Grafica de la función cosecante
Summary
TLDREl guion trata sobre cómo graficar la función cosecante, una trigonométrica que es el inverso de la función seno. Se utiliza la circunferencia unitaria concéntrica para dividir el plano cartesiano en cuatro cuadrantes y se explica cómo se comporta la cosecante en cada uno. Se detalla el proceso de dibujo paso a paso, destacando que la función cosecante es positiva en los primeros dos cuadrantes y negativa en los últimos dos, con valores que oscilan entre -1 y 1. El periodo de la función es de 360 grados y su amplitud, infinita.
Takeaways
- 📐 La función cosecante es el inverso de la función seno y se representa en la circunferencia unitaria concéntrica.
- 🔄 La circunferencia se divide en múltiplos de cuatro para alinear con los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.
- 🔢 Se dividen en ocho partes para obtener ángulos de 45 grados cada uno, que representan los arcos y ángulos utilizados para graficar.
- 📏 Se utiliza una recta tangente a la circunferencia y paralela al eje x para determinar los valores de la función cosecante.
- ⬆️ En los primeros y segundos cuadrantes, donde el seno es positivo, la cosecante también lo es.
- ⬇️ En los tercer y cuarto cuadrantes, donde el seno es negativo, la cosecante también es negativa.
- 🚫 La cosecante no está definida en los ángulos de 0 y 180 grados.
- 📈 Se grafica la función cosecante extendiendo los ángulos en la recta tangente y marcando los puntos correspondientes.
- 🔄 El período de la función cosecante es de 360 grados, y su amplitud varía desde -∞ a -1 y de 1 a ∞.
- 🔢 El valor de la cosecante en 45 grados se calcula como el inverso del seno de 45 grados, dando un resultado de √2/2.
Q & A
¿Qué función trigonométrica se discute en el guion?
-Se discute la función cosecante, que es el inverso de la función seno.
¿Cuál es la razón por la que se utiliza una circunferencia unitaria y concéntrica para graficar la cosecante?
-Se utiliza porque el centro de la circunferencia corresponde al punto de origen del plano cartesiano y su radio representa la unidad, facilitando la representación de los ángulos y sus correspondientes valores cosecante.
¿Por qué se divide la circunferencia en múltiplos de cuatro?
-Se divide en múltiplos de cuatro porque el plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes, y esto facilita la división en ocho partes, doce partes, dieciséis partes, etc.
¿Cuál es la longitud de cada arco si se divide la circunferencia en ocho partes?
-Si se divide en ocho partes, cada arco tendría una longitud de 45 grados.
¿Cómo se determina la recta tangente a la circunferencia para obtener la función cosecante?
-La recta tangente se determina por ser paralela al eje x y tangente a la circunferencia en un punto común, lo cual se utiliza para representar los valores cosecante en los primeros y segundos cuadrantes.
¿Cuál es la significación de que la función cosecante sea positiva en los primeros y segundos cuadrantes?
-Como la función seno es positiva en los primeros y segundos cuadrantes, y la cosecante es su inversa, también será positiva en esos cuadrantes.
¿Cómo se determina si la función cosecante es definida o indefinida para ciertos ángulos?
-La función cosecante es indefinida para los ángulos donde la recta tangente no intercepta la circunferencia, como ocurre en los ángulos de 0 grados y 180 grados.
¿Cuál es el valor de la cosecante en 45 grados y cómo se calcula?
-El valor de la cosecante en 45 grados es √2/2, ya que es el inverso del seno de 45 grados, que es √2/2, y se calcula racionalizando la fracción.
¿Cuál es el periodo de la función cosecante y cómo se determina?
-El periodo de la función cosecante es de 360 grados, ya que se repite cada 360 grados, lo cual se determina por la división de la circunferencia en 360 grados.
¿Cuál es la amplitud de la función cosecante y cómo se determina?
-La amplitud de la función cosecante es de 1 a -1, ya que los valores de la función oscilan entre -∞ y -1, y de 1 a ∞.
Outlines
📐 Introducción a la Gráfica de la Función Cosecante
El primer párrafo introduce la función cosecante, una trigonométrica que es el inverso de la función seno. Se explica que la función cosecante se puede representar usando una circunferencia unitaria y concéntrica, centrada en el origen de un plano cartesiano. La circunferencia se divide en ocho partes para facilitar la representación en los cuatro cuadrantes del plano. Cada división representa un ángulo que varía de 45 grados, y se detalla cómo se calculan estos ángulos al sumar 45 grados sucesivamente desde el 0 hasta el 360 grados. Además, se menciona la necesidad de una recta tangente a la circunferencia para determinar los valores de la función cosecante en los primeros y segundos cuadrantes, donde la función cosecante es positiva debido a que la función seno es positiva.
