Límite con cambio de variable 1
Summary
TLDREl guion trata sobre cómo resolver un límite indeterminado utilizando el cambio de variable. Se explica que al sustituir h por cero, el numerador da 0 y el denominador da 0, indicando un límite indeterminado. Se sugiere cambiar de variable para eliminar la raíz quinta, y se despeja h en términos de m. Al cambiar la variable, se resuelve el límite y se factoriza el numerador para simplificar la expresión. Finalmente, se evalúa el límite cuando m tiende a -1, obteniendo un resultado de 20/3.
Takeaways
- 🔢 Se presenta un ejercicio de cálculo de límite con una función que incluye una raíz quinta.
- 🤔 Al sustituir h = 0 directamente, se obtiene una forma indeterminada c/c.
- 🔄 Se sugiere usar la técnica de cambio de variable para resolver el límite indeterminado.
- 📐 Se explica que la técnica de racionalización no es adecuada para raíces de índice superior a 2.
- 🆕 Se introduce una nueva variable m para simplificar la expresión, cambiando h por una función de m.
- 🔄 Se despeja la variable h en términos de m, encontrando h = m^(5/3).
- 🔄 Se reescribe el límite original en términos de la variable m, facilitando la simplificación.
- 🔄 Se aplica la propiedad de los límites para factorizar y simplificar la expresión.
- 🔄 Se identifica que el límite sigue siendo indeterminado después de la simplificación inicial.
- ✅ Se resuelve el límite indeterminado mediante factorización y cancelación de términos.
Q & A
¿Cuál es el ejercicio que se presenta en el video?
-El ejercicio consiste en calcular el límite cuando h tiende a cero de la función 4h sobre la raíz quinta de (3h - 1) más 1.
¿Por qué el límite presenta una forma indeterminada inicialmente?
-El límite presenta una forma indeterminada porque al sustituir h por 0, el numerador se vuelve 0 (4 * 0 = 0) y el denominador también da 0, debido a que la raíz quinta de (-1) más 1 resulta en 0.
¿Por qué no es recomendable aplicar la técnica de racionalización en este caso?
-No se recomienda la técnica de racionalización porque la raíz es de índice cinco, y racionalizar raíces de un índice superior a tres es un proceso complicado.
¿Qué técnica se sugiere para resolver el límite?
-Se sugiere aplicar la técnica de cambio de variable para simplificar el problema y eliminar la raíz quinta.
¿Cuál es el cambio de variable propuesto para eliminar la raíz quinta?
-El cambio de variable propuesto es definir m^5 = 3h - 1, de modo que la raíz quinta se cancele al trabajar con la nueva variable m.
¿Cómo se despeja h en términos de la nueva variable m?
-Despejando h en términos de m, obtenemos que h = (m^5 + 1) / 3.
¿Qué sucede con el límite al cambiar de variable de h a m?
-Al cambiar de h a m, el límite cambia a ser cuando m tiende a -1, porque al sustituir h = 0 en la ecuación original se obtiene que m^5 = -1, lo que implica que m = -1.
¿Por qué es necesario aplicar una factorización en el límite resultante?
-Es necesario aplicar una factorización porque, después del cambio de variable, el límite sigue presentando una forma indeterminada 0/0, lo que se puede resolver factorizando el numerador.
¿Cuál es la factorización del polinomio m^5 + 1?
-El polinomio m^5 + 1 se puede factorizar como (m + 1) * (m^4 - m^3 + m^2 - m + 1).
¿Cuál es el resultado final del límite después de simplificar y evaluar?
-El resultado final del límite es 20/3, después de simplificar la expresión y evaluar m = -1 en la función factorizada.
Outlines
📚 Introducción al cambio de variable en límites
El vídeo comienza explicando cómo resolver un ejercicio de límites utilizando la técnica de cambio de variable. Se presenta una función con indeterminación de la forma 0/0 y se sugiere que la técnica de racionalización no es adecuada para raíces de índice superior a 2. En su lugar, se propone el cambio de variable para eliminar la raíz quinta, sugiriendo que si dentro de la raíz hay una variable elevada a la quinta potencia, se puede simplificar. Se da un ejemplo de cómo cambiar la variable 'h' por 'm', y se explica el proceso de despeje de 'h' en términos de 'm'.
