3.5. Integral de Flujo
Summary
TLDREl script proporciona una descripción detallada de conceptos matemáticos avanzados, particularmente en relación con las superficies orientables y el cálculo de la integral de flujo a través de estas. Se discuten las propiedades de las superficies, como la existencia de un vector normal continuo, y se ofrece un ejemplo práctico de una banda móvil para ilustrar la no-orientabilidad. A continuación, se explora la parametrización de superficies y la importancia de los vectores normales unitarios exteriores, junto con su cálculo a través del producto vectorial fundamental y el determinante de la matriz jacobiana. Seguidamente, se calcula la integral de flujo para varios campos escalares y vectoriales a través de superficies compuestas por diferentes trozos, como parabólicas y superficies planas, utilizando técnicas de integración en coordenadas polares y rectangulares. Finalmente, se presentan ejemplos de cálculo de la integral de flujo para un cubo y un cilindro, destacando la importancia de la elección adecuada del vector normal y la parametrización de la superficie. El script es una guía metódica para estudiantes avanzados de matemáticas que buscan comprender y aplicar el cálculo de la integral de flujo en diferentes geometrías.
Takeaways
- 📚 La definición de superficie orientable se basa en la existencia de un vector normal que varía continuamente sobre la superficie.
- 📏 Se menciona un ejemplo de una superficie no orientable, la banda de Möbius, donde un vector normal no puede definirse de manera continua.
- 🧵 El vector normal unitario a una superficie se obtiene a través del producto vectorial fundamental dividido por su norma.
- 📈 Los vectores normales exteriores a una superficie se determinan por el orden de las derivadas parciales en el producto vectorial fundamental.
- 🔍 Para verificar si un vector es normal exterior, se evalúa en un punto y se observa su dirección en relación con la superficie.
- 🌀 La integral del flujo de un campo a través de una superficie se calcula como una integral de superficie, lo que ayuda a determinar el volumen de fluido que atraviesa la superficie por unidad de tiempo.
- 📐 Se discuten diferentes parametrizaciones para superficies a trozos, como parabóloydes y superficies obtenidas a partir de funciones definidas en regiones rectangulares.
- 🧮 Se destaca la importancia del cálculo del producto vectorial fundamental y su determinante para obtener el vector normal en diferentes parametrizaciones.
- 📝 Se presentan ejemplos de cálculo de la integral de flujo para superficies como paraboloides, cilindros y cubos, incluyendo el cálculo de áreas y la integración sobre regiones rectangulares.
- 🔢 Se abordan técnicas para manejar integrales de flujo en superficies con múltiples trozos, como cubiertas de cubos y cilindros, y se muestra cómo se suman los resultados para obtener la integral total.
- 📉 En el análisis de los ejemplos, se destaca que la integral de flujo a menudo se resuelve como cero en las caras de los sólidos, con excepciones donde se calcula un valor específico.
Q & A
¿Qué es una superficie orientable?
-Una superficie orientable es una superficie suave que puede ser a trozos, en la que se puede definir un vector normal en todos sus puntos de tal manera que los vectores normales varían continuamente sobre la superficie.
¿Cómo se define el vector normal unitario a una superficie en un punto dado?
-El vector normal unitario a una superficie en un punto dado se define como el producto vectorial entre las derivadas parciales de la parametrización de la superficie y se normaliza dividiéndolo entre su norma.
¿Cómo se determina si un vector normal es exterior o interior a una superficie?
-Para determinar si un vector normal es exterior o interior, se evalúa el producto vectorial entre el vector normal y las derivadas parciales de la parametrización de la superficie. Si el resultado apunta hacia afuera, es un vector normal exterior.
¿Qué es la integral de flujo y cómo se calcula?
-La integral de flujo es una medida del volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Se calcula como la integral de superficie del producto punto entre el campo vectorial y el vector normal unitario exterior a la superficie.
¿Cómo se parametriza una superficie para calcular su integral de flujo?
-Para calcular la integral de flujo, se parametriza la superficie con una función vectorial definida sobre una región del espacio. Este parametrizado se utiliza para definir el dominio de integración y para calcular las derivadas parciales necesarias.
¿Cómo se determina el dominio de integración para una parametrización de superficie?
-El dominio de integración se determina por el rango de los parámetros de la parametrización. Por ejemplo, si la parametrización incluye un parámetro que varía de 0 a 2, el dominio de integración corresponderá a ese rango.
¿Por qué se considera que la superficie es orientable en los cálculos?
-Se considera que la superficie es orientable porque la orientación es crucial para definir el sentido en que varía el vector normal y, por ende, para calcular correctamente la integral de flujo.
