3.6. Teorema de la Divergencia
Summary
TLDREl script de video presenta una explicación detallada del Teorema de la Divergencia en el contexto de campos vectoriales en espacio tridimensional. Se discuten los conceptos fundamentales, como la divergencia de un campo vectorial y cómo se calcula. A continuación, se aplica el teorema a varios ejemplos para ilustrar cómo se puede usar para calcular la integral de flujo a través de diferentes superficies, incluyendo un sólido limitado por una superficie orientable suave y cerrada, un paraboloide y un cilindro. El video utiliza el Teorema de la Divergencia para simplificar cálculos de integrales en geometría vectorial, proporcionando una visión práctica de cómo este teorema generaliza el Teorema de Green y su utilidad en cálculos de volumen y superficie. El análisis de los ejemplos demuestra cómo el conocimiento del Teorema de la Divergencia puede ser crucial para la resolución eficiente de problemas en física y matemáticas.
Takeaways
- 📚 Se discute el teorema de la divergencia, que es una herramienta matemática utilizada para calcular el flujo de un campo vectorial a través de una superficie.
- 🔍 La divergencia de un campo vectorial se define como la suma de las derivadas parciales de sus componentes en las diferentes direcciones.
- 📈 El teorema de la divergencia establece que el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada es igual a la integral triple de la divergencia del campo en el volumen contenido.
- 🎓 Se menciona que el teorema generaliza el teorema de Green, que es una relación fundamental en la matemática aplicado a las superficies planas.
- 📏 Se proporciona un ejemplo de cálculo de la integral de flujo para un campo vectorial y una superficie a trozos, utilizando el teorema de la divergencia.
- 🧮 Se calcula la divergencia para un campo vectorial dado y se utiliza para encontrar el flujo a través de una superficie en forma de paraboloide.
- 🔢 Se resuelve un problema de integral triple relacionado con el volumen de un sólido, utilizando técnicas de integración y cambio de variables.
- 📐 Se muestra cómo el teorema de la divergencia se aplica a un cubo, donde las derivadas parciales del campo vectorial son continuas y se calcula el flujo a través de las caras del cubo.
- 📊 Se calcula la integral de flujo para un cilindro, considerando la divergencia del campo vectorial y las propiedades geométricas del cilindro.
- 📂 Se destacan las condiciones necesarias para aplicar el teorema de la divergencia, como el carácter cerrado de la superficie y la continuidad de las derivadas parciales del campo vectorial.
- 📘 Se resalta la importancia del teorema de la divergencia en la física y la ingeniería, donde se utiliza para describir fenómenos como el flujo de fluidos o el campo eléctrico.
Q & A
¿Qué es la divergencia en un campo vectorial?
-La divergencia de un campo vectorial es una cantidad escalar que se define como la derivada parcial de cada componente del campo vectorial con respecto a sus correspondientes coordenadas espaciales. Es una medida de la cantidad de flujo que entra o sale de una región en particular.
¿Cómo se define el teorema de la divergencia?
-El teorema de la divergencia establece que para un sólido en R³ limitado por una superficie orientable y suave, la integral del flujo de un campo vectorial sobre la superficie es igual a la triple integral sobre el volumen del sólido de la divergencia del campo vectorial.
¿Qué condiciones deben cumplirse para aplicar el teorema de la divergencia?
-Para aplicar el teorema de la divergencia, el sólido debe estar limitado por una superficie orientable y suave, que puede ser a trozos y cerrada. Además, el campo vectorial y sus derivadas parciales de cada una de las entradas deben ser continuas en el volumen del sólido.
¿Cómo se calcula la integral de flujo de un campo vectorial sobre una superficie?
-Para calcular la integral de flujo de un campo vectorial sobre una superficie, primero se calcula la divergencia del campo vectorial. Luego, se utiliza el teorema de la divergencia, que permite calcular la integral de flujo como la triple integral del volumen del sólido de la divergencia del campo vectorial.
¿Cómo se calcula el volumen de un sólido limitado por un paraboloide?
-Para calcular el volumen de un sólido limitado por un paraboloide, se realiza una triple integral. En el ejemplo dado, se calcula como la integral de 4 - x^2 con respecto a x, desde -2 a 2, y luego se integra con respecto a y y z, considerando que la base es circular de radio 2.
