Qué es la derivada? | Concepto de derivada
Summary
TLDREn este video, se aborda el concepto de derivada en el contexto de la velocidad promedio y la velocidad instantánea. Se utiliza una competencia de autos para ilustrar la diferencia entre ambas. Se calcula la velocidad promedio de dos autos, uno azul y otro rojo, que compiten en un recorrido de 100 metros. A través de un gráfico de posición contra tiempo, se muestra cómo la inclinación de la línea representa la velocidad. Se destaca que la velocidad instantánea varía a lo largo del tiempo y se introduce el concepto de derivada como una herramienta para encontrar la velocidad en un punto específico. El video concluye con una explicación de cómo la derivada se relaciona con la recta tangente a una función dada, y se invita a los espectadores a explorar más sobre el tema en el canal del creador.
Takeaways
- 🏎️ La derivada es utilizada para encontrar la velocidad en un punto específico de una curva, lo que es esencial en el análisis de funciones y su comportamiento en diferentes puntos.
- 📈 La velocidad promedio se calcula dividiendo la distancia recorrida por el tiempo transcurrido, lo que permite comparar el rendimiento entre diferentes objetos o situaciones.
- ⏱️ La velocidad instantánea es diferente a la velocidad promedio, y es la velocidad exacta en un punto específico en tiempo, representada por la pendiente de la tangente a la curva en ese punto.
- 📊 Un gráfico de posición contra tiempo (también conocido como gráfico de espacio-tiempo) puede mostrar cómo varía la velocidad a lo largo del tiempo, indicando la aceleración o la desaceleración.
- 📌 La inclinación de la línea en un gráfico de velocidad vs. tiempo indica la velocidad de un objeto; una línea más inclinada significa una velocidad más alta.
- 🚀 Al inicio de un movimiento, la velocidad comienza en cero y aumenta gradualmente hasta alcanzar una velocidad máxima, representando un proceso de aceleración.
- 📐 La derivada se calcula tomando dos puntos cercanos en el gráfico y encontrando la pendiente de la línea que une esos puntos; a medida que los puntos se acercan, la aproximación a la derivada se vuelve más precisa.
- 🔍 El límite de la velocidad cuando el tiempo transcurrido entre dos puntos tiende a cero (h o Δx tiende a cero) es la definición matemática de la derivada en un punto específico.
- 🛣️ El concepto de derivada es fundamental en la física y las matemáticas para describir cambios en una variedad de contextos, incluida la cinemática y la modelización de sistemas dinámicos.
- 📋 La habilidad para calcular la derivada es esencial para comprender cómo las cosas cambian con el tiempo y para predecir comportamientos futuros en una amplia gama de disciplinas.
- 🎓 Aprender a calcular y entender las derivadas es una habilidad valiosa que puede abrir muchas puertas en el ámbito académico y profesional.
Q & A
¿Qué es la velocidad promedio?
-La velocidad promedio es el espacio recorrido por un objeto dividido por el tiempo que le tomó recorrer esa distancia. En el ejemplo, el auto rojo recorrío 80 metros en 5 segundos, lo que da una velocidad promedio de 16 metros por segundo.
¿Cómo se calcula la velocidad instantánea?
-La velocidad instantánea se calcula tomando el límite del cociente del cambio en la posición (Δx) entre el cambio en el tiempo (Δt) cuando este último tiende a cero. También se conoce como el concepto de derivada en matemáticas.
¿Por qué la línea del gráfico de velocidad contra tiempo es más inclinada para el auto azul que para el auto rojo?
-La línea es más inclinada para el auto azul porque este tiene una mayor velocidad promedio, lo que indica que recorrrió una distancia mayor en el mismo período de tiempo en comparación con el auto rojo.
¿Cómo se relaciona la aceleración con la curvatura en el gráfico de velocidad contra tiempo?
-Una curvatura más pronunciada en el gráfico de velocidad contra tiempo indica una aceleración más rápida. En el caso del auto azul, que aumentó su velocidad desde cero hasta su velocidad máxima, la curva se inclina más, mostrando una aceleración constante.
¿Cómo se define el punto Xy en el contexto de la derivada?