¿Cómo se calcula el producto vectorial fundamental para una parametrización de superficie?
-El producto vectorial fundamental se calcula tomando las derivadas parciales de la parametrización con respecto a cada uno de los parámetros y formando un determinante con estos vectores y los vectores canónicos.
¿Cómo se evalúa si un vector normal es exterior en un punto específico de la superficie?
-Se evalúa en un punto específico de la superficie y se observa la dirección del vector normal en ese punto. Si el vector apunta hacia afuera del volumen que contiene la superficie, entonces es un vector normal exterior.
¿Cuál es la importancia de la integral de flujo en física y matemáticas?
-La integral de flujo es importante en física y matemáticas porque describe la cantidad de un campo (como el flujo de un líquido o el campo eléctrico) que cruza una superficie en un punto dado, lo que es fundamental en la formulación y resolución de problemas en física y en la comprensión de conceptos en matemáticas.
¿Cómo se calcula la integral de flujo sobre una superficie compuesta por varias regiones?
-Se calcula la integral de flujo sobre cada una de las regiones de la superficie por separado y luego se suman los resultados. Cada región puede requerir un tratamiento diferente en términos de parametrización y orientación.
Outlines
😀 Definición de superficie orientable y ejemplo
Se define una superficie orientable como una superficie suave en la que se puede definir un vector normal en cada punto de la superficie, de manera que los vectores normales varían continuamente sobre ella. Se utiliza el ejemplo de la banda móvil para ilustrar una superficie no orientable, donde el vector normal no puede definirse de manera continua al ser llevado alrededor de la banda.
📐 Parametrización de superficies y cálculo del producto vectorial fundamental
Se discute la parametrización de superficies y cómo se puede obtener una parametrización para una superficie dada. Se calcula el producto vectorial fundamental para una superficie parametrizada, que es esencial para el cálculo del vector normal unitario. Se enfatiza la importancia de la parametrización en el dominio rectangular para facilitar los cálculos.
🧮 Cálculo de la integral de flujo a través de superficies
Se explica que la integral de flujo determina el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo. Se calcula la integral de flujo para un campo vectorial dado sobre una superficie a trozos, utilizando la parametrización de la superficie y el producto punto entre el campo y el vector normal unitario. Se presentan ejemplos específicos de cálculo, incluyendo el caso de una superficie dada por la unión de un paráboloide y una tapa plana.
🔄 Determinación de vectores normales exteriores e integral de flujo sobre un cubo
Se describe cómo se determina si un vector normal es exterior o interior a una superficie, y se calcula la integral de flujo sobre las seis caras de un cubo. Se utilizan diferentes parametrizaciones para cada una de las caras del cubo y se evalúa el vector normal unitario en puntos clave para determinar su orientación. Se presentan los resultados de las integrales de flujo para cada una de las superficies del cubo.
📏 Cálculo de la integral de flujo sobre un cilindro y sus tapitas
Se aborda el cálculo de la integral de flujo para un cilindro y sus tapitas superior e inferior. Se proporcionan las parametrizaciones para el cilindro y se calculan las derivadas parciales necesarias para obtener el producto vectorial fundamental. Se evalúa si el vector normal es exterior y se calculan las integrales de flujo sobre las diferentes partes del cilindro, mostrando que algunas integrales dan cero y otras no.
🔢 Cálculo de la integral de flujo para diferentes superficies y campos vectoriales
Se presentan varios ejemplos de cálculo de la integral de flujo para superficies parametrizadas y campos vectoriales específicos. Se describe el proceso de cálculo, incluyendo la determinación de dominios rectangulares, la evaluación de vectores normales, y el cálculo del producto punto entre el campo vectorial y el vector normal. Se muestra que la integral de flujo puede ser cero o un valor constante multiplicado por el área de la región de parametrización.
🔍 Análisis de la integral de flujo sobre diferentes secciones de un cilindro
Se examina la integral de flujo sobre las secciones superior e inferior del cilindro, así como sobre la superficie lateral. Se utiliza una parametrización para la tapa superior del cilindro y se calcula la integral de flujo, que resulta en un valor proporcional al área de la región de parametrización. Se repiten los cálculos para la tapa inferior y la superficie lateral, obteniendo resultados similares.
Mindmap
Keywords
💡Superficie suave
💡Superficie orientable
💡Vector normal
💡Producto vectorial
💡Campo escalar/vectorial
💡Integral de flujo
💡Parametrización de superficies
💡Producto punto
💡Derivada parcial
💡Superficie a trozos
💡Determinante
Highlights
Definición de superficie suave y orientable: Una superficie es considerada suave si un vector normal puede definirse en todos sus puntos de manera continua.