¿Cómo se utiliza el teorema de la divergencia para calcular la integral de flujo de un campo vectorial sobre un cubo?
-Al aplicar el teorema de la divergencia, se calcula la divergencia del campo vectorial. En el caso de un cubo, la divergencia es constante, y la integral de flujo se calcula como la integral de la divergencia sobre el volumen del cubo, que es simplemente el producto del valor de la divergencia por el volumen del cubo.
¿Cómo se calcula la integral de flujo de un campo vectorial sobre un cilindro?
-Para calcular la integral de flujo sobre un cilindro, se calcula la divergencia del campo vectorial. Luego, se realiza una triple integral sobre el volumen del cilindro, que generalmente implica integrar con respecto a las coordenadas radiales y al eje de la altura del cilindro.
¿Por qué es importante conocer las derivadas parciales de un campo vectorial?
-Las derivadas parciales de un campo vectorial son importantes porque proporcionan información sobre cómo varía el campo en diferentes direcciones. Esta información es crucial para calcular la divergencia del campo, que es una medida fundamental en la aplicación del teorema de la divergencia.
¿Cómo se realiza un cambio de variable en una integral para facilitar el cálculo?
-Para facilitar el cálculo de una integral, se pueden realizar cambios de variable que transformen el dominio de integración en uno más simple o natural para la forma del integrando. Un ejemplo en el script es el cambio de variable de x a seno de theta para integrar sobre una región circular.
¿Qué es la integral de flujo y cómo se relaciona con la divergencia?
-La integral de flujo es una medida de la cantidad de un campo vectorial (como el flujo de una sustancia o el campo eléctrico) que cruza una superficie. Está directamente relacionada con la divergencia, ya que el teorema de la divergencia permite calcular la integral de flujo a través de la divergencia del campo vectorial en el volumen encerrado por la superficie.
¿Cómo se calcula el volumen de un sólido con una base circular y una tapa superior?
-Para calcular el volumen de un sólido con una base circular y una tapa superior, se realiza una integral triple. En el caso de un cilindro, esto implica integrar la función que describe la tapa superior con respecto a la altura, multiplicado por el área de la base circular.
¿Cuál es la ventaja de utilizar el teorema de la divergencia en lugar de calcular directamente la integral de superficie?
-El teorema de la divergencia simplifica el cálculo de la integral de flujo, permitiendo calcularlo como una triple integral del volumen del sólido, lo que a menudo es más directo y menos complicado que calcular la integral de superficie, especialmente en casos donde la superficie tiene forma complicada o el campo vectorial es complejo.
Outlines
😀 Teorema de la divergencia y su aplicación
Este párrafo introduce el teorema de la divergencia, que es fundamental en el cálculo de la integral de flujo a través de una superficie. Se describe cómo se define la divergencia de un campo vectorial en términos de derivadas parciales y cómo se relaciona con el flujo de un campo vectorial sobre una superficie. Se utiliza el teorema para calcular la integral de flujo en un sólido limitado por una superficie orientable. Se proporciona un ejemplo práctico de cálculo de la integral de flujo utilizando el teorema de la divergencia, demostrando cómo se calcula el volumen de un sólido a través de la integración triple en el volumen.
😀 Aplicaciones adicionales del teorema de la divergencia
Este párrafo explora más aplicaciones del teorema de la divergencia en la cálculo de la integral de flujo. Se presentan tres ejemplos diferentes donde se calcula la integral de flujo para campos vectoriales definidos en diferentes geometrías, como un cubo y un cilindro. Se destaca cómo el cálculo de la divergencia es crucial para aplicar el teorema de la divergencia y cómo se simplifica el proceso de integración al utilizar este teorema. Además, se muestra cómo se evalúa la integral de flujo en función de las características de la superficie y del campo vectorial en cuestión.
Mindmap
Keywords
💡Teorema de la divergencia
💡Campo vectorial
💡Derivada parcial
💡Flujo
💡Superficie a trozos
💡Integral de flujo
💡Volumen
💡Cambio de variable
💡Jacobiano
💡Cubo
💡Cilindro
Highlights
Introducción al teorema de la divergencia, una herramienta fundamental en la matemática y la física para calcular el flujo de un campo vectorial.
