Límite con teorema del encaje 1

BRO Clases profe Bryan

26 May 202404:49

Summary

TLDREn este video, se aborda un ejercicio sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje. El problema se enfoca en calcular el límite de una función F desconocida, pero acotada entre 4 - x^2 y 4 + x^2. Aplicando el teorema del encaje, se demuestra que el límite de F cuando x tiende a 0 debe ser 4, ya que es el único valor que satisface la condición de estar entre los límites superior e inferior dados. El video explica cómo se llega a esta conclusión paso a paso.

Takeaways

🔍 El ejercicio trata sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje.
📘 El teorema del encaje también es conocido como el teorema del emparedado.
❓ El objetivo es encontrar el límite cuando x tiende a 0 de una función F, sabiendo que está acotada.
📏 La función F está acotada entre 4 - X² y 4 + X².
🔗 Se aplica el límite a las tres expresiones involucradas en la desigualdad.
🧮 Los límites de las funciones 4 - X² y 4 + X², cuando x tiende a 0, son ambos 4.
⚖️ El teorema del encaje indica que si los límites de las funciones que acotan a F son iguales, entonces el límite de F también será ese valor.
📊 El límite de la función F, cuando x tiende a 0, es 4.
🔎 El resultado solo puede ser 4, ya que es el único valor que cumple la condición de estar entre 4 y 4.
✅ El teorema del encaje es clave para resolver este tipo de problemas con funciones acotadas.

Q & A

¿Qué es el teorema del encaje o empar?
-El teorema del encaje o empar establece que si una función está acotada entre dos funciones y los límites de esas dos funciones en un punto son iguales, entonces el límite de la función acotada en ese punto también es igual a ese valor.
¿Cuál es el objetivo del ejercicio presentado en el video?
-El objetivo del ejercicio es calcular el valor del límite de una función F cuando x tiende a 0, utilizando el teorema del encaje, aunque no se conoce la forma explícita de la función F.
¿Qué información se da sobre la función F?
-Se sabe que la función F está acotada entre las funciones 4 - x² y 4 + x².
¿Cómo se aplica el teorema del encaje en este ejercicio?
-Primero, se establece que 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x². Luego, se aplica el límite a las tres expresiones cuando x tiende a 0, obteniendo que el límite de F(x) también debe ser 4.
¿Por qué no hay indeterminación al calcular los límites de 4 - x² y 4 + x²?
-No hay indeterminación porque ambos límites son directos; simplemente sustituyendo x por 0 se obtienen valores de 4 en ambos casos.
¿Cuál es el valor del límite de la función F(x) cuando x tiende a 0?
-El límite de la función F(x) cuando x tiende a 0 es 4, según el teorema del encaje.
¿Por qué el único valor que satisface la condición es 4?
-El valor 4 es el único que cumple con la condición de estar entre 4 y 4, ya que cualquier otro número no satisface la desigualdad que se deriva del teorema del encaje.
¿Qué ocurre si se intenta asignar otro valor, como 2 o 6, al límite de F(x)?
-Si se intenta asignar valores como 2 o 6 al límite de F(x), no se cumple la condición de que F(x) esté acotada entre 4 - x² y 4 + x², por lo que esos valores no son posibles.
¿Qué pasos se siguieron para aplicar el teorema del encaje?
-Primero se establece la desigualdad 4 - x² ≤ F(x) ≤ 4 + x², luego se aplican los límites a cada parte de la desigualdad, y finalmente se concluye que el límite de F(x) es 4.
¿Por qué el cálculo del límite de F(x) es posible aunque no se conozca la forma explícita de la función?
-El cálculo es posible porque, aunque no se conozca la forma exacta de F(x), el teorema del encaje permite deducir su límite basándose en las funciones que la acotan.

Outlines

00:00

📘 Introducción al Teorema del Encaje

En este primer párrafo, se presenta el ejercicio sobre límites trigonométricos, utilizando el teorema del encaje (también conocido como teorema del empar). Se destaca que el objetivo del video es resolver un límite de una función desconocida, pero que está acotada entre dos funciones conocidas. El enfoque del ejercicio es cómo utilizar esta información para encontrar el valor del límite.

🔎 Analizando las funciones acotadas

Aquí se detalla cómo la función \( F \) está acotada entre \( 4 - x^2 \) y \( 4 + x^2 \). Aunque no se conoce la función \( F \), es importante que esté limitada por esas dos expresiones. Este hecho permitirá aplicar el teorema del encaje para determinar el valor del límite.

📝 Aplicación de límites a las desigualdades

En este párrafo, se explica cómo aplicar el límite cuando \( x \) tiende a 0 a cada una de las expresiones: \( 4 - x^2 \), \( F \), y \( 4 + x^2 \). Al hacerlo, se obtiene una nueva desigualdad que incorpora los límites de las dos funciones acotantes.