🔍 Análisis del cambio de variable y simplificación
Se continúa el análisis del cambio de variable, reemplazando 'h' por 'm' en la función y simplificando la expresión. Se señala la importancia de adaptar la tendencia de la variable 'm' cuando se hace el cambio de variable. Se discute cómo, aunque 'h' tiende a cero, 'm' tiende a -1, y se sugiere que ambos límites serán iguales. Se plantea la necesidad de aplicar técnicas adicionales para resolver la indeterminación en el límite.
🔢 Aplicación de factorización para resolver el límite
El vídeo concluye con la factorización del numerador para resolver la indeterminación en el límite. Se sugiere la división sintética como técnica de factorización y se proporciona una factorización específica del numerador. Se explica cómo, después de la factorización, se puede cancelar un término común y se evalúa el límite cuando 'm' tiende a -1, obteniendo un resultado final de 20/3.
Mindmap
Keywords
💡Límite
💡Cambio de variable
💡Forma indeterminada
💡Racionalización
💡Despeje
💡Factorización
💡División sintética
💡Propiedades de los límites
💡Indeterminación
💡Evaluación
Highlights
Introducción al ejercicio de cálculo de límites utilizando la técnica de cambio de variable.
Explicación de la necesidad de verificar si el límite es indeterminado antes de aplicar técnicas de cálculo.
Proceso de sustitución para determinar si el límite es directo o presenta indeterminación.
Observación de que el numerador tiende a cero y el denominador a cero, indicando un límite indeterminado.
Decisión de aplicar la técnica de cambio de variable en lugar de racionalización debido a la complejidad de la raíz quinta.
Explicación detallada del proceso de cambio de variable para eliminar la raíz quinta del denominador.
Descripción del cambio de variable donde se introduce una nueva variable m elevada a la quinta potencia.
Proceso de despeje de la variable original h en términos de la nueva variable m.
Cambio de la tendencia de la variable original h a la nueva variable m y su impacto en el límite.
Análisis de la persistencia de la indeterminación incluso después del cambio de variable.
Decisión de aplicar la técnica de factorización para resolver la persistencia de la indeterminación.
Reescritura del límite en términos de la variable m para facilitar la factorización.
Extracción de la constante del numerador para simplificar el proceso de factorización.
Aplicación de la división sintética para factorizar el numerador del límite.
Cancelación de términos comunes en el numerador y denominador después de la factorización.
Evaluación del límite cuando m tiende a -1 y la sustitución de m por -1 para obtener el resultado final.
Conclusión del cálculo del límite,得出最终结果为 20/3.
Transcripts
Hola a todos Espero se encuentren bien
en esta ocasión nos dedicaremos a
trabajar en este ejercicio que puede ser
resuelto mediante la técnica de cambio
de variable el ejercicio dice lo
siguiente resuelva límite cuando h
tiende a cero d y vean que la función
que nos brindan en este caso Es 4h sobre
la raíz quinta de 3h - 5+ 1 bueno veen
que en este caso lo primero que
tendríamos que hacer es verificar si el
límite presenta alguna forma
indeterminado si es un límite directo
para ello Recuerden que basta con
sustituir este valor en la función que
nos Entonces sería tendríamos en el
numerador 4 por 0 Y en el denominador
tendríamos la raíz
quinta de 3 * 0 - 1 más el 1 que tenemos
fuera de la raíz Pero si ustedes se
fijan bueno en el numerador 4 por0 Nos
está dando 0 definitivamente y en el
denominador lo que tenemos
es 3 * H - 1 + 1 es decir 3 * 0 nos da 0
entonces tendríamos la raíz quta de -1
pero la raíz quta de -1 es -1 Y si a -1
yo le sumo 1 pues vean que también
estamos cayendo en cero por lo tanto
estamos en un límite que presenta forma
indeterminada c entre C Qué técnica
podríamos aplicar Bueno aquí Alguien
podría tal vez confundirse y pensar que
eh Bueno de hecho no sería confundirse
pensar en en utilizar la técnica de