-El punto Xy es un punto específico en el gráfico que representa un instante en el tiempo (coordenada X) y la distancia recorrida en ese instante (coordenada Y). Se utiliza para calcular la velocidad instantánea en ese punto utilizando la derivada.
¿Qué es el incremento en el tiempo h?
-El incremento en el tiempo h es la diferencia de tiempo entre dos puntos en el gráfico. Se utiliza para calcular la velocidad entre dos puntos específicos al dividir el espacio recorrido por este intervalo de tiempo.
¿Cómo se calcula la velocidad exacta en un punto dado利用derivada?
-Para calcular la velocidad exacta en un punto dado, se toma el límite de la velocidad promedio cuando el intervalo de tiempo h tiende a cero. Esto se conoce como el límite de la derivada, y representa la pendiente de la tangente a la curva en el punto de interés.
¿Por qué la velocidad aparente de un objeto en movimiento no es siempre la misma durante todo su recorrido?
-La velocidad aparente de un objeto en movimiento no es siempre la misma porque el objeto puede acelerar o desacelerar a lo largo de su trayectoria. En el caso de los autos, empiezan con una velocidad de 0 y aumentan su velocidad hasta alcanzar una velocidad máxima.
¿Cómo se relaciona el concepto de derivada con la física?
-En física, la derivada se relaciona con la cinemática, donde se utiliza para calcular la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, la aceleración, y otros parámetros dinámicos. La derivada de la posición con respecto al tiempo da la velocidad, y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo da la aceleración.
¿Cómo se puede mejorar la precisión de la velocidad calculada entre dos puntos utilizando la derivada?
-La precisión de la velocidad calculada entre dos puntos se puede mejorar al reducir el intervalo de tiempo (h) considerado. A medida que h tiende a cero, la aproximación de la velocidad promedio se acerca al valor exacto de la velocidad instantánea en el punto de interés.
¿Por qué es importante el estudio de la derivada en matemáticas y física?
-El estudio de la derivada es importante porque proporciona una herramienta para modelar y predecir el comportamiento de sistemas en movimiento, entender cómo las cosas cambian con el tiempo y en respuesta a diferentes condiciones, y para optimizar procesos donde sea necesario encontrar el máximo o el mínimo de una función.
Outlines
🏎️ Concepto de Derivada y Velocidad Promedio y Instantánea
El primer párrafo introduce el curso de derivadas y establece la importancia de entender la velocidad promedio e instantánea para comprender la derivada. Se utiliza una competencia entre dos autos para ilustrar estos conceptos. El auto azul termina primero, recorriendo 100 metros en 5 segundos, mientras que el auto rojo solo recorre 80 metros en el mismo tiempo. A través de un gráfico de posición contra tiempo, se calcula la velocidad promedio de ambos autos y se observa cómo la inclinación de la línea representa la velocidad. Además, se menciona que la velocidad varía con el tiempo, y para encontrar la velocidad en un punto específico, se requiere el concepto de derivada.
📈 Derivada como Herramienta para Hallar Velocidad en un Punto Específico
El segundo párrafo profundiza en el concepto de derivada como una herramienta para calcular la velocidad en un punto específico en lugar de una promedio general. Se describe un método para encontrar la velocidad exacta en un punto dado, utilizando dos puntos y el tiempo transcurrido entre ellos, denominado 'h' o el incremento de tiempo. A través de un ejemplo, se muestra cómo aproximar la velocidad instantánea al acercar el segundo punto hacia el primero hasta que el tiempo transcurrido entre ellos se acerca a cero, lo que se conoce como el límite. Se resalta que la derivada representa la velocidad exacta en un punto y es la pendiente de la recta tangente a una función en ese punto.
📚 Conclusión y Recursos para Aprender Más sobre Derivadas
El tercer párrafo concluye la explicación de la derivada y su importancia para encontrar la velocidad en un punto exacto. El hablante alienta a los espectadores a que visiten su canal o sigan el enlace proporcionado en la descripción del video para acceder al curso completo de derivadas. Finalmente, se hace un llamado a la acción para que los espectadores se suscriban, comenten, compartan y den like al video, antes de despedirse.