🔢 Cálculo de los límites de las funciones acotantes

Se observa que los límites de las funciones acotantes no presentan formas indeterminadas, y al sustituir \( x = 0 \), se obtiene que ambos límites son iguales a 4. Aunque el límite de \( F \) sigue sin conocerse, se señala que esta información es crucial para llegar a la conclusión final.

📊 Conclusión utilizando el teorema del encaje

Este párrafo explica cómo, al tener los mismos resultados (4) en ambos extremos de la desigualdad, el único valor posible para el límite de \( F \) debe ser 4. Se concluye que, por el teorema del encaje, el valor del límite de la función \( F \) es igual a 4, ya que es el único número que cumple las condiciones de la desigualdad.

Mindmap

Keywords

💡Teorema del encaje

El teorema del encaje, también conocido como teorema del emparedado, es un principio fundamental en cálculo que permite encontrar el valor de un límite de una función que está acotada entre dos otras funciones. En el video, este teorema se usa para determinar el límite de una función F que no se conoce completamente, pero se sabe que está acotada entre dos funciones más simples.

💡Límite

El concepto de límite en cálculo se refiere al valor al que una función tiende a medida que la variable independiente se aproxima a un determinado punto. En este caso, se busca el límite de la función F cuando x tiende a cero, utilizando el teorema del encaje para llegar a este valor sin conocer la función específica.

💡Función acotada

Una función acotada es aquella que no sobrepasa ciertos límites superiores e inferiores. En el video, la función F está acotada por dos funciones, 4 - x² y 4 + x², lo que significa que sus valores siempre están entre los valores de esas dos funciones. Esta propiedad es clave para aplicar el teorema del encaje.

💡4 - x²

Esta es una de las funciones que acotan a la función F en el ejercicio. 4 - x² representa una función que siempre tiene valores menores o iguales a los de la función F en el intervalo considerado. El cálculo de su límite cuando x tiende a cero es fundamental para determinar el valor del límite de F.

💡4 + x²

Esta es la otra función que acota a F por la parte superior en el ejercicio. Al igual que 4 - x², su límite cuando x tiende a cero es clave para aplicar el teorema del encaje y así determinar el valor del límite de F.

💡Forma indeterminada

Una forma indeterminada ocurre en límites cuando no es posible determinar un valor directo a partir de la sustitución de la variable. En este video, se menciona que el límite que se calcula no presenta ninguna forma indeterminada, lo que facilita el cálculo directo del límite.

💡Cálculo directo

El cálculo directo de un límite significa que no es necesario usar técnicas avanzadas como factorización, l'Hopital, o el teorema del encaje para resolverlo. En el video, los límites de las funciones 4 - x² y 4 + x² son directos porque al sustituir x = 0 se obtiene un resultado claro y no hay complicaciones.

💡Desigualdad

Una desigualdad es una relación matemática que indica que un valor es menor o mayor que otro. En el contexto del video, se utiliza una desigualdad para mostrar que la función F está entre dos valores, permitiendo así la aplicación del teorema del encaje al tomar el límite en ambos lados de la desigualdad.

💡Límite lateral

Un límite lateral es el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente tiende a un valor desde un solo lado, ya sea por la izquierda o por la derecha. Aunque no se menciona explícitamente como tal en el video, la función F está acotada por dos funciones diferentes, lo que puede sugerir un análisis de límites laterales.

💡Valor del límite

El valor del límite es el resultado final al que tiende una función cuando la variable independiente se acerca a un punto específico. En el video, después de aplicar el teorema del encaje, se concluye que el valor del límite de la función F cuando x tiende a cero es 4, ya que está acotado entre dos funciones cuyo límite es también 4.

Highlights

Introducción al ejercicio sobre límites trigonométricos utilizando el teorema del encaje.

Explicación sobre cómo la función F está acotada por dos funciones: 4 - X² y 4 + X².

Se aplica el límite cuando x tiende a 0 en las tres expresiones: 4 - X², F(x), y 4 + X².

Identificación de que el límite de 4 - X² cuando x tiende a 0 es un límite directo y su valor es 4.

Confirmación de que el límite de 4 + X² cuando x tiende a 0 es también un límite directo con valor de 4.

Enfatización de que la función F está 'encajada' entre dos límites que son ambos 4.

Aplicación del teorema del encaje para concluir que el límite de F cuando x tiende a 0 debe ser igual a 4.

Justificación de que cualquier valor distinto de 4 no cumpliría con las desigualdades dadas.

Explicación de cómo el teorema del encaje se usa cuando una función está acotada entre dos funciones con límites conocidos.

La importancia del límite directo en este contexto y cómo simplifica el proceso.

Reafirmación de que el único valor que satisface la condición de estar entre 4 y 4 es el propio número 4.

Clarificación de que el límite de la función F es 4 por la imposibilidad de que otro valor satisfaga las condiciones.

El teorema del encaje es una herramienta poderosa para resolver límites de funciones desconocidas acotadas.

El uso del teorema permite obtener un límite sin conocer la forma exacta de la función F.

Conclusión de que el límite de la función F cuando x tiende a 0 es 4, basado en los límites de las funciones acotadas.