan en aplicaciones complejas y vitales. El video invita a reflexionar sobre la fascinante intersección entre matemáticas y realidad cotidiana.
Takeaways
- 🎓 Los números de Lucas, también conocidos como números de Luca, son una secuencia matemática interesante que ha sido eclipsada por los números de Fibonacci.
- 🚹 La situación hipotética de los urinarios en un baño público masculino sirve como introducción para explicar la secuencia de Lucas, donde no se pueden usar dos urinarios contiguos.
- 🔢 La secuencia de Lucas se relaciona con la proporción áurea (phi, 𝜑), y cada número de la secuencia corresponde al entero más cercano a 𝜑 elevado al cuadrado.
- 🇫🇷 El matemático francés Edouard Lucas fue el primero en tomar en serio los números de Fibonacci y en desarrollar muchas de sus propiedades.
- 🔗 Los números de Lucas y Fibonacci están estrechamente relacionados; por ejemplo, la suma de dos números alternos de la secuencia de Fibonacci da como resultado un número de Lucas.
- 📚 Las sucesiones de Lucas son casos particulares de sucesiones más generales, y se definen con dos números enteros iniciales, a y b.
- 🔑 Las sucesiones de Lucas tienen múltiples propiedades y relaciones, y son muy importantes en la teoría de números, especialmente en la relación con los números primos.
- 🧮 Una propiedad clave de las sucesiones de Lucas de primer tipo es que un número de la secuencia solo puede ser primo si su índice es primo.
- 🔍 El discriminante de la relación de sucesiones de Lucas, dado por el número d = a^2 - 4b, es un concepto importante que se utiliza en pruebas de primalidad.
- 🛡️ Las relaciones y pruebas de primalidad de Lucas, como el test de primalidad de Lucas-Lehmer, son útiles en la generación de números primos y en la criptografía.
- 📚 El autor menciona su libro 'Invitación al aprendizaje', que explora cómo la ciencia entiende el aprendizaje y cómo podemos utilizar ese conocimiento para mejorar nuestro proceso de aprendizaje.
Q & A
¿Qué son los números de Lucas y cómo se relacionan con los números de Fibonacci?
-Los números de Lucas son una secuencia de números naturales que están estrechamente relacionados con los números de Fibonacci. Ambas secuencias crecen de manera similar, donde cada número es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, los números de Lucas suelen iniciarse con 2 y 1, en lugar de 0 y 1 como los números de Fibonacci.
¿Por qué los números de Lucas han quedado eclipsados por los números de Fibonacci?
-Aunque los números de Lucas y los de Fibonacci comparten muchas propiedades y están muy relacionados, los números de Fibonacci han sido más famosos históricamente debido a su uso y popularización por Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci. Además, los números de Fibonacci han sido más ampliamente estudiados y aplicados en diversas áreas del conocimiento.
¿Cómo se relacionan los números de Lucas con la proporción áurea?
-Los números de Lucas tienen una relación más estrecha con la proporción áurea (phi, φ) que los números de Fibonacci. El número entero más cercano a phi elevado al cuadrado es el número correspondiente a dos urinarios, el más cercano a phi elevado a 3 es 4, y así sucesivamente. Esto demuestra que los números de Lucas son muy especiales y están intrínsecamente vinculados con la proporción áurea.
¿Quién fue el matemático francés que se interesó por los números de Lucas?
-El matemático francés que se interesó por los números de Lucas fue Édouard Lucas. Él fue el primero en darse cuenta de la importancia de estos números y en desarrollar muchas de sus propiedades. Por ello, los números de Lucas también se conocen como números de Luca o de Lucas.
¿Cómo se definen las sucesiones de Lucas de tipo 1 y tipo 2?
-Las sucesiones de Lucas de tipo 1, que se denotan como 'u', se definen como u_0 = 0, u_1 = 1, y para n > 1, u_n = a * u_(n-1) - b * u_(n-2). Las sucesiones de Lucas de tipo 2, que se denotan como 'v', se definen como v_0 = 2, v_1 = a, y para n > 1, v_n = a * v_(n-1) - b * v_(n-2). Estas definiciones varían solo en los dos primeros términos.
