Límites por racionalización 1

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Hola a todos Espero se encuentren bien

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en esta ocasión estaremos abordando un

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ejercicio sobre límites que puede ser

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resuelto mediante la técnica de

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racionalización el ejercicio dice lo

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siguiente calcule el límite cuando Z

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tiende a 2 de la función 3z - 6 sobre 1

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- ra cu de 4z - 7 para ello recordemos

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que lo primero que debemos hacer es

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evaluar el límite para ver si

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corresponde a un límite directo o si

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presenta alguna forma indeterminada para

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ello pues basta con tomar el valor al

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cual tiende la variable y sustituirlo

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acá en la función en este caso si

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hacemos pues esa evaluación observen que

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sería 3 * 2 - 6 Pero bueno 3 * 2 -6 nos

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estaría dando eh cer0 en el numerador y

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para el denominador tendríamos 1 - 4

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Perdón 1 - la ra 4 * 2 - 7 Pero bueno 4

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* 2 aquí nos estaría dando 8 a 8 le

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restamos si y quedamos en uno por lo

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tanto tendríamos que sería la raíz

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cuadrada de 1 que da 1 y 1 - 1 Pues

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también nos estaría dando cer entonces

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vean que estamos en el caso de la forma

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indeterminada

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0 entre c0 recordemos que pues esta es

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una de las

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formas que se puede presentar en en un

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límite ahora qué podemos hacer para

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resolver este límite Bueno lo que

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podríamos hacer para resolver este

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límite es aplicar precisamente la

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técnica de racionalización porque

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pensamos en racionalización bueno porque

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tenemos en la función una raíz verdad

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tenemos ese elemento que es la raíz y

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precisamente la racionalización Pues nos

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ayudaba en ese tipo de ejercicios donde

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aparecían raíces Entonces vamos a

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aplicar esa idea de de racionalización

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por acá vamos a copiar Entonces el

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ejercicio que es límite cuando Z tiende

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a 2 y vean que la función que nos

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brindan es 3z - 6 y 1 menos la

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raíz de 4 Z

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- Qué vamos a hacer entonces Bueno vamos

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a aplicar Ahora sí la técnica de

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racionalización vamos a racionalizar el

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denominador que es donde tenemos la raíz

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para ello Recuerden que como es una raíz

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cuadrada vamos a

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aplicar el conjugado es decir el mismo

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término pero cambiando el signo que

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separa los elementos Entonces vamos a

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multiplicar por esta misma

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expresión pero en lugar de poner un

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menos

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separándolas pues ahora va a ser un más

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Esa es la técnica que vamos a aplicar en

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este ejercicio que es la técnica de

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racionalización para qué hacemos Esto

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bueno vean que ya acá caemos en un

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ejercicio que se va mucho a lo a lo

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algebraico verdad Tenemos que trabajar

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este límite algebraicamente Entonces

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vamos a realizar esa multiplicación de

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fracciones observen que si hacemos esa

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multiplicación de

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fracciones en el numerador nos estaré

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quedando 3 Z -

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6 multiplicado por toda esta expresión

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que ya habíamos dicho pero en lugar del

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menos ya habíamos dicho que era el más

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entonces esa sería el numerador de

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nuestra nueva fracción y Quién sería el

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denominador bueno el denominador sería

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este paréntesis esta

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expresión que corresponde a este

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denominador multiplicada con esta

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expresión que vean que es exactamente la

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misma idea solamente que pues en lugar

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de tener un menos tenemos un más

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entonces eso es lo que tenemos hasta el

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momento ya tenemos el numerador y el

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denominador de de esta nueva fracción

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qué podemos hacer En este punto bueno

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observemos que este denominador si

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nosotros quisiéramos

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desarrollarlo corresponde a una

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diferencia de

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cuadrados Okay entonces por ahí nos

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vamos a ir una diferencia de cuadrados

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porque

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Recuerden que cuando nosotros teníamos

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de materia de precálculo a + b * a - b

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eso podíamos abordarlo y resolverlo como

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a a la 2 - B a la 2 y es que eso es lo

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que tenemos acá tenemos un paréntesis

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con menos y un paréntesis con más

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entonces identifiquemos quién es a Y

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quién es B bueno en este caso vean que

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este uno sería nuestro a y est la raíz

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sería nuestro B eso es lo que tenemos

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que identificar por el momento Entonces

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qué Vamos a hacer en el siguiente paso

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Bueno vamos a mantener nuestro

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límite vamos a mantener nuestro

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numerador igual a ese no le vamos a

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aplicar ningún cambio y lo que vamos a

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hacer es aplicarle la fórmula notable a