Definición de la divergencia de un campo vectorial en términos de derivadas parciales.
Explicación del teorema de la divergencia, que relaciona la integral de flujo a través de una superficie con la integral de la divergencia en un volumen.
Ejemplo práctico de cálculo de la integral de flujo utilizando el teorema de la divergencia para un campo vectorial y una superficie a trozos.
Aplicación del teorema de la divergencia para calcular el volumen de un sólido limitado por una superficie orientable.
Demostración de cómo se puede simplificar cálculos utilizando el teorema de la divergencia en lugar del teorema de Green.
Cálculo del volumen de un sólido utilizando técnicas de integración triple y el teorema de la divergencia.
Uso de técnicas de integración para resolver un problema de flujo a través de un paráboloide orientado hacia abajo.
Cambio de variable para facilitar el cálculo de la integral de flujo en un dominio circular.
Ejemplo de cálculo de la integral de flujo a través de un cubo utilizando el teorema de la divergencia.
Cálculo de la divergencia en un campo vectorial para un problema específico y su impacto en la integral de flujo.
Integración en un volumen para encontrar la integral de flujo a través de una superficie generada por planos.
Ejemplo del cálculo de la integral de flujo a través de un cilindro, destacando la continuidad de las derivadas parciales.
Uso de la divergencia para calcular áreas y volúmenes en geometrías complejas sin la necesidad de límites.
Importancia de las condiciones de contorno y la orientación de la superficie en los cálculos de integral de flujo.
La integral de flujo se relaciona con el volumen del sólido, lo que se demuestra a través de la integración en el ejemplo del cilindro.
Conclusión del video resaltando la eficacia del teorema de la divergencia en cálculos de flujo en geometrías variadas.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos hoy vamos a ver teorema de
la divergencia la divergencia de un
campo de historial efe nr n digamos que
es de la forma f 1 de x
efe 2 de x hacia esta fnb x donde f
es un campo escalar en rn y x es un
vector mrn definido en una contenido en
una región o mega entonces la
divergencia de un campo de en mi campo
vectorial efe se define como la derivada
parcial de la primera entrada de mi
campo vectorial con respecto a la
primera variable más la derivada parcial
de la segunda entrada de mi campo
vectorial con respecto a la segunda
variable hacia esta a la deriva o
parcial de la enésima entrada de mi
campo vectorial con respecto a la
enésima variable en este es la traza de
la deriva de mi campo vectorial así se
define la divergencia y eso es para todo
x en abierto
el teorema de la divergencia establece
lo siguiente sea v un sólido en r3
limitado por una superficie
recuerden que estoy pensando que es
orientable s suave puede ser a trozos y
cerrada y en el gorrito un vector normal
exterior o en la superficie ese sí es un
campo vectorial lr3 definido en mi
sólido v y cuyas derivadas parciales de
cada una de las entradas de f existen y
son continuas en el abierto mega
entonces la integral del flujo de efe
sobre mi superficie es igual a la triple
integral sobre mi volumen del de la
divergencia en mi campo vectorial vale
eso generaliza el teorema de greene que
vimos anteriormente
veamos un ejemplo calculemos la integral
de flujo donde f es x como maceta y esa
es la superficie a trozos dado por el
paraboloides que abre hacia abajo y su
tapita vale eso ya lo calculamos en el
vídeo anterior
vamos a utilizar ahora el teorema de la
divergencia bueno la superficie s es una
superficie suave a trozos y cerrada y me
faltó poner cerrada las derivadas
parciales de las entradas de f son
continuas en todo de 3 entonces podemos
utilizar el teorema de la divergencia
hay que calcular la divergencia de mi
campo vectorial
entonces tengo la derivada de x con
respecto a x sale más la derivada de ye
con respecto a y vale más la derivada
este atajo respecto a set
y cada una de las derivadas de la 1 la
suma es 3 entonces era integral de flujo
es igualdad a la triple integral de 3
sobre mi volumen que es igual a 3 veces