¿Por qué los números de Lucas son importantes en la teoría de números?
-Los números de Lucas son importantes en la teoría de números por su relación con los números primos. Por ejemplo, un número u_n de la sucesión de Lucas de primer tipo solo puede ser primo si n es primo. Además, se utilizan en pruebas de primalidad, como el Test de primalidad de Lucas-Lehmer, y en la elaboración de sistemas de criptografía.
¿Cómo se relacionan las sucesiones de Lucas con las sucesiones de polinomios?
-Las sucesiones de Lucas también se pueden generalizar para trabajar con polinomios en lugar de números enteros. Por ejemplo, si a es 2x y b es 1, obtenemos los polinomios de Shevet de segunda y primera clase. Si a es x y b es -1, obtenemos los polinomios de Fibonacci y los polinomios de Lucas.
¿Qué es el Test de primalidad de Lucas-Lehmer y cómo funciona?
-El Test de primalidad de Lucas-Lehmer es un método utilizado para determinar si un número es primo. Se basa en las propiedades de las sucesiones de Lucas y es una generalización del Pequeño Teorema de Fermat. Si un número primo impar p no divide el producto a * b * d, entonces p divide a u_l, donde l es (p - d) / p, y esto se utiliza para probar la primalidad de p.
¿Cómo se relacionan los números de Lucas con los números de Mersenne y Fermat?
-Cuando a es 3 y b es 2 en la sucesión de Lucas de tipo 1, los números resultantes son los números de Mersenne, que tienen la forma 2^(n-1). Estos números están relacionados con los primos de Mersenne, que son primos de la forma 2^p - 1, donde p es un primo. Además, la sucepción de Lucas de tipo 2 con a como 2 y b como -1 da los números de Fermat, que tienen la forma 2^(n+1).
¿Por qué los baños públicos y los urinarios están relacionados con los números de Lucas?
-El ejemplo de los baños públicos y los urinarios se utiliza como una analogía para explicar la secuencia de los números de Lucas. En un baño con urinarios dispuestos de manera circular, si la regla es no usar dos urinarios contiguos, el número de formas en que los urinarios pueden estar ocupados sin violar la regla sigue la secuencia de los números de Lucas, mostrando cómo estos números aparecen de manera natural en situaciones cotidianas.
¿Cómo es la importancia de las sucesiones de Lucas en la criptografía?
-Las sucesiones de Lucas tienen aplicaciones en la criptografía debido a sus propiedades numéricas únicas y su relación con los números primos. Por ejemplo, los test de primalidad basados en sucesiones de Lucas, como el Test de Lucas-Lehmer, se utilizan para generar números primos, que son fundamentales en la creación de claves seguras en el cifrado moderno.
Outlines
😀 Introducción a los números de Lucas y su relación con los baños públicos
Este primer párrafo introduce los números de Lucas, que son una secuencia matemática interesante y a menudo menos conocida que los números de Fibonacci. Se menciona que estos números tienen una conexión con la disposición de urinarios en baños públicos, donde no se pueden usar dos urinarios contiguos. A través de un ejemplo, se demuestra que la secuencia de los números de ocupación de los urinarios sigue una relación similar a la de la sucesión de Fibonacci, pero con una conexión más estrecha con la proporción áurea (phi). Finalmente, se revela que los números de Lucas son más que una curiosidad, ya que tienen propiedades matemáticas profundas y son utilizados en áreas como la teoría de números y la criptografía.
📚 Propiedades y aplicaciones de las sucesiones de Lucas
El segundo párrafo profundiza en las propiedades y aplicaciones de las sucesiones de Lucas. Se discute cómo las sucesiones de Lucas de diferentes tipos (definidas por dos números enteros 'a' y 'b') están relacionadas con otras secuencias matemáticas conocidas, como los números de Fibonacci, los números de Mersenne y los números de Fermat. Además, se exploran las propiedades de las sucesiones de Lucas en relación con los números primos, como el hecho de que un número de Lucas solo puede ser primo si su índice es un número primo. Se menciona el uso de estas propiedades en pruebas de primalidad y en la criptografía, destacando la importancia de las sucesiones de Lucas en la teoría de números.
