SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONES CON RADICALES - Ejercicio 1
Summary
TLDRThe script is a detailed tutorial on simplifying expressions involving square roots. It explains how to factorize numbers like 27, 75, and 48 into prime factors and simplify square roots accordingly. The process involves ensuring exponents are divisible by 2 for easy extraction from the square root. It also discusses how to handle terms inside the square root, emphasizing multiplication over addition or subtraction for successful simplification. The tutorial concludes with combining like radicals and canceling out common factors to obtain a simplified result.
Takeaways
- 🔢 The process starts by factoring the radicands (27, 75, and 48) into their prime factors.
- 📏 The goal is to rewrite the exponents in a way that makes them divisible by the root's index (in this case, 2).
- 🧮 The number 27 is factored into 3^3, and rewritten as 3^2 * 3 to ensure divisibility by 2.
- ✅ For 75, the prime factorization is 3 * 5^2. The 5^2 term is divisible by 2, making it easy to handle in the square root.
- ⚖️ For 48, the prime factorization is 2^4 * 3. The 2^4 term can be extracted from the square root since 4 is divisible by 2.
- ↔️ The terms that are divisible by 2 (such as 3^2, 5^2, and 2^4) can be simplified outside the square roots.
- 🧩 Similar to combining like terms in algebra, 'radicales semejantes' (like radicals) can be added together.
- 🧮 After combining, the numerator becomes 8√3, and the denominator simplifies to 4√3.
- ✂️ Since √3 is present in both the numerator and denominator, it can be canceled out, leaving 8/4.
- 🏁 The final simplified result of the entire expression is 2.
Q & A
What is the first step in simplifying the given expression?
-The first step is to decompose each radicand into prime factors.
How is the number 27 decomposed in terms of prime factors?
-27 is decomposed as 3^3 since 3^3 = 27.
Why is it important to have exponents divisible by 2 when dealing with square roots?
-Exponents divisible by 2 allow the expression inside the square root to be simplified, as they can be taken out of the root.
What is done to the exponent of 3 in the number 27 to make it divisible by 2?
-The exponent of 3 is decomposed into 3^2 * 3^1 to ensure that the exponent is divisible by 2.
How is the expression for 75 simplified in terms of prime factors?
-75 is decomposed into 3 * 5^2 after recognizing that 75 = 3 * 5^2.
What is the significance of the exponent being 2 in the term 5^2?
-The exponent 2 is significant because it is divisible by 2, allowing the term to be simplified when taking the square root.
How is the number 48 decomposed into prime factors?
-48 is decomposed into 2^4 * 3 because 48 = 2^4 * 3.
Why can't the term with an exponent of 1 (like 3^1) be taken out of the square root?
-A term with an exponent of 1 cannot be taken out of the square root because 1 is not divisible by 2.
What is the concept of 'like radicals' or 'radicand semejantes' mentioned in the script?
-Like radicals or 'radicand semejantes' refer to terms under the same radical that can be combined, similar to like terms in algebra.
How are the terms under the square root combined in the simplified expression?
-The terms under the square root are combined by adding the coefficients, similar to combining like terms in algebra.
What is the final result of the simplified expression according to the script?
-The final result of the simplified expression is 2.
Outlines
📚 Simplifying Radical Expressions
This paragraph discusses the process of simplifying radical expressions by factoring out prime factors from the radicands. The speaker begins by taking the example of simplifying the square root of 27, 75, and 48. They explain that 27 can be factored into 3^3, and thus the square root of 27 can be simplified to 3 times the square root of 3. The speaker emphasizes the importance of ensuring that the exponents inside the radical are divisible by 2, which allows for the terms to be taken out of the radical. They also discuss how to handle cases where the exponent is not divisible by 2, such as the square root of 75, by breaking down the exponent to ensure a number divisible by 2 is achieved. The paragraph concludes with the simplification of the square root of 48, which is factored into prime factors and simplified to 2^4 times the square root of 3.
🔢 Combining Like Radicals
The second paragraph focuses on combining like radicals, which are terms that have the same radicand. The speaker uses the analogy of combining like terms in algebra, such as 3x + 5x = 8x, to explain that 3 times the square root of 3 plus 5 times the square root of 3 equals 8 times the square root of 3. They refer to these terms as 'like radicals' and explain that they can be combined because they have the same radicand. The speaker then applies this concept to the denominator, simplifying the square root of 4 to 2, and notes that the like radicals can be canceled out since they appear in both the numerator and the denominator. The final result of the operation is given as 2, showcasing the simplification process for expressions involving like radicals.
Mindmap
Keywords
💡Simplification
💡Prime Factors
💡Square Root
💡Exponents
💡Divisibility
💡Numerators and Denominators
💡Radicals
💡Like Radicals
💡Multiplication
💡Division
💡Cancellation
Highlights
Start by decomposing each radicand (27, 75, and 48) into prime factors.
27 is decomposed as 3^3, but to simplify, express it as 3^2 * 3 to make the exponent divisible by 2.
For a square root, exponents inside the radical need to be divisible by the index (in this case, 2).
Simplify √27 as √(3^2 * 3), allowing 3^2 to exit the radical as 3.
75 is decomposed into 3^1 * 5^2, where 5^2 can be simplified to 5 outside the radical.
48 is decomposed as 2^4 * 3, and 2^4 can exit the radical as 2^2 = 4.
Only terms with exponents divisible by 2 can exit the radical, the rest remain inside.