📈 Construcción de la Gráfica de la Función Cosecante
Este segundo párrafo se enfoca en la construcción de la gráfica de la función cosecante. Se describe cómo se prolonga un ángulo hasta que intercepta una recta paralela al eje X, y cómo esa interceptación determina el valor de la cosecante para ese ángulo. Se explica que la cosecante de 45 grados es positiva y se calcula como el inverso del seno de 45 grados, que es \(\sqrt{2}/2\). También se menciona que la cosecante de 0 grados y 180 grados no está definida, y se procede a buscar los valores para otros ángulos como 90 grados, donde la cosecante es 1, y para ángulos en el segundo cuadrante, donde los valores son los mismos que en el primer cuadrante pero invertidos en signo. Se destaca la importancia de la proyección para visualizar cómo la gráfica nunca se uniría en los puntos donde la cosecante no está definida.
🔍 Detallando la Gráfica en los Cuadrantes
El tercer párrafo profundiza en la gráfica de la función cosecante para los ángulos en los tercer y cuarto cuadrantes. Se describe cómo la prolongación de los ángulos hasta la recta intercepta valores negativos para la cosecante, debido a que la función seno es negativa en estos cuadrantes. Se detallan los valores específicos para ángulos como 225 grados y 270 grados, y se remarca la repetición de los valores en 360 grados, que es igual a 0 grados. Se enfatiza que la gráfica de la función cosecante es periódica con un periodo de 360 grados y su amplitud varía entre -1 y 1, extendiéndose hacia infinito en ambos lados. Finalmente, se concluye con una reflexión sobre la importancia de la práctica en la gráfica de funciones trigonométricas y se menciona la posibilidad de explorar este tema en futuras ocasiones.
Mindmap
Keywords
💡Cosecante
💡Circunferencia unitaria
💡División en ocho partes
💡Recta tangente
💡Ángulo
💡Cuadrante
💡Proyección
💡Periodicidad
💡Amplitud
💡Indefinido
Highlights
Introducción al propósito de graficar la función cosecante, una función trigonométrica.
La función cosecante es el inverso de la función seno.
Uso de la circunferencia unitaria y concéntrica para representar la función cosecante.
División de la circunferencia en múltiplos de cuatro para facilitar la representación en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano.
División de la circunferencia en ocho partes para representar los ángulos de 45 grados.
Uso de la recta tangente a la circunferencia para representar la función cosecante en los primeros y segundos cuadrantes.
La función cosecante es positiva en los primeros y segundos cuadrantes, donde la función seno también es positiva.
Representación de la función cosecante en los tercer y cuarto cuadrantes, donde es negativa.
Dimensión sobre el eje X para representar la función cosecante.
Creación de una tabla de valores para los ángulos y sus correspondientes valores de cosecante.
Determinación de la primera línea trigonométrica para la función cosecante.
Proyección del ángulo de 45 grados para encontrar el valor de la cosecante.
La cosecante de 45 grados es positiva y se calcula como el inverso del seno de 45 grados.
La cosecante de 0 grados no está definida, ya que la recta tangente no intercepta a la circunferencia.
La cosecante de 90 grados es igual al radio de la circunferencia, es decir, 1.
Proyección de la función cosecante en el segundo cuadrante, donde se mantiene la misma longitud que en el primer cuadrante.
La gráfica de la función cosecante tiene una forma que refleja su comportamiento en los diferentes cuadrantes.
La función cosecante tiene un periodo de 360 grados y su amplitud varía desde -∞ a -1 y de 1 a ∞.
Conclusión del proceso de graficación de la función cosecante y su aplicación práctica.