Ejemplo de superficie no orientable: La banda de móvil, donde el vector normal no puede variar continuamente al ser movido alrededor de la superficie.
Introducción a la parametrización de superficies: Se discute cómo parametrizar una superficie suave a trozos mediante una función vectorial.
Importancia del vector normal unitario: Se destaca la relevancia de encontrar un vector normal unitario a la superficie en un punto dado.
Método para determinar si un vector normal es exterior o interior: Se describe el uso del producto vectorial fundamental para definir la orientación del vector normal.
Cálculo del flujo de un campo a través de una superficie: Se explica cómo calcular la integral de flujo para determinar el volumen de fluido que atraviesa una superficie por unidad de tiempo.
Ejemplo de cálculo de integral de flujo para una superficie a trozos: Se muestra el proceso de cálculo para una superficie compuesta por un paráboloide y una tapa plana.
Selección de la parametrización más adecuada: Se destaca la importancia de elegir la parametrización que tenga el dominio más fácil de manejar para los cálculos.
Cálculo del producto vectorial fundamental: Se detalla el proceso para calcular el determinante que representa el producto vectorial fundamental.
Comprobación de la orientación del vector normal: Se instruye al espectador para verificar si el vector normal es exterior o interior evaluando en un punto específico.
Proceso de composición del campo con la parametrización de la superficie: Se describe cómo combinar el campo vectorial con la parametrización de la superficie para el cálculo de la integral de flujo.
Cálculo de la integral de flujo para un cubo: Se muestra cómo calcular la integral de flujo para las seis caras de un cubo, considerando cada una como una superficie a trozos.
Ejemplo de integral de flujo en un cilindro: Se calcula la integral de flujo para un cilindro considerando la tapa superior, el cuerpo del cilindro y la tapa inferior como superficies separadas.
Importancia de la región rectangular omega en los cálculos de integral de flujo: Se resalta el papel de la región omega en el cálculo de las integrales de superficie.
Diferencia entre las integrales de flujo para superficies paralelas y perpendiculares al campo: Se discute cómo la orientación de las superficies afecta el resultado de la integral de flujo.
Simplificación de cálculos mediante el uso de propiedades de campos y superficies: Se muestra cómo se pueden simplificar cálculos utilizando conocimientos previos sobre las propiedades del campo y la superficie.
Conclusiones finales: Se resalta que el cálculo de la integral de flujo no es tan complicado y se puede realizar siguiendo los pasos adecuados.
Transcripts
[Música]
[Aplausos]
[Música]
hola chicos vamos ahora integral de
flujo comencemos con una definición sea
s una superficie suave puede ser a
trozos decimos que es una superficie
orientable si un vector normal puede
definirse en todos puntos de s de tal
forma que los vectores normales varían
continuamente sobre la superficie aquí
vamos a dar una un ejemplo de una
superficie en orientable la banda de
móvil si yo me agarró un vector un
vector normal a la superficie y la hago
variada si ustedes empiezan a mover el
vector les va a salir que está en el
otro lado contra saleh no le no puede
definirse se fija no puede definir su
puesto normal a la superficie a me lo
hacen variar continuamente y aparece en
el otro lado vale entonces son pocos los
ejemplos de superficies orientables y
siempre vamos a considerar que la
superficie es orientables
todas las que hemos visto en los vídeos
anteriores son superficiario y tags o
sea es una superficie suave puede ser a
trozos y el parametrizar por una función
vectorial definida sobre una región o
media de r2 vamos a derrotar por en el
gorrito al al vector normal unitario
dado por el producto victoria
fundamental vale tengo el producto
auditorio fundamental y lo que hago es
dividirlo sobre su norma y
automáticamente obtengo un vector
unitario un vector normal unitario a la
superficie en el punto gamma drs estamos
interesados en los vectores normales
exteriores a la superficie s el vector
normal el vector dado por el producto
vectorial fundamental me define un
vector normal pero no sabemos si es
exterior interior si resulta que este
este vector de dado así en este orden
derivado parcial de gamma con respecto
de re producto
cruz de la deriva parcial de gamma con
respecto a s resulta que es un vector de
esta forma antes de multiplicarlo por