The first root (√27) simplifies to 3√3.
The second root (√75) simplifies to 5√3.
The third root (√48) simplifies to 4√3.
Combine like radicals (terms with √3), just like combining like terms in algebra.
3√3 + 5√3 simplifies to 8√3.
In the denominator, √48 simplifies to 4√3, which allows cancellation of the common factor √3.
After canceling the radicals, simplify the fraction 8/4 to get the final result of 2.
The final result of the operation is 2.
Transcripts
vamos a simplificar esta expresión para
empezar vamos a descomponer en factores
primos cada uno de los radicando es
decir 27 75 y 48 veamos 27 le podemos
sacar tercera nos da 9 tercera el 93
tercera de 3 es 1 es decir 27 va a ser
igual a 3 a la 3
aquí podemos ir organizando algo
que nos va a favorecer para los pasos
siguientes y es lo siguiente como
nuestra raíz tiene índice todos es una
raíz cuadrada nos conviene que los
exponentes que obtengamos adentro sean
números divisibles por 2 para que
podamos aplicar esta propiedad
eso es igual a equis a la m sobre n es
decir para que en la radicación puedan
salir cosas de la raíz se necesita que
este numerito que me queda acá dentro
sea divisible por el índice de la raíz
aquí apreciamos la división como en este
caso 3 no es divisible por 2 entonces lo
que hacemos es descomponer esta potencia
de tal forma que aseguremos un número
que sea divisible por 2 en este caso
buscamos el número más próximo a 3
obviamente interior a 3 que sea
divisible por 2 se trata de dos les
aseguramos el 2 y eso iría x 3 a la 1
porque debemos conservar esta potencia
es decir
la raíz cuadrada 27 la podemos escribir
como la raíz cuadrada de 3 al cuadrado
por 3
y ya tenemos la primera raíz organizada
más vamos ahora con el 75 vamos a hacer
un proceso similar vamos a descomponer
el 75 en factores primos podemos sacar
la tercera 225 aquí podemos sacar quinta
nos da 5 y la quinta de 5 es 12 si
multiplicamos esto lo podemos expresar
como 3 porcentual ahora veamos
en este caso tres que tiene exponente 1
pues no va a tener ninguna posibilidad
de salir de esa raíz porque uno es
inferior a 2 pero aquí 5 elevado a la 2
tenemos un exponente que sí va a ser
visible por este 2 luego
podemos dejarlo así como está aquí nos
conviene dejarlo
vamos al denominador tenemos la raíz
cuadrada de 48 vamos a descomponer 48
también en factores primos veamos
sacamos mitad 24 mitad de 24 es 12
instante 26
63 y sacamos tercera nos da uno
resumiendo esta multiplicación estos
factores nos quedarían 2 elevado a la 4
x
324 es un exponente que es divisible por
2 luego esta potencia nos conviene
dejarla así y 3 que está elevado a la 1
pues no va a tener ninguna posibilidad
de salir porque uno es inferior a 2 por
tanto por lo tanto la raíz cuadrada de
48 la expresamos como dos a la 4 x
bien vamos a sacar
de las raíces como decía ahorita todo
aquello que tenga posibilidad de salir
yo por ejemplo en el caso de la primera
raíz 3° lo podemos sacar como 3 a la 1
porque el 1 porque dos se divide entre
dos y no está uno
el otro 33 elevado a la 1 que es igual a
3 él se queda atrapado dentro de la raíz
él no tiene posibilidad de salir
entonces nos queda 3 raíz de 3
todo esto que estoy haciendo como yo
puedo sacar tranquilamente cosas de la
raíz ya que adentro tengo
multiplicaciones si por alguna razón yo
adentro tuviera sumas o restas yo no
puedo sacar lo que estoy haciendo lo
puedo sacar cosas de la raíz únicamente
si hay multiplicaciones adentro de la
red y yo puedo sacar las cantidades que
sean posibles veamos en el caso de hacer
una raíz 5 elevado a 2 puede salir
entonces saldría como 5 a 1
otra vez 2 entre 2 nos da 1 y este 3 se
queda dentro de la raíz ese no tiene
posibilidad de salir veamos esta revista
acá y dos que se encuentran habana 4
puede salir de la raíz veamos a adrián
como 2 elevado a la 4 vídeo entre 2 y 2
sabe como 2 grados
acompañado de la raíz de este 3 que no
puede salir
se queda atrapado dentro de la veamos
a continuación tenemos en el numerador
algo que se llama radicales semejantes
algo similar a lo que llena linera se
conoce como términos semejantes
recordemos que era libra por ejemplo si
tenemos 3x más 5 x eso nos da 8x aquí es
una situación similar tendremos 3 raíz
de 3 más 5 raíz de 3 eso nos va a dar
igual a 8 raíz de 3 ptos
es como si el raíz de 3 hiciera el papel
de la equis entonces aquí se llaman
términos semejantes acá se llaman
radicales semejantes entonces arriba nos
queda mucho
y veamos en el denominador que nos queda
resolvemos al cuadrado 4
3
como arriba 8 raíz de tres significa que
aquí en multiplicación y abajo también
cuatro ryder 3 significa que hay
multiplicación y estamos autorizados
para cancelar los 10 wright de 3 porque
es un factor que se encuentra repetido
arriba y abajo nos quedó simplemente 8
cuartos
y simplificando eso pues nos quedan dos
quiere decir que el resultado de esta
operación es igual a 2
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