Mindmap
Keywords
💡Derivada
💡Velocidad Promedio
💡Velocidad Instantánea
💡Incremento de Tiempo (h)
💡Función
💡Gráfico de Posición contra Tiempo
💡Recta Tangente
💡Límite
💡Aceleración
💡Cálculo Diferencial
💡Tasa de Cambio
Highlights
Introducción al concepto de derivadas y su importancia en la comprensión de la velocidad promedio y la velocidad instantánea.
Descripción de una competencia entre dos carros para ilustrar la diferencia entre velocidad promedio y velocidad instantánea.
Explicación de cómo se calcula la velocidad promedio utilizando el espacio recorrido y el tiempo transcurrido.
Representación gráfica de la velocidad promedio a través de un gráfico de posición contra tiempo.
Diferencia entre la línea de velocidad del carro azul y el carro rojo en la gráfica, indicando la diferencia de velocidades.
La inclinación de la línea en la gráfica como indicativo de la velocidad del vehículo.
Ejemplo numérico de cómo se calcula la velocidad promedio para el carro rojo y el carro azul.
Importancia del concepto de derivada para encontrar la velocidad en un punto específico en lugar de la velocidad promedio.
Método para calcular la velocidad instantánea a partir de dos puntos utilizando el cambio en el espacio y el tiempo.
La derivada como herramienta para encontrar la velocidad exacta en un punto dado, representando la recta tangente a la curva.
Proceso para aproximar la velocidad instantánea al acercar el segundo punto hacia el primero hasta que el tiempo transcurrido entre ellos tenga un valor cercano a cero.
Explicación de cómo la velocidad calculada en un punto específico se convierte en la velocidad exacta cuando el incremento de tiempo tiende a cero.
Representación de la velocidad instantánea como el límite del cociente del cambio en el espacio y el cambio en el tiempo cuando este último tiende a cero.
La derivada como concepto fundamental en el análisis de funciones y la física para describir cambios rápidos y aceleraciones.
Invitación a los espectadores a suscribirse, comentar, compartir y activar la notificación para no perderse de más contenido educativo.
Disponibilidad del curso completo de derivadas en el canal del profesor o a través del enlace proporcionado.
Transcripts
[Música]
qué tal amigos espero que estén muy bien
bienvenidos al curso de derivadas y
ahora hablaremos del concepto de
derivada
para empezar a hablar del concepto de la
derivada primero debemos comprender muy
bien el concepto de velocidad promedio y
de velocidad instantánea que algo de eso
es de lo que habla la derivada no
entonces primero que todo vamos a tratar
de comprender el concepto de velocidad
promedio entonces para eso vamos a ver
aquí una competencia entre estos dos
carros estos dos carros están
compitiendo a ver cuál llega primero
aquí a la meta que pues aquí lo
observamos que sería 100 metros de
recorrido entonces los dos carros van a
empezar a acelerar
obviamente el cronómetro va a empezar a
contar cómo lo vemos el auto azul está
cogiendo la ventaja el auto rojo y en el
último segundo en el segundo número 5 se
observa que el automóvil azul llegó a
los 100 metros en esos 5 segundos
mientras que el auto rojo que venía un
poco más despacio recorrió solamente 80
metros entonces vamos a hacer a mirar
cuál fue la velocidad promedio del auto
azul y la velocidad promedio del auto
rojo para esto vamos a pasar aquí a este
gráfico en el que está el gráfico d
espacio contratiempos y aquí está el
tiempo que duraron sí que fueron los dos
duraron cinco segundos y el espacio que
recorrieron porque es un gráfico de
posición contra tiempo pues porque la
velocidad es el espacio que recorremos
en la unidad de tiempo en la cantidad de
tiempo que duramos recorriendo ese
espacio por ejemplo para el automóvil
rojo que el gráfico sería obviamente la
línea roja observamos que duró cinco
segundos para llegar a una distancia de
80 metros entonces si queremos encontrar
la velocidad promedio durante todo el
recorrido del automóvil rojo pues
veríamos que recorrió cuánto espacio 80
metros en cuánto tiempo en 5 segundos 80