menos obtengo un vector normal exterior
que por la propiedad del producto cruz
es invertir baja el orden de este
producto cruz es decir sería la deriva
parcial de gamma con respecto a ese
producto cruz derivada parcial de gamma
con respecto a vale entonces si n es
normal exterior o bien
- n gorrito es un invento normal
exterior
entonces si hay una superficie rentable
por un vector normal unitario exterior
en el bonito este superficie quiero que
sea suave de ser a trozos y
parametrizado por gamma
y voy a considerar mnp tres campos
escalares definidos en mi superficie ese
y cuyas derivadas parciales existen y
son continuas sobre mi superficie si mi
campo becks y jefe de estado por el pnp
es un campo vectorial entonces la
integral del flujo de mi campo
victoria-la a través de mi superficie
estado por está integrando aquí sería la
composición de f con gamma producto
punto
[Música]
el producto vectorial fundamental esta
integral está sobre omega y en la
anotación que vamos a utilizar es este
producto en punto de mi método normal
exterior sale es una integral de
superficie al final si se dan cuenta ok
entonces la integral de flujo va a
determinar el volumen del fluido que
atraviesa la superficie s por unidad de
tiempo la integral de flujo es un
integral de superficie como les había
dicho vale entonces también como comenté
en un punto anterior la integral del
flujo determina el volumen del fluido
que atraviesa la superficie s
vamos a ver un ejemplo vamos a calcular
la integral del flujo de f dado por x y
z y esa es una superficie a trozos por
s1s2 donde ese uno es el paraboloides
dado por 7 igual a 4 - x cuadra menos y
cuadrada y s2 es la tapita que se
obtiene al
hacer 70 sale y lo tengo
bueno entonces quiero calcular la
integral de flujo sobre esta superficie
cerrada entonces primero comencemos con
ese 1
entonces con ese honor yo quiero dar una
parametrización yo no puedo ver como la
gráfica de un campo escalar entonces una
parametrización puede ser de la forma rs
frs cierto pero mi dominio de mi
parametrización sería el dominio de mi
campo escalar que sería un disco cierto
de radio 2 bueno pero qué pasa si yo lo
paramétrico de esta forma
si yo en la tercera coordenada en el
parametrización la veo como ese y es el
varía de 0 a 4 que sería tomar una
altura sobre mí paraboloide y hago un
corte transversal 2 murcia 2 y un corte
transversal obtengo circunferencias
circunferencias de que radio 2 y si hace
tal bagua igual a ese vale entonces
tendría yo lo de la forma x cuadrada
magic cuadrada igual a 4 - s los estén
de ellos circunferencias de radio raíz
cuadrada de 4 - s vale entonces una
parametrización sería raíz cuadrada de
450 de raíz cuadrada de 4 - s seno de r
y s sale se le fija una altura y las
otras dos coordenadas bien parametrizar
la circunferencia de radio la raíz
cuadrada en 4 - s sale nada más que
ahora tengo un dominio rectangular ese
va de 0 a 4 y erraba de 0 2
vale entonces cuál de los dos voy a
considerar pues obviamente voy a
considerar la que la de que tenga
dominio más fácil
es cierto que sería un rectángulo debe
considerar la segunda parametrización
bueno entonces que hacer por estamos
calcular el producto victoria
fundamental de nivel salga bajo respecto
a ere y derivó salga más con respecto es
entonces con respecto a ere raíz
cuadrada de 4 - es es constante en la
deriva de cosenos menos seno aquí lo
tengo la derivada de s nos conocemos y
la tercera coordinador no depende de r
pues es cero y con respecto a s jose no
sé no son funciones constantes ni es
deriva raíz cuadrada de 4 - s pero es
muy fácil cierto es un medio sobre raíz
cuadrada y 4 - s por menos una salida
nada más la multiplicó por las
constantes y la tercera coordenada hacer
la derivada de ese correspectiva s pues
es 12 el producto vectorial fundamental
estado por el terminante de esta matriz
vale entonces primera fila son los
vectores canónicos en la ratería segunda
fila son los las entradas de mi derivada
parcial de gamma con respecto a r y la
tercera fila son las entradas de la
derivada parcial de gamma con respecto
quiero que pongan pausa el vídeo y que
me calculen este determinante
quiero que verifiquen que el
determinante estado por raíz cuadrada de
400 de r raíz cuadrada de 4 - r
aquí se es el perdón chicos ese seno de
r un medio sale aquí pues este pongan
ese por favor
bueno entonces lo voy a poner yo para
que no haya aquí sería entonces ese ale
entonces el vector ahora la pregunta ya
tengo mi vector normal pero será
exterior interior como sé que el vector