Mindmap
Keywords
💡Números de Lucas
💡Urinarios públicos
💡Proporción Áurea
💡Sucesiones de Lucas
💡Números de Fibonacci
💡Matemático francés Edouard Lucas
💡Test de primalidad de Lucas
💡Polinomios de Lucas
💡Criptosistemas basados en Lucas
💡Relación con los números primos
💡Discriminante de la relación de sucesiones de Lucas
Highlights
Los números de Lucas, también conocidos como números de Luca, son una secuencia matemática que ha sido eclipsada por los números de Fibonacci.
La secuencia comienza con los números 2 y 1, y cada término siguiente es la suma de los dos términos anteriores.
La relación con los urinarios públicos y la disposición de estos en forma circular sin utilizar dos urinarios contiguos introduce de manera lúdica la secuencia de Lucas.
La secuencia de Lucas está estrechamente relacionada con la proporción áurea (phi), aproximadamente 1,618.
El número entero más cercano a phi elevado al cuadrado es el número correspondiente a dos urinarios, lo cual sugiere una conexión profunda entre estos números y la proporción áurea.
Los números de Lucas son especiales porque el número entero más cercano a phi elevado a n es exactamente el número correspondiente a n urinarios.
Leucio, el matemático francés que estudió estos números, fue el primero en darse cuenta de la importancia de los números de Fibonacci.
Los números de Lucas y Fibonacci están muy relacionados, y la suma de dos números alternos de la secuencia de Fibonacci da como resultado un número de Lucas.
Las sucesiones de Lucas son casos particulares de sucesiones de Lucas generales, que se definen con dos números enteros a y b.
Las sucesiones de Lucas de tipo 1 y tipo 2 difieren solo en los dos primeros términos, pero comparten muchas propiedades y relaciones.
Las sucesiones de Lucas tienen aplicaciones en la teoría de números, especialmente en la relación con los números primos.
Un ejemplo de propiedad de las sucesiones de Lucas es que un número de Lucas elevado a un número primo siempre es múltiplo del número de Lucas correspondiente al primo.
El discriminante de la relación de sucesiones de Lucas, dado por a*b - 4*b, es un concepto clave en la teoría numérica.
Las relaciones de Lucas se utilizan en pruebas de primalidad, como el Test de primalidad de Lucas-Lehmer y otros sistemas de criptografía.
El video utiliza la analogía de los urinarios para introducir conceptos complejos de matemáticas de una manera divertida y accesible.
El autor del video ha escrito un libro llamado 'Invitación al aprendizaje', que explora cómo aprendemos y cómo podemos mejorar nuestros métodos de aprendizaje.
El libro 'Invitación al aprendizaje' ofrece consejos y herramientas para mejorar la eficacia del aprendizaje en diversas áreas, no solo en matemáticas o educación escolar.