racionalización lo que pasa es que
racionalizar esa raíz quinta no es un
proceso Tan sencillo De hecho de de un
índice superior a tres pues ya no es un
proceso Tan sencillo de la
racionalización por eso la aplicamos a
raíces cuadradas y a raíces
cúbicas de ahí en adelante es
conveniente pues usar Esta técnica de
cambio de variable ya les voy a a
comentar En qué
consiste tenemos que ver De qué manera
nos deshacemos de esa raíz entonces
Bueno copiemos el el enunciado del
límite veen que estamos calculando el
límite cuando h tiende a cer0 de la
función y vean que la función que nos
están dando es
4h y en el denominador lo que tenemos es
la raíz quinta de 3h - 1 y por ahí pues
tenemos un más un fuera de la raíz hay
que tener mucho cuidado con esos
detalles lo que les decía verdad
necesitamos de alguna manera deshacernos
de esa raíz Pero la única manera de
deshacernos de esa raíz es que dentro de
esa raíz tuviéramos algo elevado a la
c cualquier cosa elevada a la 5
particular ente podríamos decir una
variable ahí cualquiera m elevada a la 5
por qué bueno porque recordemos que esto
por propiedades da m o sea se cancela
Entonces vamos a hacer el siguiente
cambio de variable que nos va a ayudar a
deshacernos de
esa de esa raíz vamos a decir
sea y veen que nosotros lo que
necesitamos quitar es eso que hay dentro
de la raíz y convertirlo por algo que
elevado a la c entonces voy a decir esto
que hay dentro de la raíz voy a
convertirlo en m a la
c pero bueno cuando hacemos esto tenemos
que considerar que por ejemplo Aquí hay
una H verdad estamos viendo un cambio de
variable pero necesitamos entonces
reescribir este límite ahora solamente
en términos de la nueva variable m o sea
ya no puede aparecer la H aquí tenemos a
h y en el nuevo límite que vamos a tener
no puede aparecer la H solamente puede
aparecer la m entonces lo que se hace
usualmente es realizar un despeje de
esta de esta igualdad eh para h verdad
entonces bueno despejemos H vean que
este uno que está restando podríamos
pasarlo nosotros al otro lado a sumar y
nos quedaría m a la 5 +
1 y este tres que está
multiplicando pues entonces tendríamos
que pasarlo a dividir y nos quedaría que
m Perdón que H es igual a m a la 5 + 1
sobre 3 de esta manera ya tenemos el
despeje para h Por qué es importante
tener el despeje para h por la siguiente
razón vean lo que vamos a tener vamos a
tener límite cuando m tiende a a y aquí
voy a dejar un cuadrito y ya casi les
voy a explicar por qué dejo un cuadrito
ahí o un espacio en blanco d y ojo lo
que nos va a quedar acá dice que yo
tengo cuatro
por h Pero quién es h con mi cambio de
variable dice que H es m a la 5 + 1
sobre 3 Entonces yo tengo que cambiar
esta H
por m a la 5 + 1 sobre
3 y en el denominador qué voy a tener en
el denominador voy a tener la raíz
quinta de 3h -1 pero ya había dicho que
3h - 1 es m a la 5 igual si quieres
hacer el cambio de H por esto resuelves
las operaciones y al final de cuentas
vas a caer en m a la 5 Entonces como
ustedes gusten aquí sería entonces la
raíz quinta de m a la 5 más el un que
teníamos por ahí o sea todo esto lo
cambiamos por m a la
5 para qué hacemos Esto bueno para que
esta raíz se nos cancele con este 5 y
vean que entonces ya nos va quedando una
expresión un poco más sencilla de
trabajar sin embargo hay un pequeño
detalle acá y es que el momento en el
que ustedes decidan aplicar la técnica
de cambio de variable tenemos que hacer
un cambio en la tendencia de la variable
es decir inicialmente yo sabía que h
tendía a cero pero ahora yo no sé a
quién tiende m porque estoy haciendo un
cambio de variable pero es muy fácil
darse cuenta Eh Pues a entiende esta
nueva variable m por qué bueno porque ya
yo sé que h tiende a
cero pero si h tiende a cero ojo de esta
ecuación nosotros lo que podríamos decir
es que 3 * 0 -
1 es igual a m a la 5 pero si ustedes se
fijan 3 * 0 es 0 Entonces nos estaría
quedando que -1 es igual a m a la 5 y
cómo hago para despejar a m bueno vean