Transcripts
buenas hoy nos encontramos con el
propósito de graficar la función
cosecante una función trigonométrica que
es el inverso de la función
seno la función cosecante y = a
cosecante de X pero vamos a hacer uso de
la circunferencia unitaria y a la vez
concéntrica por qué es concéntrica
porque el centro de ella corresponde al
punto origen del plano cartesiano
x y y unitaria porque su radio
representa la unidad como le vemos aquí
este punto sería el punto 0,1 mientras
que este punto sería el punto
0-1 esa circunferencia la vamos a
dividir en un múltiplo de cuatro por qué
múltiplo de cuatro porque el plano
cartesiano está di cuatro porciones
cuatro cuadrantes
Entonces si dividimos la circunferencia
en un múltiplo de cuatro podría ser en
ocho partes en 12 partes en 16 y así
sucesivamente si yo la divido en ocho
partes cojo a 360 gr y lo divido entre 8
cada cada arco Me quedaría de 45 gr pero
si la divido en 12 partes a 360 lo
divido entre 12 cada arco sería de 30 gr
para tener 12 arcos 12 ángulos
representativos en este caso vamos a
dividir en ocho porciones ocho arcos el
primer arco sería 45 gr el segundo sea
45 le sumo 45 gr pues me daría 90 si a
90 le sumo 45 gr me daría 135 180
el cuarto El quinto sería 225 el sexto
sería de 270 si a 270 le sumo 45 gr pues
tendríamos el cuarto El séptimo ángulo
de 315 gr y el octavo grado sería 360 gr
que sería el mismo de 0 gr porque ha
dado la
vuelta entonces también necesitamos un
elemento para obtener nuestra línea
trigonométrica llamada cosecante de la
función
cosecante en ese caso vamos a hacer uso
de una línea que hemos llamado la recta
l que va a ser en esta condición
paralela al eje x y a la vez tangente a
la circunferencia quiere decir que este
punto es común tanto para la
circunferencia como para la recta toca
en ese punto tanto la circunferencia
como la recta esta recta nos serviría
para el primer y segundo cuadrante es de
recordarles que si la función cosecante
que estamos representando es inversa de
la función seno y la función seno en el
primer cuadrante es positiva la función
cosecante también va a ser positiva en
el segundo cuadrante también va a
ocurrir lo mismo la función seno es
positiva nos daría aquí esa línea
trigonométrica leyéndola de cer0 hacia
arriba sería positivo el valor por lo
tanto también la cosecante que es el
inverso de la función seno Pues nos va a
dar también
positivo ya para representar la función
cosecante sus líneas trigonométricas en
el tercer y cuarto cuadrante Pues
trazamos esta recta que también tiene
las mismas condiciones es paralela al
eje x y tangente a la cer Cómo es la
cosecante en el tercer cuadrante si el
seno es negativo la cosecante también
sería negativo lo que ocurre también en
el cuarto cuadrante teniendo esa
Claridad entonces cogemos una
dimensión sobre el eje X La parte
positiva la he tomado desde esta
longitud l desde este punto a este punto
he tomado esta longitud y esa longitud o
distancia la divido también en el número
de partes en que se dividió la
circuferencia en este caso en ocho
partes y cada representación de esa
misma congruencia que tienen esas partes
voy representando cada ángulo que he
obtenido de la división de la circuencia
45 gr comienzo de 0 45 gr 90 gr 135 180
gr 225 270 315 y termino con
360 También aprovecho de Resaltar el
primer cuadrante primer cuadrante sería
de 0 a 90 gr el segundo cuadrante 90 a
180 el tercero de 180 a 270 y el cuarto
de 270 gr a 360 gr y he ajuntado esta
tabla de valores donde la fila la
primera fila son los valores de los
ángulos y la segunda fila van a ser los
valores de de esa cosecante cuando toma
ese valor es ese ángulo ya sea de 0 gr
de 45 y así sucesivamente hasta 360 gr
entonces con base ya en este material
que tenemos allí vamos a determinar
nuestra primera línea trigonométrica que
llamaríamos
cosecante para eso se prolonga el lado
final de estee ángulo en este caso este
sería de 45 gr y este sería el lado
final se prolonga de manera que
intercepte a la recta
l lo intercepta en este punto al que
hemos llamado a Entonces esta medida que
voy a retomar aquí que es desde el punto
a hasta el punto origen como lo vemos
aquí esta medida va a corresponder a la
cosecante de 45 gr y va a ser positiva
porque está en el primer cuadrante
Entonces esta medida que he tomado la
tomo como base para Resaltar en su
extremo un punto que en este caso sería
aquí ese sería el punto extremo de en
ese de esa de 45 gr si nosotros buscamos
el la cosecante de 45 gr pues tendríamos
que hacer el inverso de el seno de 45 gr
Y si evalúo el seno de 45 cuados me va a
dar raíz cuadrada 2 sobre 2 de una forma
racional Y si esto lo interpreto como el
inverso me va a dar que la cosecante de
45 gr sería raíz en ese caso 2 sobre í
cuad