es exterior como saber no basta con
evaluando en un punto en el entonces
como lo hago como hago para que para ver
si es exterior fíjense si hago es igual
a 4 pero tengo el punto 0 0 un medio
tales tendría y el vector 00 medio que
apunta hacia arriba entonces es un
vector normal el exterior sale entonces
en este orden del producto 20 lo
fundamental me define un metro normal
exterior ok le falta componer vale donde
vea una equis voy a poner raíz cuadrada
de 4 menos el 50 de r donde había una
llevo ya poner raíz cuadrada de 4 - ese
seno de heridos debía una zeta
voy a poner es justo ni composición no
va a dar la parametrización de mi
superficie ok y el producto punto
pues fíjense sería primera coordenada
por primera coordenada vale segunda
coordenada por segunda coordenada y
tercera coordenada porter sea coordenada
y verifique que el producto punto les da
4 - s cuerda de es muy fácil cierto
bueno entonces la integral de flujo
estado por el producto punto
él nos dio 4 - s medios sobre omega y
omega es un dominio rectangular vale que
sería la integral de 0 a 4 con respecto
a ese ente general de ser a 2 pi con
respecto a r de 4
s - recuerden esto es por zubin no
depende de r entonces tengo dos pig
integral de 4 de 0 a 4 de 4 - s medios y
quiero que verifiquen que al final les
tiene que dar 24 y sal es muy fácil de
calcular de esta integral bueno vamos
con respecto a ese 2 entonces es la
tapita trabajo como parámetro pues
fíjense yo lo puedo perder la forma
r ese 0 o sea es decir dado por mi plano
7 igual a 0
solamente que recortarlos circularmente
mi dominio sería un disco de radio 2 ok
pero también puedo dar otro tipo de
parametrización fíjense de la forma s
coseno de r ese seno de r 0
halle esa idea de 0 a 2 y el 0 2 está
para mí utilizando circunferencias saleh
y voy variando los radios hasta
ajustarlo a radio igualados también voy
llenando este disco con circunferencias
tales y sin fijar nada más que ahora mi
dominio es rectangular ya que es un
dominio es un disco bueno entonces vamos
a considerar la segunda que es más fácil
y que hay que hacer calcular el producto
vectorial fundamental vale entonces la
derivada parcial de gamma con respecto a
r sería menos ese seno de erc es eco se
modere 0 sale y con respecto a ese
tendría que ser 9 r se modere se sale el
producto victoria fundamental es el
determinante de la siguiente matriz ya
saben que primera fila son los vectores
canónicos entre 3 segunda fila son dos
las entradas de la derivada parcial de
gamma con respecto a efe y la tercera
fila son son los elementos son las
coordenadas de la derivada parcial de
gamma con respecto a veces ale quiero
que verifique y quiero que pongan pagos
y verifiquen
que el determinante estado por el vector
00 - s
sale y se fijan este este vector apunta
hacia abajo sale pero como está dada mi
superficie es un vector exterior vale
aquí lo pregunta vale entonces
automáticamente ese exterior bueno
entonces calculemos la composición sales
donde vea una equis pongo ese coseno de
r donde una y ponemos es el moderno y
donde vean una zeta pongo cero
vale entonces recuerden como está dado
el campo victorial la composición es mi
parametrización en el producto punto
sale de la composición con el producto
victoria fundamental pues me da cero
cierto entonces la integral de flujo me
da cero sobre la capital vale por lo
tanto la integral de flujo sobre mi
superficie al final es lo que me da
sobre él el paraboloide que es 24 para
darle chicos no están nada complicado
veamos ahora otro ejemplo calculemos la
integral de flujo df de 2 x x - jay z
cuadrado donde s está dado por un cubo
que es el cubo generado por los planos x
igual a igual a 0 igual a igual a 0 70
igualdad set igual a cero
vale voy a llamar a ese 1 la tapita de
arriba ese 2 la de abajo ese 3 la tapita
que está cuando 10 igual a 1s 4 cuando y
es igual a cero ese 5 cuando x es
igualar a esa no 1
halle en quart 16 la de la de atrás que
es cuando x es igual a 0 saleh chicos
tengo 6 superficies ahora bueno entonces
una parametrización para la superficie
s1 recuerden que es la tapita pensado
por r s me voy a considerar el plan
docente igual a y lo voy a recordar vale
como lo estoy viendo como
como una super como la gráfica de un
campo escalar tal entonces de la forma
rsf de rc pero mi plan no es 7 igual a
aquí está entonces su dominio es la
sombra que proyecta el plano que es un
cuadrado él está muy fácil ok
fíjense yo que requiere un vector
exterior como es un plano muy fácil dar
un vector exterior unitario que vector