que m ahí la podríamos dejar aplicando
una raíz quinta a ambos lados sin
embargo la raíz quta de -1 nos da -1 por
lo tanto quiere decir que m en realidad
ahora tiende a
men1 Qué significa Esto bueno Esto
significa nada más y nada menos que
tanto este
resultado tanto este límite como este
límite nos van a dar exactamente los
mismos resultados Esa es la idea de
aplicar un cambio de variable entonces
claro Ya ahora tenemos un límite que no
tiene esa raíz quinta Bueno todavía la
tiene pero es que si ustedes aplican ahí
la propiedad que les había comentado
observen lo que nos queda límite cuando
m tiende a -1 d en el numerador
tendríamos entonces 4 * m a la 5 + 1
sobre 3 y en el denominador tendríamos
ra5 m la 5 que se cancela verdad lo que
les había comentado que era la idea
de este cambio de variable se cancela y
queda
M M + 1 y qué sigue en este punto bueno
tendríamos que verificar si este
límite Pues sigue presentando alguna
forma
indeterminada sin embargo este límite si
ustedes hacen ahí la prueba van a a
darse cuenta que
sigue apareciendo esa forma
indeterminada c Entonces tenemos que
aplicar alguna otra técnica y Qué
técnica podemos aplicar acá Bueno la
técnica que nosotros podíamos aplicar es
la técnica de factorización porque en
realidad lo que tenemos son puros
polinomios Entonces qué Vamos a hacero
vamos a reescribir esto de una manera
más bonita Porque este límite Así se ve
muy muy feo Entonces qué Vamos a poner
vamos a poner límite cuando m tiende a
-1
de quién y aquí es donde vamos a hacer
el cambio Si ustedes se fijan aquí sería
eh un 4/3 una constante verdad Entonces
saquemos esa constante de la fracción
para que ya no nos no nos siga
estorbando por ahí si yo saco el 4/3 que
es la constante Me quedaría entonces en
el numerador un m a la 5 +
1 Vamos a ponerlo por acá m a la 5 + 1
y en
el denominador Me quedaría M +
1 entonces Bueno ahí podemos aplicar la
técnica la propiedad de los límites
recordemos que hay una propiedad que nos
dice que si hay una constante
multiplicando una función esa constante
puede salir del límite por lo tanto
tendríamos
4/3 por el límite cuando m tiende a -1
de esta función que tenemos AC sin
embargo esa función sigue teniendo de la
misma forma indeterminada entonces hay
que resolverlo con Qué técnica lo
resolvemos con factorización Entonces
tenemos que factorizar ese numerador
porque vean que el denominador ya es un
término
lineal con Qué técnica podemos
factorizar ese numerador bueno podríamos
aplicar por ejemplo la técnica de de
división sintética que da como ejercicio
para ustedes verificar que la división
sintética de esta
expresión nos genera la siguiente
factorización M +
1 por m a la 4 - m a la 3 + m a la
2 - m + 1 ahí ustedes aplicando la
teoría de precálculo verifiquen por
favor que esa sea la factorización por
división sintética de m a la 5 + 1 y en
el denominador nosotros tendríamos M + 1
Entonces qué podemos hacer acá ahora
luego de tener factorizado Ahora sí
podemos aplicar la cancelación Y es que
si nosotros aplicamos esa cancelación
observen lo que nos está quedando nos
está quedando
4/3 por el límite cuando m tiende a -1
de quién y vean que ya aquí pues lo
único que nos está quedando es esto
verdad Entonces esto
es ahora donde nosotros tenemos que
evaluar este
-1 Qué pasa si nosotros hacemos esa
evaluación de es -1 bueno ahí verifiquen
ustedes nos va a quedar el 4/3 que
venimos arrastrando desde hace rato ya
multiplicado por y este límite que lo
que les digo es simplemente cambien las
m por -1 no se les va a indefinir ahí
les va a dar un un resultado directo y
el resultado les va a dar
5 Entonces 4/3 por 5 es
20/3 de esta manera Entonces nosotros
podemos asegurar que el resultado de
este límite cuando h tiende a oer de
esta función es
equivalente al resultado de este límite
que ya dijimos que el resultado da 20/3
por lo tanto la esta a este límite sería
ese 203
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