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este denominador Pero bueno aplicarle la

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fórmula notable a ese denominador es

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Elevar al cuadrado de a pero Elevar

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cuadrado del a sería Elevar al cuadrado

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del 1 o sea nos da

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uno menos por la fórmula de diferencia

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de cuadrados y dice que elevemos al

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cuadrado el B pero ya habíamos dicho que

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el B elevado al cuadrado es la raíz Pero

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bueno qué pasaba cuando

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4 Z - 7 Y acá mucho cuidado con el

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paréntesis Por qué ponemos paréntesis

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bueno porque hay un menos delante y es

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que recordemos que un menos delante de

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una

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expresión afecta los signos de todo lo

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que viene de ahí en adelante entonces

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claro todo este paréntesis se va a ver

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afectado por culpa de este menos en este

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sentido si hacemos el cambio de signos

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vean que por acá el 4z estaba positivo

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Ahora nos va a quedar

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negativo y por

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acá el

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-7 Pues nos va a pasar a algo positivo

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verdad Entonces nos va a quedar como un

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+ 7 si nosotros hacemos esta operación

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que tenemos por

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acá vean Entonces a lo que estaremos

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llegando de hecho vamos a copiar este

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mismo y solo Vamos a trabajar con el

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denominador si trabajamos con el

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denominador observen que sería términos

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semejantes 1 + 7 Pues eso nos daría 8 y

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el -4 Z lo dejamos quietecito por ahí

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Entonces estamos llegando a - 4z + 8 sin

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embargo aquí todavía se sigue

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presentando la forma indeterminada y

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claro no hemos eliminado el término que

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hace que esto pues se nos

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indina Entonces tenemos que ver si es

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posible aplicar alguna factorización

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alguno de estos paréntesis es que bueno

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si ustedes se fijan es posible aplicar

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factorización al primer paréntesis que

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tenemos en el numerador que corresponde

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es por qué Porque Qué tienen a factor

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común esos dos términos tienen un tres a

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factor

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común si sacamos el TR a factor común

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Entonces nos estaría quedando Z verdad

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de acá sacamos el TR y de acá sacamos el

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TR y nos estaría quedando un

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-2 y de la misma manera podríamos

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aplicar un factor común al denominador

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porque vean que ambos números Eh pues

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presentan un factor común que

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corresponde a cuatro entonces podemos

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sacar ese factor común y además para que

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los signos vayan coincidiendo con esto

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En lugar de sacar un cuarto factor común

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Podríamos sacar un

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-4 Por qué bueno Porque si yo quito el

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-4 de acá si lo sacamos a factor común

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vean que nos quedaría Z Y si saco de acá

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un

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-4 pues entonces vean que nos quedaría

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-2 y vean ahí donde se nos

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da los paréntesis iguales entonces

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cancelamos y ahí nos estamos deshaciendo

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Entonces de esa forma indeterminada Qué

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nos está quedando en este punto entonces

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Bueno nos está quedando límite cuando Z

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tiende a 2 d y en el numerador nos está

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quedando 3 multiplicado por y vean que

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nos queda todo este paréntesis igual a

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ese no le estamos haciendo ningún ningún

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cambio y que nos estaría quedando en el

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denominador bueno vean que en el

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denominador nos estaría quedando

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solamente

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un

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-4 entonces en el momento en que usted

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realiza esta

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cancelación puedes evaluar nuevamente el

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límite a ver si ya ahora sí pues te da

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un resultado específico puede ser que en

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algunos casos no baste con con hacer una

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cancelación sino que tal vez tenemos que

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hacer una segunda cancelación Pero bueno

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por es es ir es importante ir evaluando

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los límites Entonces si nosotros acá

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hacemos la evaluación vean que nos queda

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ahí 3 multiplicado por 1 más la raíz de

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4 y sustituyo a la z por 2 y le resto

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7 sobre

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-4 Pero bueno vean que esta raíz en

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particular sería la raíz de 8 - 7 que es

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1 o sea la raíz de 1 pero la raíz de 1

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ya sabemos que da 2 Entonces esto sería

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Perdón un más bien estaba pensando en el

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resultado de la suma entonces 1 más y la

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raíz de de 1 da

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1 y por acá tenemos el -4 entonces vean

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que puesde aquí queda meramente algo

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numérico que sería por cierto 3 * 2

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Entre -4 podemos aplicar ahí una

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simplificación Mitad y Mitad y y

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llegamos a que el resultado entonces de

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este límite corresponde a -3 Med de esta

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manera entonces podemos asegurar que

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cuando la variable

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Z tiende a 2 esta función se va

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acercando cada vez más a este valor de

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-3 Med