sería un vector que apunte hacia arriba
pues sería el vector 001 tal es mi
composición donde vea una equis pongo r
donde vea una y pongo es y donde vea una
zeta pongo a sale aquí tengo una
composición y producto punto tengo que
reponerme
perdón sería 0 por 0 0 por menos s 0 y 1
x al cuadrado a cuadrado entonces por lo
tanto una integral de flujo sobre ese 1
es la integral de la cuadrada sobre
media que es un cuadrado vale es
constante es esa cuadrado por el área de
omega el área de medias cuadrada tengo
la cuarta y así lo hacemos con todas las
clases t
con todos los datos del cubo sale chicos
para ese 2 que sería la tapita de abajo
sería entonces 7 igual a 0 y hacemos
exactamente lo mismo un vector exterior
de su vector que apunte hacia abajo 0 0
- 1 una composición es de la forma como
al menos 60 y el producto punto tengo
cero por cero por menos 60 por menos 1 y
al final la integral del flujo me da
cero ahora con respecto a ese 3
recuerden es cuando el yen se iguala a
ok entonces igual mi dominio no cambia
porque es la proyección cierto ahora un
vector normal un serial o de la forma
010 es cierto la composición r - a ese
cuadrado y producto punto tengo cero por
r 1 x menos a y 0 por ese cuadrado me
queda menos a esto es la integral de
influjo sobre ese 3 es sobre ese 3
perdón es menos a sobre omega entonces
es menos a por el área la omega
entonces tengo menos a kubica para ese 4
es cuando lee es igual a cero al
exactamente lo mismo ahora un vector
normal exterior sería cero menos 10 sale
la composición de la r 0s cuadrada y el
producto puntos y se fija ver a cero
entonces la integral del flujo sobre ese
4 pues vendrá 0 sale con respecto a ese
5 es cuando x vale
cierto es exactamente lo mismo mi sombra
que refleja es es el mismo rectángulo el
mismo cuadrado pero vale en este caso un
vector de un vector normal exterior
sería 100 la composición ahora es a
menos de ere s cuadrada producto punto a
por 1 - r por 0 s por 0 y nueva
entonces la integral de flujo sobre ese
5 s a
en la integral de asombro mega que sería
por la por el área de obligar al
cuadrado
ale ya teníamos un menos a kubica y se
cancela vale y finalmente con respecto a
la superficie ese 6 es cuando ex vale 0
entonces tengo que de parametrización es
de la forma 0 r ese sigue siendo aquí es
una contención sale es un punto que se
encuentra el nombre en el que bueno mi
dominio es el mismo es un cuadrado en
este caso un vector exteriores es de la
forma menos 100 sale la composición
adores de la forma 0
cr ese cuadrado producto punto se fija
es cero por lo tanto la integral del
flujo sobre ese 60 y la integral de
flujo sobre ese es el primero que nos
dio cierto a cuarta ok chicos no está
tan complicado determinar la integral de
flujo sobre cada una de las superficies
nada más que tuvimos que hacerlo seis
veces sale bueno un último ejemplo
calculemos lateral de flujo donde efe es
2 x como al menos 20 cuadradas
y ese es un cilindro con las tapitas
sale e ir al tour archi y tiene en este
caso una superficie a trozos estado por
ese uno el cilindro ese 2 su tapita
superior y s3 su tapiz inferior sale
ahora vamos a comenzar con ese uno
entonces un cilindro vale entonces vimos
que una parametrización es de la forma
erc o seno de r r seno de r s donde ere
va de 0 a 2 pi y ese va de 0 h vale
derivadas parciales de la presión de
gamma con respecto a ernest eres menos
se reestrenó de r r coseno de r 0 y la
derivada parcial de gamma con respecto a
ese 001 dale el producto mente era
fundamental es el determinante en la
matriz primera fila vectores canónicos
segunda fila los elementos de la
derivada parcial de gamma con respecto a
ere y tercera final los elementos de la
derivada parcial de gamma con respecto a
s
quiero que verifique que el producto
editorial fundamental
es el vector es reconocer no de chiquita
como reserva de chiquita 0 sale la
composición a cuando antes de eso quiero
saber si este vector es normal exterior
o no
pero si se fijan el vector
basta con de saberlo en un punto qué
pasa si eres igual a cero vale entonces
voy a tener
eres coseno de 0 r seno de 0000 y
cruzarnos de 0 es uno entonces tengo el
víctor r 0 0 es decir un vector que
apunta de este lado sale entonces un
vector exterior ok
bueno la composición donde vea yo una r
perdón donde yo vea una equis voy a
poner es recoger moderna donde veo una y
voy a poner
rc moderna y donde vieron acepta voy a
poner ese cierto entonces la convulsión
es algo de esta forma el producto punto
pues que sería sería éste por éste sale