2 me tocaría racionalizar Y si
racionalizo multiplicaría tanto en el
numerador como el denominador
por aquella raíz que le oportuna que le
falta a este radical para ser perfecto
en ese caso el mismo y porque el índice
es de dos entonces me quedaría 2 ra cu 2
en la parte de arriba y abajo me da 2 si
yo esto lo evalúo y lo simplifico me
daría que la cosecante de 45 gr sería en
ese caso raíz cuada 2 y si yo evalúo
raíz cuad 2 es
1.41
positivo yo digo es
1.41 si yo quisiera evaluar la cosecante
de 0 gr Pues esta prolongación que haría
tratando de que intercepte con esta
recta o con esta segunda recta no lo
tendría porque ellas tres se
comportarían paralelas nunca se van a
interceptar lo que significa que para
este punto no
existe para 0 gr es definida eso también
me daría para 180 gr sería indefinida
Buscar la cosecante de 180 gr porque
ocurría la misma
experiencia tenemos allí entonces
busquemos para 90 gr para 90 gr si yo
prolongo Esto me da este valor que sería
esta longitud esta longitud que
representa prácticamente el radio es lo
que llamaríamos la cosecante entonces la
cosecante de 90 gr sería de 1 Entonces
si es de uno pues lo marco aquí mir que
lo tengo marcado en esta posición es
positivo y me daría
aquí quiere decir que en este cuadrante
la Gráfica haría esto haría esto pasando
por este punto obviamente hago la
proyección y pasaría por ese punto
bí y qué haría en el segundo cuadrante
miros en el segundo cuadrante pues la
experiencia vendría a ser la misma
tendríamos a aquí este valor que vemos
que sería la proyección para esa secante
de 135 gr y ese valor sería el mismo
valor que hemos tomado para 45 gr
Entonces yo podría
inclusive asumir que esta proyección me
haría este punto y para 180 gr quiere
decir que aquí me haría c
1.41 como me dio para el de 35 gr ent
para 180 gr es indefinido entonces lo
que hago es esto una proyección de
manera que esto nunca se van a unir
recuerde que esto no se va a unir si yo
lo prolongaría Aquí vamos a
eh Para aprovechar y aplicar esa idea
Pues esa proyección sería que cada vez
que proyecte más y más esto nunca se va
a unir entonces la Gráfica debe quedar
muy acorde a que ocurra esa realidad
entonces podríamos decir que la Gráfica
nos da esta forma vamos a establecerla
así esa forma obviamente la curvatura
aquí va a ser mayor ya Ese es la
proyección que haría en el segundo
cuadrante bueno Y así pasaríamos al
tercer cuadrante en el tercer cuadrante
entonces prolongamos este lado hasta que
que intercepte a la recta
L y este valor esta longitud que la tomo
desde este punto hasta este punto como
pueden ver es la misma longitud que
hemos tomado en este caso de referencia
para 45 gr pero ya sería negativa
Entonces en ese caso para 225 gr la
tomaría acá negativa este sería el valor
y para quiere decir que para 225 gr
sería men
1,41 para 270 gr Pues sería esta misma
longitud ya que intercepta aquí y esta
longitud que representa 1 pero en ese
caso sería de -1 porque estamos hablando
entre de primer y segundo cuadrante
quiere decir que la lectura que haríamos
aquí sería de -1 Entonces si es -1 lo
colocaría por debajo recuerde que sería
este valor y sería de men1 y para 115 gr
se vuelve a repetir el de
-1,41 que sería el mismo de de 225 gr
como lo pueden ver se prolonga aquí y
esta distancia que hay desde el punto
origen a esta intersección que la veo
aquí resaltada es la misma entonces
vendría a tomarla aquí como -
1.41 y para 360 gr se repite lo mismo
que para 0 gr entonces la Gráfica haría
esto vendría así de esta forma lo que
significa que si yo prolongo esta línea
y esta
línea en este intervalo entre este -1 y
1 nunca vamos a tener la cosecante sería
por encima de 1 y por debajo de -1 la
gráfic esta gráfica representa la
función y = a cosecante de d x la que
hemos trazado en el momento es una
gráfica que se repite cuyo periodo sería
cada
360 gr y cuya amplitud si la definimos
vamos a ver que estaría entre quién
entre el valor de menos infinito viene
desde menos infinito la amplitud viene
des de menos infinito los valores llega
a hasta -1 incluyéndolo entonces diría
cerrado Unido desde dónde desde
uno los valores siguen hasta el infinito
entonces incluyo uno hasta el infinito
ese Sería para nosotros la amplitud
entonces este proceso que sirva para
graficar lo que hemos llamado la función
cosecante esta función que es la función
inversa de la función c recuerde que lo
hemos hecho con base en su línea
trigonométrica que obtenemos bajo la
circunferencia concéntrica
unitaria la gracia de Dios con su
corazón misericordioso y humilde nos
invite al servicio de los demás que sea
un éxito tu práctica de graficar este
tipo de funciones trigonométricas nos
veremos entonces en una próxima
ocasión
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