dividido en 5 de 16 metros por segundo o
metros sobre segundo mientras que el
automóvil azul ya no recorrió 80 metros
recorrió 100 metros en los mismos 5
segundos
por eso la velocidad es de 20 metros por
segundo si observamos algo clave que
tenemos que comprender es que entre más
velocidad más inclinada vais
la línea miren que la línea roja la del
carro rojo que fue el menos veloz tiene
una inclinación un poco menor a la
inclinación que tiene la recta o el
gráfico de la velocidad del carro azul
pero si observamos bien
y pausa un momentico podemos observar
que en el primer segundo
el automóvil azul todavía no había
recorrido 20 metros o sea si la
velocidad hubiera sido siempre la misma
pues en los primeros 20 metros había
durado un segundo otro segundo otro
segundo otro segundo y otro para un
total de 5 segundos pero todos sabemos
obviamente cuando arrancan los carros
pues llevan una velocidad de 0 van
aumentando digamos que 5 metros por
segundo 10 metros por segundo si osea
van aumentando su velocidad porque por
algo se llama acelerar no están
acelerando hasta que pues llegan a su
máxima velocidad cuando llegan aquí a
los 100 metros que sería el final de la
carrera no entonces si hacemos un
gráfico un poco mejor de la velocidad
por ejemplo o del espacio contra el
tiempo recorrido por el carro azul
podemos observar que el gráfico más
correcto sería este gráfico si esta
parte de atrás no la tengamos en cuenta
sí porque aquí digámoslo así que llevaba
poquita velocidad va aumentando
aumentando aumentando y cada vez que a
medida que pasa el tiempo aumenta
la velocidad entonces el gráfico más
correcto de la velocidad sería este
gráfico si el gráfico de posición
contratiempo hasta el momento hablamos
de velocidad promedio si la velocidad
promedio del auto azul fue 20 metros por
segundo pero qué tal si alguien me
dijera sí pero yo quiero saber cuál es
la velocidad que el auto rojo lleva o el
auto azul llevaba cuando llevaba tres
segundos obviamente la velocidad no va a
ser de 20 metros por segundo para esto
es para lo que se utiliza el concepto de
derivada entonces vamos a aclarar un
poco más ese concepto observando este
gráfico como ya les decía la derivada me
permite encontrar la velocidad en un
punto específico si de esta función se
esto se puede llamar una función por
ejemplo si yo quisiera hallar la
velocidad exacta en el punto 2 ya
sabemos la velocidad promedio no la
velocidad promedio ya atrás se con rojo
pero pues esta es la velocidad del carro
azul recordemos que la velocidad
promedio en todos estos 5 segundos era
de 20 metros por segundo no pero
supongamos que yo quiero hallar la
velocidad exacta que llevaba cuando
había recorrido dos segundos entonces lo
que voy a hacer es lo siguiente este
punto lo voy a llamar el punto xy si
ustedes no alcanzan a ver bien aquí los
invito a que coloquen el vídeo en alta
definición para que lo puedan ver un
poco mejor entonces este punto se llama
el punto xy y pues obviamente queríamos
decir que en este caso la equis valdría
2 o sea serían 2 segundos y la aie sería
más o menos que unos 18 metros
sí pero recuerden que es porque yo
escogí este punto porque hubiera podido
escoger este punto entonces la equis ya
sería 28 segundos más o menos y la ye
serían más o menos 32 metros entonces
por eso le colocó xy porque este punto o
sea yo voy a calcular en este caso la
velocidad en dos segundos pero igual
podría ser en tres o en cuatro en cinco
segundos listos
entonces la coordenada x pues sería la
equis y la coordenada ye sería la aie
pero recordemos que la ye también se
puede llamar fx porque pues por qué
es la imagen de la equis si entonces la
imagen de la x es f x
ahora obviamente obtendría una velocidad
más exacta si en lugar de calcular la
velocidad promedio entre 0 y 5 calculará
la velocidad entre este punto y 5
entonces la velocidad ya sería ésta así
ya sería la velocidad calculada entre el
segundo 2 y el segundo 5 porque utilice
esos dos puntos pero como esto lo
queremos hacer para cualquier segundo en
el que hayamos escogido los puntos por