el volumen de v vale aquí va un nombre
chicos como cálculo el volumen si yo
supiera pues simplemente sustituyó pero
yo no sé cuánto vale el volumen de mí el
volumen de mí de mi superficie sale
bueno
entonces la integral de flujo nos queda
como tres veces el volumen de v que se
calcula como la integral de menos 2 a 2
con respecto a x del integral de menos
raíz cuadrada de 4x cuadrada a raíz
cuadrada de 4 - x cuadrada recuerden que
es una base circular de radio 2
vale y la integral de la parte inferior
de mi tapita que 7 igual a 0 a mi
paraboloide 4 - x cuadra menos de
cuadrada con respecto al set no depende
de zeta
vale entonces este 3 lo sacó de la
integral y me queda la tres veces la
integral de 4 - x cuadrada menos y
cuadrada sobre mega donde omega es una
región circular déjenme verlo así para
utilizar cambio de variable
hagamos x igualdad herriko seno de teta
y la rs no detecta donde rebaja deseados
pi y ese va de 0 2
entonces la integral de flujo habíamos
dicho que era tres veces la integral de
4x
menos de cuadrada sobre mi dominio este
circular entonces esto es igual
la integral de ser a 2 con respecto a r
integrales era 2 pico respecto a teta
vale aquí pueden factorizar ere cuadrada
tendrían coseno cuadrado más en el
cuadrado que es r cuadrada que es 12 me
quedaré cuadrada y me jacob ya no es r
sale aquí no hace falta el 3 por favor
pongan 1 aquí la integral no del no
depende de teta entonces tengo este 2 pi
por el 3 que yo tenía 6 pitt vale 3 por
2 6 ok entonces lo pongo así porque lo
único que me hace falta para resolver
esta integral lo puedo resolver por
cambio de variable es el signo menos
cierto que me queda menos tres pi por 4
- r cuadrada todos al cuadrado sobre dos
sales que tenemos y lo evalúo de cero a
dos
entonces el 24 de chicos
veamos otro ejemplo también ya lo vimos
en el vídeo anterior calculemos la
integral de flujo de fs x menos jay-z
cuadrada sobre mi superficie generada
por los planos ex igualada ex igual a
cero y igual a igual a 07 igual a igual
a 0 que me genera un cubo vale entonces
la superficie es una superficie suave a
trozos y cerrada las derivadas parciales
de las entradas de mi campo vectorial
son continuas y todo es de tres podemos
utilizar el tema de la divergencia al no
sé qué calcular la divergencia en mi
campo metro tal vez que en este caso
sería uno menos 112 está se cancela
américa da 12 está sale de gral de 12
está sobre el volumen vale entonces me
como es un cubo pues la sina integrar
más de 0 a con respecto a x integran de
ser baja con respecto a y integral de
cerrada con respecto a c
sale de 12 tambos de la z cuadrada de
valor de 0 a entonces a cuadrada
y esto de aquí me da el área de un
cuadrado entonces esa cuadrada por a
cuadrada a la cuarta sabe todo muy fácil
utilizando el teorema de la divergencia
vamos a un último ejemplo calculemos la
integral de flujo donde f es 2x menos
210 ac está cuadrada y ese es un
cilindro de altura h
con radio de base r
aunque eso ya lo vimos también en el
vídeo anterior
entonces la superficie es una superficie
sobre trozos y cerraba las derivadas
parciales de las entradas de f son
continuas en todo el retraso
salvo podemos utilizar el tema de la
divergencia vale entonces hay que
calcular la divergencia en mi campo
vectorial en este caso sería 2 - 2 + 12
está pues 12 está vale entonces la
integral de flujo
este sobre mi superficie es igual a la
triple integral de los zetas sobre mi
volumen n
recuerden que tengo que es una base de
como de un cilindro mi base circular en
las primeras dos y las dos integrales me
representan el área de mi base de mi
cilindro y la tercera vale la tapita
inferior a la tapita superior de mi si
le sale la primera integral con respecto
a x según a integrar con respecto a la
tercera y tiene con respecto a z que me
representa en mi superficie sale esta
pista inferior a la cápita superior
talentos me quedan la evaluación de seta
cuadrada que es h cuadrada vale tengo
que esto me representa el área de mi
base circular que spears por radio por
chicos no estuvo tan complicado al final
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