Límites por factorización 1

Summary

El vídeo explica cómo calcular el límite de una función cuando x tiende a 3, utilizando la técnica de factorización para resolver una indeterminación de tipo c/c. Se factoriza la función f(x) = (x^4 - 81) / (-x^2 + x + 6), identificando diferencias de cuadrados y factorizando el denominador. Tras cambiar el signo para permitir la cancelación, se evalúa el límite obteniendo -108 al reemplazar x por 3.

Takeaways

• 📘 El vídeo trata sobre el cálculo de límites utilizando la técnica de factorización.
• 🔍 Se presenta un ejercicio específico: calcular el límite cuando x tiende a 3 de la función (x^4 - 81) sobre (-x^2 + x + 6).
• 🤔 Al sustituir x por 3, se identifica que el límite resulta en una forma indeterminada de tipo c/0.
• 🔢 Se sugiere que el numerador (x^4 - 81) puede ser factorizado como una diferencia de cuadrados, resultando en (x^2 - 9).
• 🔄 La raíz de 81 es 9, y se aplica la técnica de diferencia de cuadrados para factorizar el numerador.
• 🔄 El denominador (-x^2 + x + 6) se factoriza como -(x - 3)(x + 2) mediante la técnica de inspección.
• 🔄 Se destaca la necesidad de cambiar el signo para poder realizar la cancelación en el numerador y denominador.
• 📉 Se aplica la técnica de cambiar el signo para que los factores en el numerador y denominador coincidan y puedan cancelarse.
• 📐 Después de la cancelación, se evalúa el límite sustituyendo x por 3, lo que resulta en una simplificación del expresión.
• 📨 El resultado final del límite es -108/5 cuando se sustituye x por 3 en la expresión simplificada.

Q & A

¿Qué técnica se utiliza para resolver el límite en el ejercicio presentado?

Se utiliza la técnica de factorización para resolver el límite en el ejercicio.

¿Cuál es la función que se está evaluando en el límite?

La función que se está evaluando es \(\frac{x^4 - 81}{-x^2 + x + 6}\).

¿Cuál es el punto de indeterminación que se presenta al evaluar el límite directamente?

El punto de indeterminación es cuando \(x\) tiende a 3, ya que al sustituir \(x\) por 3 en la función, el numerador y el denominador se anulan, dando como resultado una forma indeterminada de la forma \(0/0\).

¿Cómo se identifica que el límite es de una forma indeterminada?

Se identifica al sustituir el valor de \(x\) que tiende (en este caso, 3) en la función y obtener que tanto el numerador como el denominador se anulen, lo que resulta en una expresión de la forma \(0/0\).

¿Qué significa que una expresión sea de la forma indeterminada \(0/0\)?

Una expresión de la forma indeterminada \(0/0\) significa que no se puede determinar el límite simplemente evaluando el valor en el punto de indeterminación, y se requiere aplicar técnicas de algebra para resolverlo.

¿Qué técnica de factorización se aplica en el numerador de la función?

Se aplica la técnica de diferencia de cuadrados en el numerador, lo cual se factoriza como \(x^2 - 9\) que corresponde a \((x - 3)(x + 3)\).

¿Cómo se factoriza el denominador de la función?

El denominador se factoriza por inspección, identificando que \(-x^2 + x + 6\) se puede escribir como \(-(x - 3)(x + 2)\).

¿Por qué no se puede cancelar directamente los factores en el numerador y denominador después de la primera factorización?

No se puede cancelar directamente porque los factores son \(x - 3\) en el numerador y \(-(x - 3)\) en el denominador, lo que requiere de un cambio de signo para que los factores sean iguales y se puedan cancelar.

¿Qué técnica se utiliza para poder cancelar los factores en el numerador y denominador?

Se utiliza la técnica de cambiar el signo, multiplicando el numerador y el denominador por -1 para hacer que los factores \(x - 3\) en el numerador y \(x - 3\) en el denominador sean iguales y se puedan cancelar.

¿Cuál es el resultado final del límite después de aplicar las técnicas de factorización y cambio de signo?

El resultado final del límite es \(-108/5\), después de cancelar los factores comunes y evaluar el límite cuando \(x\) tiende a 3.