ejemplo yo hubiera podido colocar este
punto aquí o aquí o aquí sí entonces
vamos a hacer lo siguiente vamos a mirar
las coordenadas de este punto pero
vuelvo a decirles este punto puede estar
aquí o aquí no las coordenadas de este
punto en este caso serían 5 100 y 5
segundos y 100 metros pero las vamos a
calcular dependiendo del tiempo
transcurrido entre este punto y este
punto entonces vamos a marcar aquí el
tiempo entonces al tiempo que ha
transcurrido desde el segundo 2 hasta el
segundo 5 lo voy a llamar h
así que a eso es a lo que se le llama el
incremento en el tiempo o sea el tiempo
que pasó entre este punto y este punto
en algunos libros ese incremento lo
nombran así como les escribo acá lo
nombran con un triangulito y la equis
que quiere decir también incremento de
equis a mí me gusta utilizar más la h
pues porque es más fácil comprender otra
letra que pues ese triángulo con la
equis entonces si este punto se llama x
si el tiempo transcurrido aquí es x cuál
sería el tiempo aquí pues simplemente
sería a esta x sumarle la h y ese sería
el tiempo acá entonces el tiempo acá
sería x + h y por lo tanto la imagen de
x + h sería pues efe de x + h si vuelvo
a decirles que estoy colocando esto
porque el punto podría ser aquí o aquí
sí entonces miren que este punto sería
esta x que serían los dos segundos más
el incremento que sería pues la h lo
mismo aquí esta sería la imagen de x + h
entonces mirando ha estado el momento si
quisiéramos hallar la velocidad desde
este punto hasta este
tendremos lo siguiente aquí primero que
todo el tiempo transcurrido entre este
punto y este punto cual es yo lo nombre
h entonces el tiempo sería h y el
espacio recorrido cuál sería el espacio
recorrido sería pues el espacio que
recorrió desde aquí desde casi los 20
metros hasta los 100 metros que de donde
resulta esta distancia obviamente vuelvo
a decirles porque esto puede cambiar si
aquí ya el espacio recorrido sería menos
pero como podríamos encontrar el espacio
pues sería simplemente a todo este
espacio que sería fx + h le quitamos
este que sería fx y nos queda que el
espacio desde aquí hasta aquí es f x + h
menos f x entonces aquí en lugar de
espacio pues colocaríamos f x + h menos
f x pero si queremos encontrar la
velocidad exacta en este punto pues aquí
ya va un poco más exacta que cuando lo
habíamos calculado desde 0 hasta 5 no la
idea sería ir acercando este punto cada
vez más
y más hasta que este punto llegue aquí y
obviamente pues ya la velocidad
calculada sería la velocidad exacta en
este punto que miren que resulta siendo
la recta tangente entonces como la idea
es que esta distancia h osea corramos
este punto hasta que el tiempo
transcurrido entre este punto y este
punto tienda a cero
entonces nos quedaría que la velocidad
exactamente en un punto sería el límite
cuando el incremento de cero se miren
que aquí el incremento pues es más o
menos medio segundo la idea es que el
incremento tienda a cero si entonces el
límite cuando el incremento tiende a
cero recuerden nuevamente que en algunos
libros no lo escriben como h sino como
delta x df x + h fx sobre h entonces
para concluir recordemos que la derivada
es la que me permite encontrar la
velocidad
en un punto exacto o también podemos
decir la derivada es la que me permite
encontrar la recta tangente a una
función dada bueno amigos espero que les
haya gustado la clase recuerden que
pueden ver el curso completo de
derivadas disponible en mi canal o en el
link que está en la descripción del
vídeo o en la tarjeta que les dejo aquí
en la parte superior los invito a que se
suscriban comenten compartan y le den
laical vídeo y no siendo más bye bye
Посмотреть больше похожих видео
04. Diferencia entre velocidad y rapidez
QUÉ ES EL CÁLCULO DIFERENCIAL. Explicación Básica.
El concepto de derivada. ¿Qué es y para qué sirve la derivada?
🏎️🏎️VELOCIDAD MEDIA VS INSTANTÁNEA (CONCEPTO Y EJEMPLO)
La DERIVADA lo cambio TODO 🚀| ¿QUÉ es la DERIVADA? ▶ SIGNIFICADO de la DERIVADA en 20 MINUTOS ⌚
Velocidad promedio y Velocidad instantánea.
5.0 / 5 (0 votes)