Transcripts
los números de Lucas o Luca que era
francés son unos números geniales que
sin embargo han quedado injustamente
eclipsados por los números de fibonacci
vamos a conocerlos y Vais a alucinar la
cosa empieza en unos baños públicos con
unos urinarios un poco
[Música]
especiales imaginemos unos baños
públicos masculinos en los que los
urinarios están dispuestos de manera
circular pongamos para empezar que hay
cuatro urinarios se pueden ocupar de la
forma que sea con la única regla de que
no se puede usar dos urinarios contiguos
a los usuarios por lo visto pues no les
gusta estar demasiado cerca de otros
cuando hacen uso del urinario De cuántas
maneras pueden estar ocupados los
urinarios de esos baños públicos sin
violar la regla veamos Puede que no haya
nadie en el baño y esa situación es Okay
Puede que haya una sola persona en el
baño y puede estar usando el urinario
uno el dos el tres o el cuatro vale ya
van cinco puede ocurrir que haya dos
personas a la vez en el baño entonces
para cumplir la regla podría ser que una
esté en el urinario uno y otra en el
tres o bien que una esté en el dos y
otra en el cuatro dos formas más y ya
está no hay más formas más de dos
personas no pueden cumplir la regla Así
que en total tenemos siete formas
posibles de ocupación de este urinario
cumpliendo la norma una con cero
personas cuatro con una y dos con dos
personas y si en lugar de cuatro
urinarios fueran tres Pues habría solo
cuatro formas Piénsalo Pero y si
tuviéramos cinco urinarios Pues mira
habría estas 11 formas la de Cero
personas cinco con una persona cinco con
dos personas urinarios 1 TR uno y cuat
do y cuat do y C tres y C un momento con
tres urinarios Eran cuatro formas con
cuatro eran siete y con cinco urinarios
son 11 y resulta que 4 + 7 es 11
casualidad no lo creo y es que está muy
lejos de ser casualidad mira lo que
ocurre si seguimos calculando estos
números del cuarto de baño si te fijas
en la tabla cada número es la suma de
los dos anteriores igual que ocurre con
la sucesión de fibonacci Pero eso no es
todo si te acuerdas del vídeo que
hicimos sobre la sucesión de fibonacci
esta tiene mucha relación con la
proporción áurea tendrán alguna relación
los números estos de los urinarios con
esa maravillosa proporción Pues sí y de
hecho más estrecha que la de los propios
números de fibonacci la proporción se
suele denotar con la letra griega fi y
vale aproximadamente 1,618 etcétera y
digo aproximadamente porque es
irracional tiene infinitos decimales
como pi Pues bien el número entero más
cercano a fi elevado al cuadrado es TR
el número correspondiente a dos
urinarios El entero más cercano a f
elevado a 3 es 4 el número
correspondiente a tres urinarios pero es
que el más cercano a fi elevado a 4 es 7
el número correspondiente a cuatro
urinarios y así todo el rato el entero
más cercano a fi elevado a n es
exactamente el número correspondiente a
n urin es una cosa loquísima alucinante
sorprendente y que nos dice que estos
números son bastante especiales el
primero que se tomó en serio estos
números fue el matemático francés el
duag Luca y por eso se conocen como
números de Luca o de Lucas Por cierto
que él nunca pensó en todo esto de los
urinarios eso es cosa de derivando que
somos así de entretenidos los números de
Lucas suelen iniciarse con el dos y el
uno es decir el ceroo número de Lucas
sería el dos el primero sería el uno y a
partir de ahí vienen nuestros números de
los urinarios con lo que la sucesión de
los números de Lucas queda 2 1 3 4 7 11
18 29 47 76 123 199 los números de Lucas
y los de fibonacci están muy muy
relacionados Fíjate si sumamos dos
números alternos de la sucesión de
fibonacci obtenemos el número de Lucas
que ocupa justo la posición que nos
hemos saltado aunque fibonacci fue el
que se llevó la fama por su hermosa
sucesión Lo cierto es que quizá Debería
ser Lucas Quien fuera conocido por ella
la razón es que aunque fibonacci la usó
primero Sí él no fue capaz de ver la
importancia que tenía Lo cierto es que
las herramientas matemáticas de la época
de fibonacci No eran muchas fue el Lucas
quien se dio cuenta de la importancia de
los números de fibonacci y quien
desarrolló Muchas de sus propiedades con
lo que si la sucesión de fibonacci están