aquí lo tengo este por éste aquí lo
tengo y éste por éste posee se sale por
lo tanto me integral del flujo sobre ese
1 es 12 r por la integral de coseno
cuadrado de r - en el cuadrado de ere
sobre omega donde omega es una riqueza
una región rectangular cierto bueno
vamos a calcular entonces la integral
que sería 212 reporta integral de 0 a 2
con respecto a r y de 0 h con respecto a
ese débil función cierto no depende de
ese entonces tengo dos r h por la
integral de será dos pírricos encuadrada
en menos 0 contra
eso los puedo calcular por formó en
general y a vivir podemos verificar que
al final integral api entonces tengo
menos sea tal entonces el integral de
flujo sobre ese 1 es igual a cero ok
vamos a considerar
a las superficies de 2 que es la tapita
de mi cilindro
la cápita superior de mi cilindro lo
puedo ver cómo se te iguala h
si hago un corte circular sale y ese va
a ser mi dominio entonces sería el
conjunto de parejas ordenadas tal vez
que x cuadrado más y cuadrados menor
igual de colorada sale sale si yo
considero que mi trámite es trabado por
la gráfica de un campo escalar
entonces hago sentido alarte y nada más
lo recortó y hacer el recorte es
considerar mi dominio circular salía un
disco bueno un vector normal entonces
fácil es un vector que apunte hacia
arriba observe sector 0 0 1 mi
composición sería algo de la forma 12 r
como al menos 2 s comm h cuadrado y el
producto punto simplemente h cuadrado
vale entonces la integral del flujo
sobre ese 2 es h cuadrado es la integral
de h cuadrados sobre mega archies
constante esto sería h cuadrado por el
área de omega y el área de omega 3
veamos ahora otro ejemplo calculemos la
integral del flujo de efe por x coma
menos y acepta cuadrado donde está dado
por un cubo que es el cubo generado por
los planos x iguala a ex igual a cero
igual a igual a cero set igual a ser
igual a cero saleh voy a llamar a ese
uno la capital de arriba ese 2 la de
abajo ese 3 la tapita que está cuando
hoy es igual a 1s 4 cuando y es igual a
cero ese 5 cuando x es igualar a esa no
1
halle y quart 16 la de la de atrás que
es cuando x es igual a 0 shane chicos
tengo 6 superficies ahora bueno entonces
una para reutilización para la
superficie s 1 recuerden que es la
tapita de sábado por ere s me voy a
considerar el plan docente igual a y lo
voy a recortar sale como lo estoy viendo
como
como una super como la gráfica de un
campo escalar al entonces de la forma
rsf de rc pero mi plano es 7 igual a
aquí está entonces su dominio es la
sombra que proyectó el plano que es un
es un cuadrado tal está muy fácil ok
fíjense yo que requiere un vector
exterior como es un plano es muy fácil
dar un vector exterior unitario que
vector sería un vector qué.es arriba
pues sería el vector 001 tal es mi
composición donde vea una equis pongo r
donde vea una ye pongo es ahí donde vea
una zeta pongo a saleh aquí tengo la
composición y producto punto tengo que
reponerme
perdón sería 0 x 0 0 x menos s 0 y 1 por
a cuadrado a cuadrado entonces por lo
tanto una integral de flujo sobre ese 1
es la integral de la cuadrada sobre
media que es un cuadrado sale es
constante ese cuadrado por el área de
omega el área es cuadrada tengo la
cuarta y así lo hacemos con todas las
clases t
con todos los datos del cubo sale chicos
para ese 2 que sería la capital abajo
sería entonces 7 igual a 0 y hacemos
exactamente lo mismo un vector exterior
víctor repunte hacia abajo 0 0 - 1 una
composición es de la forma r - s 0 y el
producto punto tengo cero por el 0 por
menos 60 por menos uno y al final la
integral de flujo me da cero ahora con
respecto a ese 3 recuerden es cuando el
yen se iguala a ok entonces igual ni
dominio no cambia porque es la
proyección cierto
ahora un vector normal no sería algo de
la forma 010 cierto la composición r - a
ese cuadrado y producto punto tengo cero
por r 1 x menos a 0 por s cuadrada me
queda menos a esto es literal de influjo
sobre ese 3 es sobre ese 3 perdón es
menos a sobra omega entonces es menos a
por el área de omega esa cuadrada
entonces tengo menos a kubica para ese 4
es cuando el 10 igual a cero sale
exactamente lo mismo ahora aumento
normal exterior sería cero menos 10 sale
la composición me da r 0 11 cuadrada y
el producto puntos y se fija del acero
entonces la integral de flujo sobre ese
4 pues me tercero sale con respecto a
ese 5 es cuando equivale a cierto éste
se permite lo mismo mi sombra que
refleja es es el mismo rectángulo el
mismo cuadrado pero vale en este caso
mejor
un vector normal exterior sería