famosa y utilizada es en buena medida
gracias a Lucas las relaciones entre
números de fibonacci y números de Lucas
son muchísimas yo te animo a que busques
información sobre este tema que te vas a
quedar con el ojo cuadrado existe una
razón profunda para esta relación y esa
razón la dio el propio Lucas ambos tipos
de números son casos particulares de
algo que llamamos en general sucesiones
de Lucas vamos a ver esto que es bien
bonito empezamos con dos números enteros
a los que llamamos a y b con ellos
podemos Definir la sucesión de Lucas de
tipo uno que llamaré u y la de tipo 2
que llamaré V la de tipo un es así u sub
0 es 0 u sub1 es 1 y u subn es a * u
subn - 1 - b * u subn - 2 cuando n Es
mayor que 1 y la de tipo dos son V sub 0
es 2 V sub1 es a y v subn es a * V subn
- 1 - B * V subn - 2 cuando n Es mayor
que 1 ya ves que son super parecidas que
solo cambian los dos primeros términos
la cantidad de propiedades y relaciones
que tienen estas sucesiones es
impresionante se saben mucho sobre ellas
y en algunos casos son particularmente
famosos Por ejemplo si a es 1 y b es -1
tenemos que la sucesión de tipo 1 es la
de fibonacci y la de tipo 2 La de Lucas
si a es 3 y b es 2 la sucesión de tipo 1
resulta que son los números de meren que
tienen la forma 2 a la n - 1 entre ellos
los famosos primos de mersen y la
sucesión de tipo 2s son los números de
la forma 2 a la n + 1 que incluyen a los
números de fermar si a es 2 y b es -1
tenemos los números de pel y de Lucas
pel y así hay otro montón de sucesiones
que tienen muchos usos en matemáticas y
nombres famosos es más podemos usar en
lugar de a una variable x y entonces en
vez de obtener sucesiones de números
obtenemos sucesiones de polinomios
algunas de esas sucesiones son muy
importantes Por ejemplo si a es 2x y b
es 1 obtenemos los polinomios de shevet
de segunda clase y los de primera clase
multiplicados por dos y si a es x y b es
-1 obtenemos los polinomios de fibonacci
y los polinomios de Lucas la importancia
de las sucesiones de Lucas es muy grande
en teoría de números por su relación con
los números primos te pongo un par de
ejemplos de estas propiedades de los
muchos que hay para que veas que
efectivamente Este es un tema muy muy
importante algo que cumplen las
sucesiones de Lucas de primer tipo es
que el número u sub km es siempre
múltiplo del número u sub m y esto si te
das cuenta quiere decir que u subn solo
puede ser Primo si n es primo otra
propiedad importante es la siguiente
llamamos discriminante de la relación de
sucesiones de Lucas al número d que es a
cu - 4b el nombre de discriminante no es
casual si te interesa el tema te animo a
profundizar sobre Bueno pues si tenemos
un número primo impar p que no divide al
producto a * b * d entonces p divide al
número usul donde l es p - d / p esto
puede parecer raro y que sale de la nada
pero en realidad es una generalización
del Pequeño teorema de fermat nada menos
se usa para el test de primalidad de
Lucas lemmer otras relaciones de este
tipo se usan para generar números primos
para elaborar test de primalidad y
gracias a eso tenemos los test de pseudo
primalidad de Lucas el test de Lucas
lemmer risel o criptosistemas como luc
basados en sucesiones de Lucas ya ves
que hemos empezado jugando a los
inodoros en un cuarto de baño y hemos
terminado con test de primariedad y
sistemas de criptografía no me puedes
negar que las matemáticas son un mundo
apasionante y sorprendente la próxima
vez que visites un urinario público
acuérdate del bueno de Lucas pero no
demasiado aquí en derivando aprendemos
un montón de matemáticas pero también
aprende un montón de cosas sobre
aprender he escrito este libro
invitación al aprendizaje que de qué va
Pues estudia qué es lo que la ciencia
sabe sobre cómo aprendemos y utiliza ese
conocimiento para aprender mejor no
solamente matemátic
y no solamente aprendizajes escolares
aunque también que es un libro que le
sirve a todo el mundo para tener trucos
formas y comprensión de cómo aprendemos
para aprender mejor lo tienes por ahí en
las librerías en las plataformas de
venta y todo eso así que hazte con 4 5 o
20 y así lo regalas invitación al
aprendizaje salo
yo hasta el próximo
vídeo
i
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