100 la composición ahora es a menos de
ere s cuadrada producto punto por 1 - r
por 0 s por salir me da a entonces la
integral de flujo sobre ese 5 es a en la
integral de asombro mega que sería a por
la por el área de omega que está
cuadrada a kubica sale ya teníamos un
menos a kubica y se cancela vale y
finalmente con respecto a la superficie
s 6 es cuando ex vale 0 entonces tengo
que me parametrizaciones de la forma 0 r
ese sigue siendo aquí son una contención
que sale es un punto que se encuentra el
nombre aquí bueno mi dominio es el mismo
es un cuadrado en este caso un vector
exteriores es de la forma menos 100 sale
la composición ahora es de la forma 0 cr
ese cuadrado producto punto se fija es 0
por lo tanto la integral del flujo sobre
s 60 y la integral de flujo sobre ese es
el primero que nos dio cierto a cuarta
ok chicos no está tan complicado
determinar la integral de flujo sobre
cada una de las superficies nada más que
tuvimos que hacerlo seis veces sale
bueno un último ejemplo
calculemos la integral de flujo donde
efe es 2 x como al menos 25 maceta
cuadrada y ese es un cilindro con las
tapitas sale en altura h y tiene desde
acá es una superficie a trozos dado por
s 1 el cilindro s 2 su tapita superior y
ese 3 su súper pitt inferior sale bueno
ahora vamos a comenzar con ese 1
entonces un cilindro vale entonces vimos
que una parametrización es de la forma
r coseno de r
seno de r s donde r va de 0 a 2 pi y ese
va de 0 h vale derivadas parciales
deriva parcial de gamma con respecto a r
es r - rc no de r r coseno de r 0 y la
derivada parcial de gama de con respecto
a ese 001 sale el producto mentora
fundamental es el determinante de la
matriz primera fila vectores canónicos
segunda fila los elementos de la
derivada parcial de gamma con respecto a
r y tercera afín a los elementos de la
derivada parcial de gama con respecto a
s
quiero que verifiquen que el producto
vectorial fundamental es el vector r
coser moderna chiquita como reserva de
chiquita se sabe la composición agua lo
antes de eso quiero saber si este vector
es normal exterior o no
pero si se fijan el vector
basta con de saberlo en un punto qué
pasa si eres igual a cero vale entonces
voy a tener
a riesgo seno de 0 r s 90 000 y cosenos
de cero entonces tengo el vector r 0 0
es decir un vector que apunta de este
lado sale entonces un vector exterior ok
bueno la composición donde vea yo una r
perdón donde yo vea una equis voy a
poner r cosas modernas donde veo que voy
a poner
rc moderna y donde vieron acepta voy a
poner ese cierto entonces la confusión
es algo de esta forma el producto punto
pues que sería sería éste por éste sale
aquí lo tengo este por éste aquí lo
tengo y éste por este proceso
vale por lo tanto la integral del flujo
sobre ese uno es 12 r por la integral de
coser no podrá ver - seno cuadrado de
ere sobre omega donde obliga es una
región una región rectangular cierto
bueno vamos a calcular entonces la
integral que sería 212 ere por la
integral de 0 2 con respecto a r&b 0 h
con respecto a ese de mi función cierto
no depende de ese entonces tengo 2
rh por la integral de será dos pírricos
encuadrada en menos el control
vale eso los puedo calcular por formó en
general y ahí podemos verificar que al
final integral api entonces tengo menos
sea tal entonces la integral de flujo
sobre ese 1 es igual a cero
ok vamos a considerar
a las superficies de 2 que es la tapita
de misil y menos la cápita superior de
mi cilindro no puedo ver cómo se te
iguala h y donde rs nada malo recortó y
hacer el recorte es considerar mi
dominio circular sale un disco bueno un
vector normal entonces fácil es un
vector que apunte hacia arriba observe
sector 0 0 1 mi composición sería algo
de la forma 12 r como al menos 2 s comm
h cuadrado y el producto punto
simplemente h cuadrado vale entonces la
integral del flujo sobre ese 2 es h
cuadrado es la integral de h cuadradas
sobre mega anchas constante esto sería h
cuadrado por el área de omega por ti
vale vamos con ese 3 y hacemos
exactamente lo mismo ahora voy a
considerar sentí igual a cero sale un
vector no aparece lo enseñado en el
vector
001 la convulsión ahora es 12 r como a
menos 2020 halle y el producto puntos
pues es cero
entonces la integral de flujo sobre c 3
pues es cero
vale entonces y con respecto a ese 1 y a
ese 3 las integrales de flujo me dieron
0 y la integral de influjo sobre ese 22
medio h cuadrada por re cuadrada porque
el chico no sólo tan complicado al final
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